如何学好初中几何

如何学好初中几何

初中几何是初中数学一个分支,而初中数学是初中阶段的一门重要课程,它对于培育学生的识图、

画图实力与逻辑思维实力和推理论证实力都是非常重要的。这里我就如何学好初中几何谈一点浅显的

看法。

一、要有足够的基础学问钻备

这里所说的基础学问，是指定义、公理、定理（推论），特殊是基本图形的几何语言描述、基本

几何作图的规范语言以与一些概念性的东西要娴熟驾驭。

图1

图1是一些基本的几何图形，你能用规范的几何语言表述吗?

图2

图2是一些几何基本作图，你能用规范的几何语言进行表述吗？

初中几何除定义外，还有10条公理、140多条定理，你是否已经全部理解并驾驭了。

这些都是学好初中儿何的基础，只有有j足够的学问储备，才能在解决几何问题的时候得心应手。

二、能够对定义、公理、定理（推论）进行分类

这里所说的分类，是指哪些定义、公理、定理（推论）得够得到线段平行、垂直、相等、不等

哪些又可以得到角相等、不等……以与哪些又可以得到比例式和……

（一）线平行

1.两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线相互平行。

2.两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相互平行。

3.“三线八角

4：两全言线截一组直线，所截得的线段对应成比例，则这两条直线平行。

5.平行四边形对边。

6.三角形（梯形）中位线。

（二）线垂直

1.一条直线垂直两条平行线中的一条，则确定垂直另一条。

2.勾股定理逆定理。

3.身影定理逆定理。

4.邻补角相等。

5.三角形中两锐角和为900°

6.菱形对角线。

7.矩形内角。

8.圆中直径所对圆周角。

9.圆的切线与过切点半（直）径。

（三）线段相等

1.全等三角形对应边。

2.三角形中等角对等边。

3.等腰三角形腰、腰上的高（中线）、底角平分线。

4.等边三角形。

5.中点、三角形（梯形）中位线。

6.勾股定理。

7.平行四边形对边。

8.等腰梯形对角线。

9.同圆或等圆中相等圆周（心）角所对的弦。

10.同圆或等圆的半（直）径。

11.切线长定理。

12.直角三角形斜边上的中线。

13.角平分线上的点到角两边距离。

14.线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

（四）线段不等

1.三角形中大角对大边。（直角三角形中斜边最大）

2.三角形中两边之和大于第三边。

3.三角形中两边之差小于第三边。

4.连结两点的全部线中，线段最短。

5.垂线段最短。

6.同圆或等圆中，大弦（弧）对较大的圆心（周）角。

（五）比例线段

1.平行线分线段在比例。

2.相像三角形对应边成比例。

3.相交弦定理。

4.切割线定理。

5.三角形重心分中线1：20

6.射影定理。

7.三角形角平分线分线段成比例定理。

（六）角相等

1.全等（相像）三角形对应角。

2.二角形中等边对等角。

3.角平分线。

4.切线长定理。

5.圆内接四边形外角等于内对角。

6.三角形（N边形）内角和等于180°（（2）*180°6

7.三角形外角等于不相邻两个内角和。

8.平行四边形对角。

9.平行线“三线八角”。

10.同弧或等弧所对的圆周（心）角。

11.弦切角定理。

12.三角形（N边形）外角和等于3600°

（七）角不等

1.三角形中大边对大角。

2.三角形外角大于不相邻的两个内角。

三、隐图形

“隐图形”是指特殊的图形，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形……°但这些特殊图形在

整个图形中只表现出其中的一部分，假如能够发觉“隐图形”，对我们分析问题、解决问题会有很大

的帮助。

（一）中点带来的“隐图形”

如图：

1、过中点作垂直平分线，与另一边交于一点，这一点与线段的两个端点构成等腰三角形。

2、连结此中点与其他边中届可得中位线，可得平行与线段半倍关系与相像形。

3、作中线，可得面积相等的两个三角形。

4、过中位线一个端点作一边的平行线，可得平行四边形、全等三角形。

5、延长中位线，并使延长部分等于中位线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。

6、延长中线，并使延长部分等于中线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。

（二）角平分线带来的“隐图形”

1、过角平分线上的点作角平分线的垂线，可得等腰三角形，满意三线合一。

2、从角的顶点起先截取的等线段，结合角平分线上的点，隐藏全等三角形。

3、角平分线上的点向角两边作垂线，可得全等二角形。

4、过角平分线上的点作角一边的平行线，可得等腰三角形。

1、相等线段有公共端点，隐藏等腰三角形。

2、相等的线段、角分别在两个三角形中，可能存在全等三角形或相像三角形。

3、平移相等线段中的一条，使其一个端点与另一条线段的一个端点重合，可得等腰三角形，平

移含平行四边形。

4、相等角有公共边，隐藏等腰三角形。

5、线段相等且平行，隐藏平行四边形。

6、两对线分别平行，隐藏平行四边形。

（四）平行四边形带来的“隐图形”

1、假如连结对角线，可得全等三角形。

2、过对角顶作垂线，可得矩形和全等直角三角形。

3、菱形作对角线，可得亚直平分。

（五）梯形带来的“隐图形”

1、作梯形中位线，可得平行与半倍关系。（中位线平行丙底且等于两底和的一半）

2、延长梯形两腰，可构成三角形

3、连结一腰端点和另一腰的中点并延长与另一底相交，可得全等三角形。

4、等腰梯形平移腰或平移对角线可得等腰三角形、平行四边形。

（六）其它

1、在三角形中，假如给出两条中线（高、角平分线、边垂直平分线），则交点为重心（垂心、内

心、外心），则要考虑第三条线，并考虑第三条线所带来的相关结论。

2、“三线合一”，假如一个三角形巾，中线、高、角平分线三线合一，必为等腰三角形。

四、常用分析问题方法

分析问题、解决问题的方法有很多种，诸如“综合法”、“分析法”、“反证法”、“枚举法（穷举法）、

完全归纳法、不完全归纳法……等等。

这里，我们只对探讨几何问题常用的三种方法：综合法、分析法和反证法进行简洁的介绍。

综合法:一种干脆证法，从已知条件动身，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最终

达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。

适用题型：

适用于己知条件相对较少［|勺题目。

步骤：

综合己加条件，看能够得到什么样的结论，选择与待证结论相关的再结合其他已知条件进一步论

证，如此反复，最终达到待证的结论。

用综合法解决问题时，每一个中间论证都会得到若干个绢论，选择恰当的中间结论进一步论证是

综合法的关键。

八,通常,们》写的解题过程，就是按综合法书写。

已知可知可知未知

例题:

如图，已知点A、B、D在一条直线上，△ABC、ABDE为等边三角形，AE交BC于M,CD交BE于N・

求证：MNZ/AD

分析：

从已经等边三角形，我们可知相等的线段及诸多60°的角.C

进而可知AAEB治Z^CDB（SAS）.

可知NBAE=NBCD

可知△BAM组△BCNlASA）.

HTAznpii—DM

可知△嬴NW等腰三角形且有一个角为60・。

nT4nZPMIT—GO0

根据内晶“目等鬲直线平行，得MN〃皿

本题通过规范、准确地画图，可以发现：

1、何能是等边A；

2、^AEB与ACDB可能全等；

3、△5端与48。呵能全等（，

图3

图3给出了综合法分析问即的过程与示例。

（二）分析法

分析法是一种间接证法，从要证的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一

个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止，从而证明论点的正确性、

合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。

适用题型：

已知条件相对较多的题目，或者运用干脆证法比较困难的题目0

步骤：

从待证的结论动身，“要证……，只需证明（知道）……”，解除已知条件和明显成立的条件，重

复“要证……，只需证明（知道）……，直到所需条件全部成立，于是问题得证。

分析法是分析问题、解决问题最常用的一种方法。我们通常用分析法对问题进行分析，然后运用

综合法写出解决问题的过程。

证明过程的书写没有确定的要求，用综合法也好，用分析法也好，还是用反证法也好，都可以用

来书写证明过程。

上述例子，以与下面的两例就是分别用综合法和分析法与反证法书写证明过程。

未知一需知—需知——......已知

例题:

如图，已知点A、B、D在一条直线上，△ABC、ABDE为等边三角形，AE交BC于M,CD交BE于N・

求证：MNZ/AD

分析：

要证MN/7ADC

只需ZBMN=ZABC（60°）

因为ZMBN=600所以只需B忙MN/XX

只需△BAMWaBCN/

只需ZBAM=ZBCN,AB=BC（已知），ZABM=ZCBN（已知）/\\F

只需AAEB治ZiCDB/\\J；

只需BA=BC（已知），ZABE=ZCBD=120",BE=BD（已知；/\

所需均成立，所以问题所证。//N\\

本题通过规范、准确地画图，可以发现：\/、

1、△BMN可能是等边△；ABD

2、AAEB与ACDB可能全等；

3、aBAN与ABC呵能全等.

图4

图4给出了分析法分析问题的过程与示例。

（三）反证法

又称归谬法、背理法，是一种间接证法，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不

成立），然后推理出明显冲突的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

适用题型：

1、唯一性命题

2、否定性命题

3、“至多”，“至少”型命题

4、不等量问题

步骤：

1、假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

2、从这个假设的命题动身，经过推理证明得出冲突。

3、由冲突推断假设不成立，从而确定命题的结论正确。

假设结论得出矛盾

推理论证推理论证

成结论正确

例题：

如图，任意AABC中，D为CB边上的一点，E为C秘上的一点。

求证：曲与BE不可能互相平分

分析：

连结DE

媵设AD与BE互相平分

那么，四边形ABDE中

因为对角线互相平分

所以四边形ABDE为平行四边形

所以AE〃BD

而AE在AC边上，BD在B二边上，AC与BD相交

即AE不可能与BD平行

所以假设不成立

所以AD与BE不可能互相平分

B

本题是否定性命题，可考虑使用质证法。

图5

a5给出了反证法分析问题的过程与示例。

五、几何问题分类

考试时我们会接触到填空题、选择题、推断题、作图题、计算题、证明题、探究题……

但我们这里所说的问题分类是指所涉与的几何问题按探究的内容进行划分，可分为3类:作图题、

证明题、探究题。

作图题：

这里所说的作图，是指“尺规作图”，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。“尺规作图”

有八种基本作图，五种基本作法。（详细内容可参见百度百科）

证明题：

证明题是让我们证明一个命题是正确的，也就是说有确定的结论。如证明两条线平行，证明两条

线段相等……

探究题：

是相对证明题而言这一类题没有明确的结果，如求一条线段的长度、求一个角的度数、探讨两

条直线（线段）的关系、探讨两个图形是否相像……

六、如何解难题

当我们面对一道几何题（作图题除外）时，假如问题相对简洁，我们通过干脆视察就很简洁找到

解决的方法。但对于一些相对困难、难度较大的题目时，大多数同学感到无从下手，甚至放弃。

当面对一道不知从何处着手的几何问题时，真的就放弃了吗？

以下题为例，你可以按我下面说的步骤试一试：

1、重新画图

重新画图不是照样画样地把原图再画一遍，应当是把题目细致阅读，在充分理解题意的前提下，

依据题意重新画图，单纯地仿照画图，可能会出现偏差，在很大程度上会影响结合图形分析问题。

重新画图，能嵯让我们更加充分地理解题目，并在画图的过程中开发我们的思路。

依据题意，四边形是一个梯形，并且底边等于其中的一条腰，明确这一点后，我们会发觉，当我

们确定后，无法干脆确定的位置，只有先画出、后才能通过过D点作的平行线，在适当位置确定A点,

最终画出符合题意的梯形。如何确定E点呢？依据题意，点E是过D点平行的直线与角的平分线的交

点，于是画出过D点平行的直线，再作角的平分线，交于一点，这一点就是E,擦除多余的线（哈哈,

要是用钢笔画不太好擦吧）。连结并延长，交于点F。

2、标识等量

画完图后，我们要做的是在图中把已知条件中给出的相等关系的量（相等的线段、相等的角）或

能够知道相等的关系量用相同的符号进行标记，己知线段长度、角的度数

或能勺多知道的线段长度、角的度数也做好标记。

为避开混淆，标记的线段或角最好是单一线段

（角）。

加等的线段用相同的符号标记，不同组用不同的符

号；相等的角用阿拉伯数字与弧标记，不同组分别用

一条弧、两条弧标记。

如图中：=,是一条单一的线段，但之上有一点F,

不是单一线段，这样、就不用标记了，记在脑中就可

以。/和/通过是角平分线可以知道相等，将/标记

上1与一条弧，同样将/标记上2与一条弧。虽然数

字不同，因为都是用一条弧，表示这两个角相等。

假如还有两个角相等且与/I、Z2不相等，则可

用3、4标记，并用2条弧标记。

作标记有两个好处，一是有利于我们分析图形，二是能筋使书写的证明过程简洁、明白，可读性

增加。在证明过程中遇到的角也可以用数字标记出来便于书写和阅读。

3、视察“隐图形”

“隐图形”是指在原图中通过延长线段、连结点、作垂线、作平行线等协助线后得到的特殊图

形，如平行、垂直、半倍线段、特殊△（等边△、等腰△、Ak特殊四边形（正方形、矩形、菱形、

平行

四边形、等腰梯形等），这些特殊形能够为我们供应诸如“相

等”、“平行”、“垂直”等关系。

''"隐图q1"；=这一条》:使我们能够找到第一个隐图

形，连结氏D,可得到等腰△,进而得到/=/,依据三线

合一还能知道，假如延长能防垂直且平分，……

“隐图形2”：结论要证明，假如结论正确，则连结A、F,

三角形就应当是等腰△,这样可以考虑通过证明/=/来证

明。

“隐图形3”：已知中有条件平行、平行，明显延长交于

G,四边形是平行四边形，进而可得,，以与平行四边形中相

等的角C

能够发觉“隐图形”会为我们解决问题供应极大的帮助，但也要相识到，并不是全部的隐图形都

会对我们的解题产生帮助「隐图形2”与要证明的结论有关是明显的，通过视察，想要通过//来证

明是非常困难的；“隐图形1”是通过连结得到的一个等腰三角形，但由这个等腰△得出的等量，与我

们要证明的结论没有太大的关系。而“隐图形3”得到的明显与要证明的结论有关系。

因为“隐图形1”、“隐图形2”对我们证明帮助不大，将、擦除，只保留，最终把和作上标记。

4、发觉全等（相像）形

结合题意，我们进行视察，因为是角平分线，首先视察

有没有以为公共边的全等三角形，很明显，三角形与三角形

是一对以为公共边的全等三角形（），进而得到二，Z=Zo

将、，/、/作上标记。（这里,、我们用双线标记以区分

笫一对相等的线段，/、/分别标记为3、4,并用两条弧标

记以区分另一对相等的角。）

再次视察图形，结合刚刚找到的全等三角形，我们又能

找到一对全等三角形，可得对应边相等、对应角

相等。于是有，再依据可知，问题得证。

综合前4步工作，我们可以给出分析过程：

延长交于G。易知四边形是平行四边形。（发觉隐图形）

耍证，只需证。（通过作协助线可知,）

耍证，只需证△空△（发觉全等形）

要证只需证Z3=Z4,,Z5=Z6（对顶角）。

要证Z3=Z4,,只需证△外

要证△叁△、只需证，Z1=Z2,

（已知），/1=/2（角平分线定义），（公共边），问题得证。

将上述分析过程（分析法）逆推既可写出证明过程（综合法）。

证明：

延长交于点G

:〃（已知）

〃（已知）

，四边形为平行四边形（平行四边形判定）

・・・（平行四边形对边相等）

△和△中

・：（已知）

/1=/2（角平分线定义）

（公共边）

J/3=/4（对应边相等，对应角相等）

△和△中

Z3=Z4（B®

（已证）

/5=/6（对顶角）

・・・（对应边相等）

又；（已证）

・・・（等量代换）证明完毕！

（留意：请细致视察本题书写时每一行左侧的缩进位置，养成良好的书写习惯。）

上面的例题，通过“重新画图”、“标识等量”、“视察隐图形”、“发觉全等（相像）形”我们可以

找到解决问题的方法。但须要留意，利用上述四步时，确定要结合“要证明……，我们可以利用……”

进行分析。比如：“要证明两条线段相等，我们可以利用的定义、公理、定理有14条，结合其他条件

进行选择二

很多同学对一个问题，能嵯口述出它的解决方法，但要求书写出解题（证明）过程时，可能会出

现丢分现象，假如方法正确，因为书写过程丢分，则确定是你书写的过程出现了“丢步”。

书写的解题（证明）过程,必需环环紧扣、一丝不苟。假如缺少某一环节（也就是所说的“丢步）

你的解题（证明）的整体思路没有问题，但是步骤不完整，会造成不必要的损失（丢分）。

要保证书写的过程严谨，其实很简洁，你只须要看上一个“因为”（・・・）到下一个“所以"（J）

所运用的依据是不是以下几种且必需是以下几种：

1、己知；2、定义;3、公理；4、定理；5、己证；6、协助线作法

假如你运用的依据不是上述六种之一，则你的过程是不完整的，甚至可能是错误的。

当一个“・・・”后面是几个条件时，假如符这几个条件在一行书写，之间用逗号隔开；假如几个条

件是分行书写，则最好用左大括号“{”括起来，以便于阅读。

假如一道题有协助线，则在证明一起先要写明协助线作法，留意：是在写“证明:”之后书写协

助线作法，不要放在过程的中间。

“依据”并不是必需标注的，在我们初学几何时进行标注，是为了更好地驾驭定义、公理、定理

的内容，深化学习之后可以不进行标注。

至此，该如何分析、解决一道几何题我们就谈完了，看II了吗?

假如你看懂了，则你还须要结合上述步骤多多进行练习，不

要图省事而忽视步骤。AED

七、综合练习

下M噩薪是结合大量［|勺实例进行分析。

P

例1:

如图所示，边长为1的正方形中，

〃，〃，与交于点P。

（1）若,求证:；

（2）若N=45°,求证:；

（3）若△的周长为1,求矩形BFC

的面积。

分析：

第（1）问：

1、重画图形：通过细致阅读题目，题中对、

的位置除平行边与外没有其它限制。

求证的结论有、，原图中没有，在重新画图时要画出。

2、标识等量：（已知），进而知、、、都与、相等。留意：是已知,

其它相等需证明。

3、视察“隐图形”：本图中有诸多的矩形（正方形）隐藏着诸多

的等腰直角三角形。

4、发觉全等形：通过视察，很简洁发觉，有四个直角三角形△、△、△、△相互之间全等。进

而可知。

证明：

:正方形中，〃

..•四边形为矩形

同理可得

△和△中

V,ZZD,

证明完毕!

本题引发的另一种思索：假如我们连结、，假如垂直且平分，依据三线合一，可证明△为等腰^,

亦可证明。

我们知道，因为四边形是正方形（可证），与是相互垂直平分的，于是当我们连结时，如何证明P

点在上是关键。

你能证明吗？

是/的平分线（正方形对用线平分对角），点P到/两边的

距离相等，所以点P在/的平分线上，即P在上。问题得证。

第（2）问：

留意：通过审题我们应当看到，三个问题之间是相互独立狗,

也就是说，第（2）个问题是没有这一条件的。所以我们应当重

新画一个图，使W,并且使/=45°,依据结论，还要连结。

1、重新画图：第（2）问在画图时，须要留意的是/=45°。先在适当位置确定，连结，然后画

（使N=45°）,交于点H,再做〃，最终连结。

2、标识等量：此间须要留意，与是一对等量，与是另一对等量,

用不同的标记。再将已知的/=45°标出。

3、视察隐图形:由/=45°可以得到NN=45°0

4、发觉全等形：本图中△0△、,△、A^Ao

到目前为止，完成上述四个步骤后，我们好像陷入了僵局，是不

是有手足无措的感觉了？

上述四个步骤只是打算工作，很多题目完成了上述四步只是为接

下来的分析做打算的。视察结论，要证明的是线段的和差相等，这一

类的题目，我们通常考虑运用截长法或补短法。

截长法：是指型如时，我们将c截成两段，使其中

一段等于a,然后只要能证明另一段等于b,则问题可证。

也就是截长线段（c）成两段。

补短法:是指型如时，我们将a（或与a相等的线

段）或b（或与b相等的线段）延长，使延长部分等于b,

这时只要证明延长后得到的新线段等于c即可。也就是

补短线段（a或b）。

截长、补短后，通常我们利用全等三角形、平行四

边形，等腰三角形来证明线段相等。

本题我们运用补短法。假如要补的线段是或与相等的

线段，则，有三条线段、、，究竟选择哪一条呢？选择后

向哪个方向延长呢？这就须要我们视察了。原则上，所

选线段最好与结论有关系。

先看，在的延长线上取一点0,使=,于是我们做

出了（），下面只要证明。下一步须要构造一个以为边的

三角形，证明△丝△即可，明显要连结。我们能够证明

△空△,得。还可证明/=45°=Z1,=依据进而能够

证明△且△,于是=,即。

延长到0使，连结，也可以通过证明△得到，

通过矩形对角线得，还可证明/=450=Z1,依据

可以证明得=,即。

再看，通过对的延长或对的延长我们也可以进行证

明，方法与类似，不再说明。

三看，好像毫无方法。其实我们把思维再发散一些

就会发觉，假如我们把上图中的正方形与△向下平移个长度，会怎么样？这时我们发觉，可以利用上

图的方法进行证明。不再说明。

对延长或与相等的线段（）方法与延长或与相等的线段（、）类似，这里不再说明，大家可以

自己尝试一下。

这里没有给出证明过程，大家自己写出来。E

截长法在本题的证明中也可以运用，但会使证明变得更加的

困难，这里不做介绍。

第（3）问：

1、重新画图：留意，此间中有△的周长为1,上面若干个

P

*•

F

图形都不适合，需重新画图，并连结。

假如画图精确，我们大致可估算出矩形的面积约是正方形面积的一半左右，有利于验证求得的结

果。

02、本问因运用代数方法计算，暂不考虑隐图形和全等形。

本问中涉与△的周长，与△计算有关的定义、公理、定理主要有勾股定理、射影定理、斜边中线

长定理、30度角所对边定理……

已知△的周长为1,，显示与勾股定理有关,为书写与观看便利

设,，则有X?22,，/777_______

依据周长=1,于扉有Jl+S1或①

将①式两边平方（1）2=（F7）2

绽开得：产一22222

整理得1...............................②

2

要求矩形的面积，明显1,1

矩形的面积=X=（1）（1）.........③

绽开得：面积=1=1-（）.............④

将②代入④，面积=1'"L

22

这与我们在重新画图时的存算大致相同。

例2：

己知△的高所在直线与高所在直线相交于点Fo

（1）如图1,若△为锐角三角形，且/=45°,过点F作〃，交直线于点G,求证:。

（2）如