江西省上饶市2026届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省上饶市2026届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，则．2.已知向量，，若，则（）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】解：，，，又，，解得，．3.已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得，则该圆锥的外接球表面积．4.若函数的定义域为，则此函数的值域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，则或，当时，，当时，，综上，此函数的值域为．5.已知复数为方程的虚数根，则（）（注：为虚数单位）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得：，故.6.在中，，，分别为，，的对边，若，则为（）A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.以上三个选项都有可能【答案】D【解析】在中，，由余弦定理得，整理得，则，因此，显然之一可以是钝角，也可以是直角，这两个角还可以都是锐角.7.已知为随机事件，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】说明了的发生与否与的发生与否无关，即与相互独立，其等价于与相互独立，而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件.8.已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（）A.24 B.25 C.48 D.49【答案】A【解析】根据题意，，，因为在轴上，所以，所以，解得，设两内切圆半径分别为，，与圆分别相切于点，，，由切线长定理得而，两式相加得，所以T是双曲线的右顶点），轴，所以的横坐标为a，同理可求得的横坐标为a，则，设直线的倾斜角为，则，在，中有，同理可得，设，所以，显然，当，即，时，的内切圆与的内切圆的面积之和取最小值，此时面积为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A.已知高三（1）班五名学生市一模的数学成绩分别99、106、112、105、128，则该组数据的第60百分位数为106B.相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱C.若离散型随机变量X服从参数为，的二项分布，则其方差D.若事件A和B互斥，则【答案】ABC【解析】解：对于A，数据99、106、112、105、128从小到大排序后即为99、105、106、112、128，，则第60百分位数为第3个与第4个数据的算术平均数，故A错误，符合题意；对于B，相关系数r越接近，线性相关性越强，故B错误，符合题意；对于C，，故C错误，符合题意；对于D，事件A和B互斥，则，故D正确，不符合题意．10.已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A.B.的最大值是C.D.若且，则【答案】BD【解析】解：，当且仅当即，时取等号，故A错误；因为且，所以，设，，时，的解为，的解为，则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确；令，，则，，，所以在区间上单调递增，又，，即，即，，即，故C错误；由，，，，，，即，故D正确．11.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（）A.对于，有B.是单调函数C.方程有无数组解D.方程共有个不等的实数根【答案】AC【解析】A选项：设，，其中，分别是，的整数部分，，分别是，的小数部分，则，，所以，故A正确；B选项：当时，此时，函数为常函数，故B错误；C选项：当，，，，……均满足故C正确；D选项：由，得，则．当时，，此时；当时，，代入原方程，得，即或（舍去），解得；当时，，代入原方程，得，即，不符合题意；当时，，代入原方程，得，即或（舍去），解得，综上，原方程共有个不同的实根，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，又为定义在上的奇函数，则，故.13.若，且“，”为假命题，则_________．【答案】【解析】由题得函数y=m-n-x与函数有相同的零点而在x∈π,3π的零点为，，所以，也是m-n-x=0的两个根，即：m=n-∴cos14.如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交．如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路．那么不同的孤立路总计对数为_________．【答案】【解析】首先计算总的路径的对数：甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法，乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对．再计算有相交路径的对数：（等价转换思路）有相交的路径可以理解为过交点后，甲乙交换线路分别到达目的地，这样就等价于甲从到，乙从到的路径对数：甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法，乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法，所以相交路径共有对，因此不同的孤立路一共有：对．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，．（1）证明：平面平面．（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点D，连接，因为为边长为2的正三角形，所以，因为，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解：过点D作直线，分别以所在直线为x轴，y轴，l为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，），，，，，，设平面的法向量为，则，则，令，则，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．16.泊松分布（PoissonDistribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作．（1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值；（2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）（3）若，且，求的取值范围．参考数据：若，，则有，，．解：（1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，当时，泊松分布近似于正态分布，即，，要计算，根据正态分布的性质，，．（2）当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，设为配送延迟包裹数，则，，，，，，那么，某天至少3起配送延迟的概率约为：．（3）由，得，根据泊松分布的概率公式：，，得．设（），由，知在上为减函数．，，，即，的取值范围为．17.已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若．（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式．（1）证明：当时，，当时，，，，是以为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，，所以，当时，；当时，．而，，，均不满足上式．．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点为A，椭圆上动点到左焦点与原点O的最小距离分别为、．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点且直线l方程为.①点E是椭圆C上的动点，若四边形为平行四边形，证明该平行四边形面积为定值；②若点M为的外心，且M在抛物线的准线上，求实数m的取值范围．（1）解：依题意，，，，解得，，所以椭圆的方程为；（2）①证明：设点，，设直线的方程为，由，得；，且，，，原点到直线的距离，，依题意知，，则点，由点在椭圆上，得，又，代入整理得，即，整理得，即，则，因此，所以该平行四边形面积为定值.②解：点，由①得线段的中点，的中点，，线段的中垂线方程为，即，同理线段的中垂线方程为，则．由的外心M在直线上，得，解得，而，则，解得或，则m取值范围为．19.（1）证明：，；（2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：．（1）证明：设，，则；令，，则，得在区间上单调递减，故，所以在区间上单调递减，因此．所以当时，.（2）解：方法一：（数形结合）由题：，令不等式恒成立，说明函数，的图象在直线的下方．函数的周期为，当时，；当时，，．故函