判断矩阵的最大特征值

项目六矩阵的特征值及特征向量

试验1求矩阵的特征值及特征向量

试验目的

学习利用Malhematica(4.0以上版本)吩咐求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方

阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.

求方阵的特征值及特征向量.

例1.1(教材例1.1)求矩阵的特征值及特值向量.

(1)求矩阵A的特征值.输入

MatrixForm[A]

Eigcnvalucs[Al

则输出A的特征值

卜11」}

(2)求矩阵A的特征向量.输入

A={{-LO,2|,{1,2,-1),{1,3,0))

MatrixForm[Al

Eigenvectors[Al

则输出{{-3,l,0},(lAl),{0,0,0)(

即A的特征向量为

(3)利用吩咐Eigensystem同时矩阵A的全部特征值及特征向量.输入

A={{-1A2)J1,2,-1},{1,3,0))

MatrixForm[A]

Eigensystem[A]

则输出矩阵4的特征值及其对应的特征向量.

例1.2求矩阵的特征值及特征向量.

输入

A=Table[i+j,{i3},{j3}]

MatrixFonn[A]

(1)计算矩阵A的全部(精确解)特征值，输入

EigcnvalucsJA]

则输出

{0,6-742,6+742}

(2)计算矩阵A的全部(数值解)特征值，输入

EigenvaIues[N[A]]

则输出

{12,4807,-0.480741,-1.3483xlO-16)

(3)计算矩阵A的全部(精确解)特征向量，输入

Eigenvectors!A]//MatrixForm

则输出

121

1724220342i

2344223442

1724220342i

2344223442

(4)计算矩阵A的全部(数值解)特征向量，输入

Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm

则输出

0.4303620.5665420.702722

|0.805060.111190.582679|

0.4382480.8164970.408248

(5)同时计算矩阵4的全部(精确解)特征值和特征向量，输入

OutputForm[Eigensystem[A]]

则输出所求结果

(6)计算同时矩阵A的零空间，输入

NullSpacefA]

则输出

{{1,-2/}}

(7)调入程序包<<LinearAlgebra'Orthogonalization'后，还可以做以下的运算:

GramSchmidt口：用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化；

Normalize[]:将向量组单位化；

Projection[vectl,vect2]:求从向量组vcctl到vect2的正交映射.

输入

«LinearAlgebra*Orthogonalization'

GramSchmidtjEigenvectors!N|A|]]//McitrixForm

贝I]输出

0.4303620.5665420.702722

[0.805060.111190.582679|

0.4082480.8164970.408248

例1.3求方阵的特征值和特征向量.

输入

Clear[M];

M={{1,2?3,},{2,1,3}{3}3,6}};

Eigenvalues[M]

Eigenvectors[M]

Eigensystem[M]

则分别输出

{-1,0,9)

{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2))

{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}

例1.4(教材例1.2)求矩阵的特征值和特征向量的近似值.

输入

A={(1/3,1/3,-1/2),{1/5,1,-1/3),{6,1,-2});

Eigensystem[A]

则屏幕输出的结果很困难，缘山是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太困难.此时，可采纳

近似形式输入矩阵A,则输出结果也采纳近似形式来表达.

输入

A={{1/3,1/3,-1/2),(1/5,1,-1/3),(6.0,1,-2});

Eigensystem[A]

则输出

U-0.748989-1.271861,-0.748989-1.27186i,U.831311},

{{0,179905+0.192168i,0.H6133+0.0624771,0.955675+0.i},

{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},

{-0.0872248,-().866789,-0.490987}|)

从中可以看到A有两个复特征值及一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实

特征值的特征向量是实的.

例1.5(教材例1.3)已知2是方阵的特征值,求，.

输入

CIear[A,q];

A={{2-3,0,0),{-1,2-t,-3),{-1,-2,2-3));

q=Det[A]

Solve[q==0,t]

则输出

l(t->8})

即当/=8时,2是方阵A的特征值.

例1.6(教材例1.4)已知x=(1,1,-1)是方阵的一个特征向量,求参数及特征向量x所

属的特征值.

设所求特征值为/，输入

Clear[A,B,v,a,b,t];

A={{t-2,1,-2),{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2));

v={l,L-l}；

B=A.v;

Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]

则输出

{{a->-3,b->0,tf-1}}

即〃=_38=0时，向量x=是方阵A的属于特征值“和特征向量.

矩阵的相像变换

例L7(教材例1.5)设矩阵，求一可逆矩阵P,使PT人尸为对角矩阵.

方法1输入

CIear[A,P];

A={{4,1,1),(2,2,2),{2,2,2));

Eigenvalues[A]

P=Eigenvectors[A]//Transpose

则输出

{0,2,6}

{{0,-11},{-1,1,1},{1,1,1))

，0

即矩阵A的特征值为0,2,6.特征向量为-11及I,矩阵.

,11力

可验证P-]AP为对角阵，事实上，输入

Inverse[P].A.P

则输出

{{0,0,0),{0,2,0},{0,0,61)

因此，矩阵A在相像变换矩阵P的作用下，可化作对角阵.

方法2干脆运用JordanDecomposition吩咐，输入

jor=JordanDecomposition[Al

则输出

{{{0,-1,1),(-1,1,1),{1,1,1}),{{0,0,0),{0,2,0},{0,0,6)))

可取出第一个矩阵S和其次个矩阵A，事实上，输入

jorlUJJ

Jor[⑵]

则输出

{{0,-1,1},{-1,14},{1,1,1))

{{0,0,0},{020},{006}}

输出结果及方法1的得到的结果完全相同.

例1.8方阵是否及对角阵相像？

输入

Clear[A];

A={{1,0},(2,1}};

Eigensystcm[A]

输出为

{{1,1},{{0,1}{0,0}}}

于是，1是二重特征值，但是只有向量{0,1}是特征向量,因此，矩阵A不及对角阵相像.

例L9(教材例1.6)已知方阵及相像,求x,y.

留意矩阵B是对角矩陶特征值是72y.又矩阵A是分块下三角矩阵,-2是矩阵A的特

征值.矩阵A及B相像，则)，=-2,且-1,2也是矩阵A的特征值.

输入

Clear[c,v];

V={{4,0,0},{-22X,-2},{-3,-1,1}};

Solve|Det[v]==(),x]

则输出

{{xf0}}

所以，在题设条件,x=U,y=-2.

例1.10对实对称矩阵，求一个正交阵P,使pT人尸为对角阵.

输入

«LinearAlgebra\Orthogonalization

Clear[A,P]

A={{0,1,1,0},{1,0,1,0},{1,1,0,0)JO,0,0,2)};

Eigenvalues[A]

Eigenvectors[A]

输出的特征值及特征向量为

M,-l,2,2}

{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,l,o)}

再输入

P=GramSchnidt[Eigenvectors[A]]//Transpose

输出为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵P

,0,{o,oj,o}}

为了验证尸是正交阵，以及p-AP=P7Ap是对角阵，输入

Transpose[P].P

Inverse[P].A.P//Simplify

Transpose[P].A.P//simplify

则输出

{{1,0,0,0),(0,1,0,0},{0,0,l,0},{0,0,9,1)}

{{-1,0,0,()},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}

{{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0}0,2,0},{0,9,0,2)}

第一个结果说明PKE,因此P是正交阵;其次个及第三个结果说明

p7AP=P，AP=

2

、2,

例1.11求一个正交变换，化二次型f=2xjX2+2X/3+2巧巧+2工：为标准型.

二次型的矩阵为

这恰好是例Lio的矩阵，因此，用例Lio中的正交矩阵尸，作正交变换x=py,即

ri111

0

F

㈤一五

1

芍=0077为

占)'3

111

忑飞0

I0后

010Z

将f化作标准型.输入

f=Table[x[j],{j,4}1.A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify

则输出

2(x[2]x[3]+x[1](x[2]+x[3])+x[4]2)

这是原来的二次型/.把上式中的X[1]〃[2]»[3]飞[4]用丫口],丫[2]=[3],丫[4]表示,

输入代换吩咐

f/.Table[x[j]T(P.Table[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]//

Simplify

则输出

-y[l]2-y[2]2+2(y[3y+y[4]2)

这就是二次型f的标准型.

例1.12（教材例1.7）己知二次型

f(x}，工),$)二寸-2xj+岩+2工]x-,-4^|x3+2X西

⑴求标准形；（2）求正惯性指数；（3）推断二次型是否正定.

输入

A={{1,1,-2},{1,-2,1|,{-2,1,1))

Eigenvalues|A]

则输出矩阵A的特征值为

{-3,0,3}

所以二次型的标准形为f=3），；+3为;正惯性指数为1;该二次型不是正定的.

例L13（教材例1.8）求正交变换将二次型

x+x；+x；+2^|

/（七,々，均）=\看+x2-2X1X4+2X2X3-2x3x4

化为标准形.

输入

MatrixForm[A]

X={xl,x2,x3.x4）;

ExpandfX.A.X]

«LinearAlgebra\Orthogonalization.m

P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]

P.A.Inverse[P]//MatrixForm

则输出所求的正交变换矩阵P及二次型矩阵A标准形.从结果知，所求二次型的标准型为

g=-），；+£+）,；+），；

试验2层次分析法

试验目的

通过应用层次分析法解决一个实际问题，学习层次分析法的基本原理及方法;驾驭用层次

分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.

基本原理

层次分析法是系统分析的重要工具之一，其基本思想是把问题层次化、数量化，并用数学

方法为分析、决策、预报或限制供应定量依据.它特殊适用于难以完全量化，又相互关联、

相互制约的众多因素构成的困难问题.它把人的思维过程层次化、数量化，是系统分析的一中

新型的数学方法.

运用层次分析法建立数学模型，一般可按如下四个基本步骤进行.

1.建立层次结构

首先对所面临的问题要驾驭足够的信息，搞清晰问题的范围、因素、各因素之间的相互

关系，及所要解决问题的FI标.把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型.在这

个模型下，困难问题被分解为元素的组成部分.这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层

次结构一般分三层：

第一层为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层；

其次层为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：准则、子准则，也称准则

层；

第三层为最底层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案层.

图2-1

注:上述层次结构具有以下特点:(1)从上到下依次地存在支配关系，并用直线段表示;(2)

整个层次结构中层次数不受限制.

2.构造推断矩阵

构造推断矩阵是建立层次分析模型的关键.假定以上一层的某元素y为准则，它圻支配

的下一层次的元素为司,修,…，与，这〃个元素对上一层次的元素y有影响，要确定它们在中

的比重.采纳成对比较法.即每次取两个元素项和勺，用与表示田及勺对)，的影响之比,

全部比较的结果可用矩阵力表示，即

A=(aij)nxtl,f,j=1,2,­■­,/?.

称矩阵A为推断矩阵.

依据上述定义，易见推断矩阵的元素旬满意下列性质：

«；,•=—«=J),因(i=j)

a>J

当%>0时，我们称推断矩阵4为正互反矩阵.

怎样确定推断矩阵A的元素%的取值呢？

当某层的元素2,修，…，/对于上一层某元素y的影响可干脆定量表示时，/及勺对_y

的影响之比可以干脆确定，与的值也可干脆确定.但对于大多数社会经济问题，特殊是比较

困难的问题，元素田及勺对），的重要性不简单干脆获得，须要通过适当的量化方法来解决.

通常取数字卜9及其倒数作为%的取值范围.这是因为在进行定性的成对比较时，通常采纳

5级制（表1）,在每两个等级之间各有一个中间状态，共1~9个尺度，另外心理学家认为进行成

对比较的因素太多，将超出人们的推断比较实力，降低精确.实践证明，成对比较的尺度以

7±2为宜，故旬的取值范围是1,2,…,9及其倒数.

表1比较尺度%的取值

x/Xj相等较强强很强绝对强

13579

3.计算层次单排序权重并做一样性检验

层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.

详细做法是：依据同一层〃个元素王,均，…，/对上一层某元素）'的推断矩阵A，求出它们对

于元素y的相对排序权重，记为卬1，卬2,…，卬〃，写成向量形式卬=（%,卬2,…，叫）7,称其为4

的层次单排序权重向置，其中吗表家第，•个元素对上一层中某元素），所占的比重，从而得到

层次单排序.

层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用推断矩阵A的特征值及特征向

量来计算排序权重向量W.

关于正互反矩阵A,我们不加证明地给出下列结果.

（1）假如一个正互反矩阵4=（%满意

则称矩阵A具有一样性.称元素毛,勺的成对比较是一样的；并且称A为一样矩阵.

（2）〃阶正互反矩阵4的最大特征根41ax之〃，当7=〃时，A是一样的.

（3）〃阶正互反矩阵是一样矩阵的充分必要条件是最大特征值4皿=〃.

计算排序权重向■的方法和步骤

设卬=（幼,g,…,叱）7是〃阶推断矩阵的排序权重向量，当A为一样矩阵时，依据〃

阶推断矩阵构成的定义，有

（2.1）

因而满意=〃明这里〃是矩阵4的最大特征根，卬是相应的特征向量；当A为一般的

推断矩阵时A卬=4皿卬，其中4皿是A的最大特征值（也称主特征根），w是相应的特征向

量（也称主特征向量）.经归一化（即）后，可近似作为排序权重向量，这种方法称为

特征根法.

一样性检验

在构造推断矩阵时，我们并没有要求推断矩阵具有一样性，这是由客观事物的困难性

及人的相识的多样性所确定的.特殊是在规模大、因素多的状况下，对于推断矩阵的每个元

素来说，不行能求出精确的伤/叼，但要求推断矩阵大体上应当是一样的.一个经不起推敲

的推断矩阵有可能导致决策的失误.利用上述方法计算排序权重向量，当推断矩阵过于偏离

一样性时，其牢靠性也有问题.因此，须要对推断矩阵的一样性进行检验，检验可按如下步骤

进行：

（1）计算一样性指标a

67=4一〃

max(2.2)

n-\

当C/=0,即〃时，推断矩阵A是一样的.当C/的值越大，推断矩阵4的不一样的程

度就越严峻.

（2）查找相应的平均随机一样性指标R/

表2给出了〃。〜II）阶正互反矩阵的平均随机一样性指标R/,其中数据采纳了

10（）〜15（）个随机样本矩阵A计算得到.

表2

矩阵阶数1234567891011

RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51

（3）计算一样性比例CR

(2.3)

CR啜

当CRvO.lO时，认为推断矩阵的一样性是可以接受的；否则应对推断矩阵作适当修正.

4.计算层次总排序权宜并做一样性检验

计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后，还须要得到各层元素，特殊

是最底层中各方案对于口标层的排序权重，即层次总排序权重向量，再进行方案选择.层次

总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到.

考虑3个层次的决策问题：第一层只有1个元素，其次层有〃个元素，第三层有，〃个元

素.设其次层对第一层的层次单排序的权重向量为

卬⑵=32破2）,…成2））T

第三层对其次层的层次单排序的权重向量为

暧）=（噌,咽）,…，噜）T,k=1,2,…,〃

以卬骨为列向量构成矩阵：

唠，卬甲、

”1，

唱,1”⑶

）（・%2，出〃2，

卬（3=渡）,唠产,碍）=••(2.4)

喀，词;’W⑶

nm>mxn

则第三层对第一层的层次总排序权重向量为

卬⑶=卬⑶卬⑵

(2.5)

一般地，若层次模型共有s层，则第々层对第一层的总排序权重向量为

M"）=w（3J"T）,#=3,4,・：S（2.6）

其中W*）是以第k层对第±-1层的排序权向量为列向量组成的矩阵,是第A-1层对第

一层的总排序权重向量.依据上述递推公式，可得到最下层（第s层）对第一层的总排序权重

向量为

卬⑸=卬⑹）…卬⑶卬⑵

W@T(2.7)

对层次总排序权重向量也要进行一样性检验.详细方法是从最高层到最低层逐层进行

检验.

假如所考虑的层次分析模型共有S层.设第/(34/Ws)层的一样性指标及随机一样性

指标分别为c/?,c或),…,是第/-1层元素的数目)及…小/，)，令

(,)(/)(,)(/_,)

Cl=[C/1,---,C/I]vv(2.8i

RN…、(2.9)

则第/层对第一层的总排序权向量的一样性比率为

CRU)=CRg)/=3,4/、s(2.10)

其中CR⑵为由(2.3)式计算的其次层对第一层的排序权重向量的一样性比率.

当最下层对第一层的总排序权重向量的一样性比率CR")<0.1时，就认为整个层次结构

的比较推断可通过一样性检验.

应用举例

问题在选购电脑时，人们希望花最少的钱买到最志向的电脑.试通过层次分析法建立

数学模型,并以此确定欲选购的电脑.

1.建立选购电脑的层次结构模型

目标层

准则层

方案层

图2-2

该层次结构模型共有三层:目标层(用符号z表示最终的选择目标)；准则层(分别用符号

必，心，…,K表示“性能”、“价格示“质量”、“外观”、“售后服务”五个推断准则);方案层(分

别用符号2.2,为表示品牌1，品牌2,品牌3三种选择方案).

2.构造成对比较推断矩阵

(1)建立准则层对目标层的成对比较推断矩阵

依据表1的定量化尺度，从建模者的个人观点动身,设准则层对目标层的成对比较推断

矩阵为

I5393'

1/511/221/2

A=1/32131(2.11)

1/91/21/311/3

1/32131

(2)建立方案层对准则层的成对比较推断矩阵

-11/31/5-135--11/31/5-

坊=311/2，B『1/312，当=311/2

5211/51/21521

-153-133-

1/511/2B=1/311

1/3211/311

3.计算层次单排序权重向量并做•样性检验

先利用Mathemalica计算矩阵A的最大特征值及特征值所对应的特征向量.

输入

«Miscellaneous\RealOnly.m

产调用只求实数运算的软件包*)

A={{1.0,5,393},{1/5,1,1/2,2,1/2|,(1/3,2,1,3,1),

(1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,11)；

(*以小数形式1.0输入进行近似计算，可避开精确解太长、太困难*)

T=Eigensystem[A]//Chop

(*输入//Chop,壬及零特别接近的数换成零*)

则输出

{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0),

{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926},

{0,742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},

{0,742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},

{-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555),

{-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742)))

(输出中的Nonreal表示复数)

从中得到A的最大特征值4m=5.00974,及其对应的特征向量

x=(0.88126,0.167913,0304926,0.0960557A304926)7

输入

Clear[x];

x=T[[2,l]];

ww2=x/Apply[Pljs,x]

则得到归一化后的特征向房

w(2)=(0.502119,0.()956728,().173739,0.0547301,0.173739)7

计算一样性指标CI=小一“，其中〃=5,4皿=5.00974,故

n-\

67=0.002435

查表得到相应的随机一样性指标

/?/=!.12

从而得到一样性比率

CR⑵='=0.002174

RI

因CR⑶Vo,通过了一样性检验,即认为A的一样性程度在容许的范围之内，可以用归一

化后的特征向量卬⑵作为排序权重向量.

下面再求矩阵吗"=12…,5)的最大特征值及特征值所对应的特征向量，输入

B1=B3={{1.04/3,1/5},{3,1,1/2),{5,2,1));

B2=Transpose[B1];

B4={{1.0,5,3),{1/5,1,1/2),{1/3,2,1));

B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}};

Tl=Eigensystem[B1]//Chop

T2=Eigensystem[B2]//Chop

T3=Eigensystem[B3]//Chop

T4=Eigensystem|B4]//Chop

T5=Eigcnsystem[B5]//Chop

则输出

{{3,00369,Nonreal,Nonrcal),

{{().163954,0.46286,0.871137),

{Nonreal,Nonreal,0.871137),

{Nonreal,Nonreal,().871137}});

{{3,00369,Nonreal,Nonrcal),

{{().928119,0.328758,0.174679},

{0,928119,Nonreal,Nonreal),

(0.928119,NonreaI,Nonrcal))}

{{3.00369,NonrcaLNonrcal),

{{().163954,0.46286,0.871137),

{Nonreal,Nonreal,0.871137),

{Nonreal,Nonreal,().871137)))

{{3.00369,NonrcaLNonrcal},

{{0.928119,0.174679,0.328758},

{0.928119,Nonreal,Nonreal),

{0.928119,Nonreal,Nonreal)|)

{{3,0,0},

{{0,904534,0.301511,0.301511),

{-0.973329,0.162221,0.162221},

{-0.170182,-0.667851,0.724578))

从上面的输出可以分别得到Bj(j=1,2,...,5)的最大特征值

4=3.00369,冬=3.00369,不=3.00369,儿=3.00369,=3.000

以及上述特征值所对应的特征向量

芮=(0.163954,0.46286,0.871137)7

巧=(0.928119,0328758,0.174679)7

巧=(0.163954,0.46286,0.871137尸

.Q=(0.928119,0.174679,0.328758)7

7

x5=(0.904534,0.3()1511,0.3015II)

其中巧=(项],/2，叼)，1=12-、5.为求出归一化后的特征向量,输入

Clear[xI,x2,x3,x^,x5];

xl=Tl[[2,l]];

wl=xl/Apply[Plus,x1]

x2=T2[[2,l]];

w2=x2/Apply[Plus,x2]

x3=T3[[2,ll];

w3=x3/Apply[Plus,x3]

x4=T4[[2,1]];

w4=x4/Apply[Plus,x4]

x5=T5[[2,l]];

w5=x5/Apply[Plus,x5]

则输出

%=(0.109452,0.308996,0.581552)7

卬2=(0.648329,0.229651,0.12202)7

g=(0.109452,0.308996,().581552)7

=(0.648329,0.12202,0.229651)7

卬5=(0.60(XXX),0.2(X)()()0,0.200()()0)r

计算一样性指标门,•="•(/•=1,2,…,5),其中〃=3,输入

n-\

lamda={Tl[[lJ]]J2[[lJ]],T3[[14]],T4[[l,l]],T5[[l,l]])

CI=(lamda-3)/(3-l)//Chop

则输出

CZj=0.0018473,CI2=0.0018473,C/3=0.0018473,

C/4=0.0018473,C/5=0

查表得到相