线性代数期末复习题 (一)

线性代数

一.单项选择题

1.设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是o

(a)若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵

(b)若A/0且BWO,则ABWO

(c)若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵

(d)若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵

2.设A、B是两个n阶可逆方阵，贝叩小劝丁等于()

(a)⑷7(*尸(b)("尸(4尸

(c)仍)'(『)，(d)炉)'(4尸

型线性方程组AX=b，当r(A尸m时，则方程组.

(a)可能无解(b)有唯一解(c)有无穷多解(d)有解

4.矩阵A与对角阵相似的充要条件是.

(a)A可逆(b)A有n个特征值

(c)A的特征多项式无重根(d)A有n个线性无关特征向量

5.A为n阶方阵，若A2=0,则以下说法正确的是.

(a)A可逆(b)A合同于单位矩阵

(c)A=O(d)AX=0有无穷多解

6.设A,B,C都是〃阶矩阵，且满足关系式=其中E是〃阶单位矩阵,

则必有()

(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

如生《33即4。|］一42一《3

7.若O=。21。22。23=2，则。］=3%4%1_a22~%=()

a3\〃32〃333〃314々31—〃32_。33

(A)-6(B)6(C)24(D)-24

二、填空题

1.A为n阶矩阵，|A|=3,则|A4'|二,|24"'-4*|=.

-112

2.设A=021,则A的伴随矩阵A*=；

003

2—1.

3.设A=,则o

-11

4.R3中的向量a=(i23),/?=(222),2a-〃=2九则/=,\a\=.

5.设3阶矩阵A的行列式|4|二8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为

6.二次型/(%,孙七,％4)=X：+2月一24一4AM-4毛天对应的矩阵是.

7.已知三维向量空间的一组基为：/=[1,1,0],%=[1,05,%=[°，1』，则向量a=[2,0,0]

在这组基下的坐标为：0

8.如果二次型鼻)=2x；+3x；+尾+2%/+2工]刍是正定的，则，的取值范围

是o

三、解答题

0101-1

1.设AX+8=X,其中A二-111,B=20,求X

-10-15-3

的一个极大线性无关组，并将其

他向量用该极大线性无关组线性表出.

M+2X2-2X3=0

4.设线性方程组-々+笈3=0,问2取何值时方程组有非零解？并求通解，写出其基

3,甘+x2-x3=0

础解系.

X+9+例=4

5.已知方程组4%1一招+2%=—4

一2+优+43=公

(I)及为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？

(2)在有无穷多解时，求出方程组的通解。

6.已知二次型/(内/2，%)=2%£+2与玉+2工2天,利用正交变换化/为标准形，并写出相

应的正交矩阵.

四、证明题

若A?-2A-4E=0,证明A+£可逆，并求(A+Ef1.

答案

一、(1)d(2)a(3)d(4)d⑸d(6)d(7)d

6-3-30、

1

二、(1)9;3"T(2)03-1(3)(4)1；A/14(5)-2

12

0022,

1-20

3

(6)-22-2(7)[1,1-1](8)f＞一

5

0-22

三、(I)由AX+8=X得：(A-E)X=-3

10

因为A-E=0|A-E|=-3^0,所以4一石可逆。

0

2\_

0

-33

2\_

(人一七尸二，故X=(A-E)-B=0(2)(ad-be)2

33

1

\_

0

33

1728

4=1时有非零解；

(3)at,a2,a31名+§%一针3(4)

X=k(o1O'攵取任意数(0117'为基础解系

1

⑸-12=代+1)/-4)

-ik1

(1)当女工—1且时，方程组有唯一解;

11-1:411-1:4

⑵当％=—1时，[从〃]=12；-40-23；-8

1；1000；3

«[A乃])Hr(A),方程组无解;

14；4103；0

(3)当女=4时，[A小卜1-12：-4^011；4

16」［00

-40；0

r([A^])=rM)=2<3,方程组有无穷多解,

通解为:(刍为任意常数)

—

—

Ff_fL

l

2