广西玉林市五校2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西玉林市五校2025-2026学年高一下学期5月期中联考试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】D2.下列说法正确的是（）A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B3.已知且，则x等于（）A.3 B. C. D.【答案】C4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C5.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量（精确到）降雨等级小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】D6.如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A7.已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C8.已知为的外心，且，则等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】ACD10.对于，有如下判断，其中错误的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则符合条件的有两个D.若，则是锐角三角形【答案】BD11.正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面平面B.C.直线与BP所成的角可以为直角D.平面，且平面，则平面截正方体所得截面面积的最大值为【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量的夹角为，则__________.【答案】13.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______．【答案】14.一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为nmile.客船由处向正北航行nmile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则______nmile;设灯塔在处的南偏西度,则______.【答案】3660四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.（1）求证：B，C，H，G四点共面；（2）求证：平面.【答案】解：（1）∵G，H分别是，的中点，∴GH是的中位线，∴，又在三棱柱中，，∴，∴B，C，H，G四点共面.（2）∵在三棱柱中，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.16.中，角，，对边分别为，，，.（1）求的大小；（2）若，，求的面积．【答案】解：（1）由已知得，由正弦定理代入上式得，得，由，得.（2）法一：由（1）知，代入得，由余弦定理得，得或，①当时，，②当时，，法二：由题知，，代入得，∵，∴，或①时，，，，②时，，，．17.如图，在五面体中，平面，，，，点为中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求三棱锥的体积．【答案】解：（1）如图所示，取的中点，连接.，.又平面，平面，，，平面，平面.点为中点，，又，，，是平行四边形，，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，就是在平面内的射影，即为直线与平面所成的角.在中，，，，.平面，平面，，在中，，，，平面，又平面，，在中，，.（3）由（1）（2）可知，，，且，又知平面，平面，就是三棱锥的高，.18.已知的内角，，的对边为，，，且．（1）求；（2）若的面积为，求内角的角平分线长的最大值．【答案】解：（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以，所以.（2）因为为角的角平分线，所以，由于，所以，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.19.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围．【答案】解：（1）在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面．（2）取中点，连接，，，，，，，为二面角的平面角．由（1）知平面，平面，，，，，，．（3）当与，都不重合时，令，，延长交的延长线