江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为集合，所以.故选：B.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“”的否定是“”.故选：C.3.设，则的分数指数幂形式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，则.故选：B.4.已知，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】判断是否是的充分条件（即是否成立）：由，得，由和，得，因此，，故成立，是的充分条件；判断是否是的必要条件（即是否成立）：反例：取，则，满足，即成立，但，不满足中的，因此，不成立，不是的必要条件.故是的充分不必要条件.故选：A.5.已知，则（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】因为，令，则.故选：B.6.已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增，由是R上的偶函数，得在上单调递减，而，因此，所以的大小关系为.故选：C.7.任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（）（参考数据：）A.24位数 B.33位数 C.34位数 D.43位数【答案】C【解析】先对取常用对数，，又，又，，则，设，根据，，这里，时，是位数，是位数.故选：C.8.已知，若对于正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，且的定义域为关于原点对称，所以为上的奇函数，又因为均在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，又因为，所以的最大值为，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确；且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC.10.已知，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的最小值为【答案】BCD【解析】由对数的运算法则可得：，所以：，所以：，令

，

，则

，

，且

，得：，即：，令

（因为

)，则：，，由于

，得：，解得：，又因为，故.于是：.选项A：假设A选项正确，即：，代入得：，由

得：，即，，而，当时，，两者不相等，故A错误；选项B：，，由

，，所以，故B正确；选项C：由，，得：计算：，，，所以，故C正确；选项D：令

，则

，，由基本不等式得：.当且仅当，即，时取等号.故的最小值为.故D正确.故选：BCD.11.已知函数若，且，则（）A.的最小值B.的最大值为1C.，使D.存在唯一，使【答案】AC【解析】在上的值域为，在上的值域为，令，易得，且，，对于A，，令，，所以是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上的最小值为，故A正确；对于B，，令，，则其为开口向下，对称轴为即的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，故B错误；对于C，取，则，，因此，使得，故C正确；对于D，当时，，当时，，解得，当时，，解得，所以存在两解，故D错误；故选：AC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.【答案】【解析】由函数的定义域为，则函数中，即得，则函数的定义域为.故答案为：.13.若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意得，即，解得，当时，不等式无解；当时，不等式的解集为，不等式是不等式的充分不必要条件，不等式的解集是不等式解集的真子集，当时，不等式的解集为空集，不符合要求，当时，不等式的解集为，需满足，解得.实数的取值范围是.故答案为：.14.若，其中，则__________.【答案】或【解析】当时，，则，由，则单调递减，且在上单调递增，则时，，当时，，则与有公共的正零点，设为，则，即有，解得，且有，则在上单调递减，又在上单调递增，当时，，，满足题意；当时，，，满足题意；由，则，，又，则或；若，则，此时；若，则，此时.故答案为：或.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）计算的值；（2）已知，求的值.解：（1）原式（2）因为，所以.所以16.已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.解：由，得，即.由，因为，所以，即.所以.（2），得.因为，所以，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.17.已知函数.（1）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）若函数在上的最大值为6，求的值.解：由条件，在上恒成立，当，不符合；当时，显然也不符合，所以，且，解得.综上，的取值范围是.（2）由条件，在上单调递减，当，符合；当时，显然不符合，所以，且，解得.综上，的取值范围是（3）由，即.由条件在上的最大值为6，当，即时，，即，解得，符合；当，即时，，即，解得，符合.所以符合条件的的取值为或.18.研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题：（1）求函数的值域；（2）已知函数.①写出的单调减区间，并用定义法证明；②若，满足，证明：.解：（1）由，知，所以，所以当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以是奇函数，所以当时，.所以的值域为.（2）①的单调减区间为.证明如下：设，（*）因为，所以，因为，所以.又，所以，即，所以的单调减区间为.②因为，由知，.又，所以，所以，所以.19.设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集.（1）已知，直接判断集合是否