北京市顺义区顺义区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义区顺义区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题一、选择题1.已知集合A=−2,0,2,4，B=xx2≤4A.−2,0,2 B.0,2 C.−2,2 D.0,2,42.在复平面内，复数(2+i)(1−i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是．A.y=12x B.y=−x2 4.已知向量a=(5,m)，b=(2,−2)，若(a−bA.−1 B.1 C.2 D.−25.在△ABC中，若a=2，∠A=π6，cosA.33 B.23 C.86.函数fx=2sinωx+φω>0,−π2A.−π3 B.−π6 C.7.“角α，β的终边关于原点O对称”是“cos(α−β)=−1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx=3x−2x−1，则不等式fx<0A.0,1 B.0,+∞

C.−∞,0 D.−∞,09.设函数fx=3sinωx+cosωx(ω>0)，若fx+2π=fA.1 B.2 C.3 D.410.某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为mt=m0⋅12tT，其中m0为初始质量，T为半衰期(放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间).已知该物质的半衰期为8A.25 B.27 C.29 D.31二、填空题11.函数f(x)=4−x+lg(x+3)的定义域为12.已知复数z满足1−iz=1−3i，则复数z=

．13.已知α,β∈(0,2π)，且cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，写出满足条件的一组α,β的值α=14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2−ac，则B=

；若15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N①平面CMN截正方体ABCD−A②直线B1D1到平面CMN③存在点P，使得∠B④△PDD1面积的最小值是其中所有正确结论的序号是

．三、解答题16.已知函数f(x)=2cos(1)fx(2)若任意的x∈0,π2，都有fx17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1(1)求证：BD1//(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．18.在▵ABC中，bcosC+c(1)求角A的大小；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得▵ABC存在且唯一确定，求▵ABC的面积．条件①：a=7；条件②：c=8；条件③：cosC=119.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥CD，DA=DC=DP=2，点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N．(1)求证：N是棱PD的中点；(2)若∠BAD=60(ⅰ)二面角M−BD−C的余弦值；(ⅱ)在棱PA上是否存在点Q，使得BQ⊥平面BDM？若存在，求出PQPA的值；若不存在，说明理由．20.已知函数fx=eax(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)求fx(3)当x1<x2且x1⋅21.对于项数为m的数列an，若数列bn满足bk=max{a1,a2,⋯,ak(1)若各项均为正整数的数列an的P数列是3,4,4,5，写出所有的数列a(2)证明：若数列an中存在ai使得ai>a(3)数列bn是an的P数列，数列cn是−an的P数列，定义dn=i=1n1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】(−3,4]

12.【答案】513.【答案】π8

；/答案不唯一，满足题意即可；π8

14.【答案】π3

；

；

；

；；415.【答案】①③

16.【答案】解：(1)f(x)=2cos所以f(x)的最小正周期是2π2由正弦函数的性质，令π2+2kπ≤2x+π解得π6+kπ≤x≤所以f(x)的单调递减区间是π6(2)当x∈0,π2所以当2x+π6=7π6又任意的x∈0,π2所以m≤fx

17.【答案】解：(1)连接BD，设BD∩AC=O，连接OE，因为ABCD−A1B1C1D因为E为DD1的中点，所以因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以B(2)VE为DD1的中点，ED⊥底面ABCD，S▵ACDVE−ACDAC=AE=CE=三角形ACE是等腰三角形，底边AC=2底边高：h▵ACES△ACEVD−ACE13设AD与平面ACE所成角为θ，直线上点D到平面距离为h=63sinθ=直线AD与平面ACE所成角正弦值为6

18.【答案】解：(1)由正弦定理得sinB因为在▵ABC中，π−A=B+C，所以sinA=2又因为0<A<π，所以sinA≠0，所以1可得A=π(2)由(1)知A=π若选条件①：a=7，条件②：c=8，则由余弦定理可得BC即72=AC2+可使得▵ABC的面积存在但不唯一确定，故不符合题意；若选条件①：a=7，条件③：cosC=则cosC=17在▵ABC中由正弦定理可得BCsinA=ABsincos=−cos因为0<B<π，所以sinB=所以S▵ABC若选条件②：c=8，条件③：cosC=则cosC=17在▵ABC中由正弦定理可得BCsinA=ABsincos=−cos因为0<B<π，所以sinB=所以S▵ABC

19.【答案】解：(1)因为底面ABCD为平行四边形，所以CD//AB，而CD⊄平面ABM，AB⊂平面ABM，所以CD//平面ABM，又因为CD⊂平面PCD，平面ABM∩平面PCD=MN，所以CD//MN，在▵PCD中，M为PC的中点，故N为PD的中点．(2)(i)因为底面ABCD为平行四边形，又DA=DC=2，则底面ABCD为菱形，若∠BAD=60∘，可得又因为平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥CD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PDC，所以PD⊥平面ABCD，取AB中点F，连接DF，则DF⊥AB，即DF⊥DC，如图所示，以D为原点，DF,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D0,0,0，A3,−1,0，B3,1,0由于PD⊥平面ABCD，则DP=0,0,2是平面设平面BDM的法向量为n=x,y,z，又DB=所以DB⋅n=0DM⋅n=0设二面角M−BD−C为θ，θ为锐角，所以cosθ=所以二面角M−BD−C的余弦值为21(ii)不存在，理由如下：若在棱PA上存在点Q，设PQPA=λ，则PQ=λPA，且则BQ=若BQ⊥平面BDM，则BQ//n，所以故在棱PA上不存在点Q，使得BQ⊥平面BDM．

20.【答案】解：(1)当a=1时，fx=e所以f1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)fx的定义域为−∞,0∪0,+∞令f′x=0，得f′x与fx−∞,00,11f′−−0+f↘↘↗所以fx的单调递增区间为1a,+∞；单调递减区间为−∞,0(3)当x1<x2且令gx=fx设hx=ax−1所以当x∈−∞,0时，h′x<0；当x∈所以hx在−∞,0上单调递减，在0,+∞从而hx>h0所以gx的单调递增区间为−∞,0和0,+∞当0<x1<x2当x1<x2<0综上，当x1<x2且

21.【答案】解：(1)由题意，各项均为正整数的数列an的P数列是3,4,4,5，写出所有的数列a3,4,4,5，3,4,3,5，3,4,2,5，3,4,1,5(2)由题意，假设不存在k∈{ 1,2,⋯,m−1 }使得bk+1根据P数列定义可知bk+1≥b所以bk+1=b即bk+1所以bn=m