苏科版八年级数学下册专题97三角形的中位线【九大题型】同步练习(学生版+解析)

专题9.7三角形的中位线【九大题型】

【苏科版】

【题型।利用三角形的中位线求角度1......................................................................................1

【题型2利用三角形的中位线求线段长度】.......................................................2

【题型3利用三角形的中位线求周长1......................................................................................3

【题型4利用三角形的中位线求面积】...........................................................4

【题型5利用三角形的中位线求最值】............................................................5

【题型6与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................6

【题型7与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................7

【题型8三角形中位线的实际应用】.............................................................8

【题型9与三角形中位线有关的证明】...........................................................10

话一反三

【知识点三角形的中位线】

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

【题型1利用三角形的中位线求角度】

[例I]（2022春•江苏苏州•八年级校考期中）如图,在四边形40CD中,AD=BC,E、尸、G分别是4B,CD,4c

的中点，若乙DAC=17°,^ACB=91%则"EG等于（）

A.36°B.72°C.74°D.37°

【变式1-1]（2022秋•福建泉州•九年级晋江市季延中学校考期末）如图,在△力8C中，0、E分别是边48、

4「的中点.z/?=32°.现将八/W/?沿。/?折叠.点4落在二角形所在平面内的点为4',则的度数为

（）

A.58°B.116°C.122°D.148°

【变式1-2]（2022春•北京♦八年级人大附中校考期中）如图，三边形4BC。的对角线力。平分乙=

90。,乙4c8=28。，且CO=4C,点O,E分别是4C,AO的中点，则NBOE的度数为.

D

A

B

【变式1-3］（2022春•山西太原•八年级统考期末）如图，已知AABC中，。，石分别是人8,AC的中点，连

接DE并延长至£使石/=/）£,连接C/.若团8=45。，则NF的度数为.

【题型2利用三角形的中位线求线段长度】

【例2】（2022春・湖北武汉•八年级校联考期中）如图,RS48C中，Z-BAC=90°,48=6,8（7=10,2D、

分别是其角平分线和中线，过点3作8GJ.4D于G,交4C于凡连接EG,则线段EG的长为（）

【变式2-1］（2022秋•河南南阳•九年级期末）如图，菱形4BCD的对角线4C,8D相交于点O,点E在。8上,

连接AE,点尸为CD的中点，连接。/，若AE=BE,OE=3,0A=4,则线段OF的长为（）

A.5B.2V5C.3V3D.6

【变式2-2］（2022秋•河南新乡•九年级校考期末）如图，在△/8C中，/E平分N8/C,。是的中点/E1BE,

AB=5,AC=3,则DE的长为（）

A.1B.1C.2D空

【变式2-3］（2022秋•安徽宣城•八年级校考期中）如图，△48C的周长为26,点D,E都在边8C上，乙48。的

平分线垂直于4E,垂足为Q,乙478的平分线垂直于力。，垂足为P,若BC=10,则PQ的长为（）

A.-B.-C.3D.4

22

【题型3利用三角形的中位线求周长】

【例3】（2022春・河北唐山•八年级统考期中）如图，在财3C中，于点。，E,r分别为AC,8C的

中点.AB=1Q,BC=8,DE=4.5,则同DET7的周长是（）

A.14.5B.12.5C.9.5D.13.5

【变式3-1］（2022春・浙江杭州•八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形力BCD的对角线AC的

长为10cm,连接矩形各边中点反F、G、”得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为（）cm.

A.10B.20C.30D.40

【变式3-2）（2022春・河南信阳•八年级统考期末）如图，点。是△48。内一点，BDLCD,AD=11,BD=8,

CD=6,点、E,F,G,〃分别是A4,AC,CD,4。的中点，则四边形EFG〃的周长是（）.

A.14B.18C.21D.24

【变式3-3］（2022春・重庆•八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCO的对角线AC,8。交于点O,

七为4C边上一点，连接。石，尸为QE的中点，连接OF,CF,若ABED的周长为10,则△OCF的周长为（）

A.4B.5C.6D.7

【题型4利用二角形的中位线求面积】

【例4】（2022春•山东德州•八年级校考期末）如图,的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,

BE,CE的中点，则的面积是

【变式4-1］（2022春•广东深圳•八年级统考期末）如图，£尸是团48c的中位线，点。是二一点，且满

足0E=20F,则0/WC的面积与0Aoe的面积之比为（）

A.2:1B.3:2C.5:3D.3:1

【变式4-2］（2022春•河北石家庄•八年级统考期末）如图，在给定的财3c中，动点。从点8出发沿4C

方向向终点C运动，OEIIAC交于点E,OFIIA3交AC于点F,。是EF的中点，在整个运动过程中，回O8C

的面积的大小变化情况是（）

A

A.不变B.一直增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

【变式4-3]（2022春•江苏苏州•八年级校考期末）如图，在△4BC中,D,E分别是38,AC的中点,产是

8c边上的一个动点，连接。E,EF,FD.若△AAC的面积为18cm2,则AQE尸的面积是_cm2

【题型5利用三角形的中位线求最值】

【例5】（2022秋•山东泰安•八年级校考期末）如图，在菱形/BCD中，ZF=45°,BC=2y[3,E,尸分别

是边CD,8c上的动点，连接力E和EF,G,H分别/ME,EF的中点，连接GH,则GH的最小值为（）

A.V3B.yC.yD.1

【变式5・1】（2023秋•河南南阳•九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点4B的坐标分别为A（2,0）,

B（0,2；，点C为平面直角坐标系内一点，BC=1,点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最小值为（）

A.2V2-1B.2V2+1C.D.V2--

【变式5-2］（2023秋•陕西西安•九年级统考期末）如图，矩形/BCD中，4B=8,AD=4,E为48的中点,

产为EC上一动点，P为DF中点,连接尸3,则P8的最小值是.

【变式5-3］（2022春•甘肃兰州•八年级校考期木）已知菱形的两条对角线分别为6和8,M、N分别

是边BC、CO的中点，P是对角线上一点，则PM+PN的最小值是（）

A.5B.5x/3C.5A/2D.不能确定

【题型6与三角形中位线有关的规律探究】

【例6】（2022春・辽宁丹东•八年级校考期末）如下图，在边长为。的等边△48C中，分别取AABC三边的

中点4，Bi，G，得△48iG；再分别取△4&G三边的中点4，Q，得ZM282C2；这样依次下去，

经过第2022次操作后得△力2022员022c2022，则4A202282022c2022的面积为.

【变式6-1］（2022秋・浙江湖州•九年级统考期末）如图，将ZABC沿着过48中点。的直线折叠，使点4落在

8c边上的4处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为阳；还原纸片后，再将沿着过中点5的

直线折叠，使点A落在DE边上的为处，称为第2次操作，折痕打瓦到BC的距离记为％按上述方法不断操

作下去，经过第4次操作后得到的折痕外以到8C的距离记为九…若无】=1，则心的值是（）

【变式6-2］（2022秋•山东济南•九年级统考期中）如图，△/I8C是边长为1的等边三角形，分别取牝\BC边

的中点。、E,连接DE,作EFIb4c得到四边形EZMF,它的周长记作Q；分别取EHBE的中点内，好，连

接仇民,作E/JEF,得到四边形Ei^FF］，它的周长记作Cz，…，照此规律作下去，则C2022等于•

c

【变式6-3]（2022秋•江苏连云港•八年级统考期中）如图,在△力遇2a中，N力遇3/2=90°,5=30。,

AtA3=1.4、&分别是&&的中点，连接力344、44；4、%分别是4344、A4A5的中点，连接

ASA6,A6A7i……按此规律进行下去，则△4202遇20224023中最短边的长度为.

43

[ft7]（2022春・浙江杭州•九年级期末）如图，在6X6的方格纸中，线段48的两个端点分别落在格点上,

请按要求画图:

图1图2

（1）在图1中画一个格点四边形AP8Q,且力B与PQ垂直.

（2）在图2中画一个以48为中位线的格点△OEF.

【变式7-1]（2022秋•山西晋城•九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻

度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线.

【变式7-2］（2022・浙江温州•校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形力BCD

是平行四边形，连结4c（点、A,B,C,。均在格点上），请按要求完成下列作图任务.要求：①仅用无刻

度直尺，且不能用直尺中的直角：②保留作图痕迹.

（1）在图1中作△4BC的中位线Er，且AC=2EF；

（2）在图2中取边4。上点G,以AG,AC为邻边作团G4CH,且田G4cH的面积等于△ABC的面积.

r---『---「一--!—7---1r•

【变式7-3】（2022・四川乐山•三模）如图，在4x4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成

下列解答：

（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹.请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小

题的作图）.

B

A

⑴直接写出线段AB的长为；

⑵在网格图中找一个格点C,连接BC,使&

⑶在网格图中，用正确的方法画出线段4B的中点7）；

⑷连接AC并在线段人。上找一点E，连接。E，使。臼18c.

【题型8三角形中位线的实际应用】

【例8】（2022春・湖北•八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形力8C0形状的空地，其中

ADI/BC,乙B=LBCD,其各边中点分别是从F、G、H,测得充角线4c=10m,现想利用篱笆围成四边形

£7访，场地，则需篱笆的总长度是（）

AHD

A.40mB.30mC.20mD.10m

【变式8-1］（2022春・广东惠州•八年级校联考期末）如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连

接AC和BC.分别取AC,BC的中点E,测得。，石两点间的距离为20m,则4,B两点间的距离为m.

【变式8-2］（2022春・重庆南岸•八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备

规划，决定把原来博物馆的平面图扩大.如图，已知原来博物馆的平面图是团4BCD,规划后博物馆的平面

图是四边形EFGH,其中点A,B,C,。分别是边W,FG,G//,HE的中点.如果原来博物馆的平面图I348CD的

面积为300m2,则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为m2.

【变式8-3］（2022秋•陕西商洛•八年级统考期末）如图（1）,要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向A、

B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

A

B

谕5

D/7

图⑴图⑵图⑶

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法.她把管道/看成一条在线（务2）,问题

就转化为：要在直线/上找一点P,使AP与的和最小，她的做法是这样的：

①作点B关于直线/的对称点方；

②连接A夕交直线/于点P,则点尸即为所求.

请你参照小华的做法解决下列问题，如图（3）,在△A8C中，点。、E分别是AB、AC边的中点，BC=6,

8C边上的高为4,请你在8C边上确定一点P,使的周长最小.

⑴在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求APOE周长的最小值.

【题型9与三角形中位线有关的证明】

【例9】（2022秋山东青岛•九年级校考期末）如图，在平行四边形4BCD中，对角线4C、BD相交于点。,

BD=2BC,E、F、G分别是OC、0D、48的中点.求证：

*D

⑴BE1AC；

⑵连接4凡求证：四边形4GE尸是菱形.

【变式9-1］（2022秋•吉林长春•九年级统考期末）【教材呈现】

如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明.

⑴当对角线AC,8。满足时，四边形OEM"是矩形.

⑵如图2,若四边形力ECD是矩形，且M是力B的中点，判断四边形。EM尸是什么特殊的平行四边形，并写出

证明过程.

⑶如图3,在四边形48C0为矩形的条件下，若点M是边48延长线上的一点，此时。4ME,MF三条线段之

间存在怎样的数最关系？并说明理由.

专题9.7三角形的中位线【九大题型】

【苏科版】

【撅型।利用三角形的中位线求角度】...........................................................1

【题型2利用三角形的中位线求线段长度】.......................................................2

【题型3利用三角形的中位线求周长〕...........................................................3

【题型4利用三角形的中位线求面积】...........................................................4

【题型5利用三角形的中位线求最值】...........................................................5

【题型6与三角形中位线有关的规律探究】.......................................................6

【题型7与三角形中位线有关的格点作图】.......................................................7

【题型8三角形中位线的实际应用】.............................................................8

【题型9与三角形中位线有关的证明］..........................................................10

Ab学一更三

【知识点三角形的中位线】

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

【题型1利用三角形的中位线求角度】

【例1】（2022春・江苏苏州•八年级校考期中）如图，在四边形力8C。中，AD=BC,E、F、

G分别是4A,CO,"的中点，若/DAC=17。,/LACR=91°,则/尸66等于（）

【答案】D

【分析】根据三角形中位线定理得到GE=G凡利用等腰三角形的性质得到

延长FG交718于点M,利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可.

【详解】如图，延长FG交AB于点M,

^AD=BC,E、尸、G分别是AB,CD,AC的中点，Z.DAC=17°,LACB=91°,

0GF||AD,GF=^AD,GE|BC.GE=^BC,GE=GF,

13NFEG=NEFG,^-DAC=^-FGC=^.ACM=17°,^AGE=Z.ACB=91°,

^/-MGE=/-AGE-ZAGM=Z.FEG+^EFG=2乙FEG=91°-17°=74°,

解得匕FEG=37°.

故选D.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性

质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

【变式1-1]（2022秋・福建泉州•九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，0、

E分别是边4B、4C的中点，=32°.现将△ADE沿DE折叠，点4落在三角形所在平面内

的点为A,则4的度数为（）

A.58°B.116°C.122°D.148°

【答案】B

【分析】如图，证明乙409=乙4'。£,证明。质]BC,得到团4。£＞团8=32。，即可解决问题.

【详解】解：由题意得：（MDE=[ZLA7JE；

0D.E分别是边AB、人。的中点，

配出是IMBC的中位线，

⑦DE〃BC,

0Z/1DE=/.A'DE=NB=32°,

回上8。4'=180°—Z4DE—乙4'DE=116°.

故选B.

【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了一:角形的中位线定理等几何

知识点.

【变式1・2】（2022春•北京•八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABC。的对角线4c平

分乙84。,418。=90。,乙4。8=28。，且CQ=AC,点。，E分别是4C,AO的中点，则/80E

的度数为_____________.

【答案】1120##112度

【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质证得OA=OB=OC,易得到NB4C=4OBA=62。,

利用角平分线的性质得到乙04E=62。，利用三角形中位线定理证得。氏#。=1。乂0,得

到4。力E=AAEO=62°,再利用四边形内角和定理即可求解.

【详解】连接0B,

D

在RtA4c8中，0AC8=28。，点0是斜边AC的中点，

^BAC=90°-28°=62°,OA=OB=OC=-AC,

2

^BAC=Z.OBA=62°,

财。平分①B4。，

^BAC=Z.OAE=62%

团点。，上分别是AC,4。的中点，且CQ=AC,

^C）

E=2-CD=-2AC=AO,

^OAE=匕AEO=62°,

团NBOE=360°-AOBA-乙BAC-Z.OAE-Z-AEO=360°-4x62°=112°,

故答案为：112。.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，四边形内角和定理，熟练运

用性质和定理、准确识别图形是解题的关键.

【变式1-3］（2022春・山西太原•八年级统考期末）如图，已知△48C中，D,E分别是A8,

AC的中点，连接。£并延长至足使EF=DE,连接CF.若她=45。，则乙尸的度数为.

【答案】45。##45度

【分析】由条件可证得证得四边形8CFO为平行四边形，即可求证.

【详解】解：由点E为AC的中点，点。为A3的中点,

0DE0FC,RBC=2DE.

^EF=DE,

WF=2DE,

WF=BC,

团四边形改了7）为平行四边形，

0ZF=Z.B=45°.

故答案为：45°

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中

位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键.

【题型2利用三角形的中位线求线段长度】

【例2】（2022春・湖北武汉•八年级校联考期中）如图，RSA8C中，LBAC=90°,AB=6,

BC=10,AD.分别是其角平分线和中线，过点B作BG1AD于G,交4c于尸，连接EG,

则线段EG的长为（）

【答案】B

【分析】根据勾股定理得到力C=8,证明三△4GF得至必8=4尸=6,BG=求得

CF=2,根据三角形的中位线定理即可得到结论.

【详解】解：RtA/BC中，AB=6,BC=10,

团4c="02-62=8,

回BGJ.AD>

团Z71G8=Z-AGF.

回力。平44乙8AC,

^Z-BAG=4FAG,

在△AGB和ZMGF中

LBAG=CFAG

AG=AG,

LAGB=LAGF

0AAGBAGF

^AB=AF=6tBG=FG,

^CF=2,

EL4E是△ABC的中线，

回BE=CE,

团EG是ABC尸的中位线,

团EG=：CF=1,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形

的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式2-1]（2022秋•河西南阳•九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,

点E在。8上，连接4E,点F为C。的中点，连接。尸，若AE=BE,OE=3,0A=4,则线

段。尸的长为（）

AI)

BC

A.5B.2V5C.3>/3D.6

【答案】B

【分析】先根据菱形的性质找到RS40E和RSA。氏然后利用勾股定理计算出菱形的边

长8C的长，再根据三角形中位线性质，求出。尸的长.

【详解】已知菱形4BCZ）,对角线互相垂直平分，

^AC1BD,在Rt^AOE中，

回0E=3,0A=4,

回根据勾股定理得AE=，根+42=5,

回AE=BE,

008=AE+0E=8,

在RtUOB中，AB=V42+82=4\/5,

即菱形的边长为4Z，

团点广为C。的中点，点。为。B中点，

WF=-BC=2V5.

2

故选：B

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并

能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键.

【变式2-2]（2022秋•河南新乡•九年级校考期末）如图，在△A8C中，力E平分上R4C,D

是8C的中点/IEJL8E,AB=5,AC=3,则DE的长为（）

A

A.1B.：C.2D.：

22

【答案】c

【分析】延长47交BE的延长线于点F,易证明是等腰三角形，则得河的长，点用是“

的中点，求得。户的长，从而。E是中位线，即可求得0E的长.

【详解】延长4C交BE的延长线于点心如图，

vAE1BE,

:.Z.AEB=Z.AEF=90°,

•••4E平分NB4C,

：•LBAE=LFAE,

:.Z.ABE=Z.AFE,

.•・△48/是等腰三角形，

.•.力尸=力8=5,点£是的中点，

.'.CF=AF-AC=S-3=2,DEmXBC尸的中位线，

二DE=-CF=1.

2

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线

得到等腰三角形.

【变式2-3］（2022秋•安徽宣城•八年级校考期中）如图，△4BC的周长为26,点D,E都在

边BC上，乙18C的平分线庭直于AE,垂足为Q,々AC3的平分线垂直于4D,垂足为P,若BC=

10,则PQ的长为（）

A，zB.TC.3D.4

【答案】C

【分析】首先判断△/ME、△CA。是等腰三角形，从而得出BA=BE,=C。，由aABC的

周长为26,及10,可得DE=6,利用中位线定理可求出PQ.

【详解】解：由题意得：BQ14E,BQ平分448E,

^/.ABQ=Z.EBQ,Z-AQB=Z.BQE=90°,

又团BQ=BQ,

!?)△ABQ£8Q(ASA),

^AB=BEfAQ=QE,

回△BAE是等腰三角形，Q为4?的中点,

同法可得：CA=CD,△G4。是等腰三角形，P为4。的中点,

0AABC的周长=AB+BC+AC=BE+BC+CD=BCBC+DE=20+DE=26,

WE=6,

团PQ=^DE=3；

故选C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位

线定理.根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键.

【题型3利用三角形的中位线求周长】

【例3】（2022春•河北唐山•八年级统考期中）如图，在（3ABC中，COMB于点。，E,/分

别为AC,8c的中点.48=10,BC=8,DE=4.5,则团。月产的周长是（）

C.9.5D.13.5

【答案】D

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半以及三角形中位线定理分别求出

。居EF的长度，结果可得.

【详解】解：,:E,产分别为AC,的中点，

EF=-AB=5,

2

•••Z.CDB=90°,

.•.△CD9为直角三角形，

DF=-BC=4,

2

•••△OE尸的周长=DF+FF+DF=4+5+4.5=13.5,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，熟练

掌握以上知识点是解本题的关键.

【变式3-1］（2022春・浙江杭州•八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形

的对角线AC的长为10cm,连接矩形各边中点E、F、G、“得四边形EFGH,则四边形MGA

的周长为（）cm.

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形

对角线是相等的，都为10,那么就求得了各边长，让各边长相加即可.

【详解】解：连接8D,由矩形性质可知，BD=AC=IDcm,

回“、G是AD与。。的中点，

团GH是△力CD的中位线，

^\GH=-AC=5(cm),

2

同理EZ7=5cm,EH=FG=-BD=5cm,

2

回四边形ErG”的周长为20cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解

此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的

一半.

【变式3-2］（2022春・河南信阳•八年级统考期末）如图，点。是△48。内一点，BDLCD,

AD=11,BD=8,CD=6,点、E,F,G,，分别是AB,AC,CD,BQ的中点，则四边形

EFG”的周长是（）.

A

A.14B.18C.21D.24

【答案】C

【分析】根据三角形中位线定理可得四边形正是平行四边形，〃石的长度；勾股定理可

得BC,进而求得“G的长度，最后求得平行四边形的周长.

【详解】国点£,F,G,〃分别是A8,AC,CD,8D的中点

0EF||BC且EF=”C

GH||BC且GH=^BC

HE=-AD=-

22

0EF||HG且EF=HG

团四边形HGFE是平行四边形.

0BD0CD,

EBC=1O

国HC-工BC=5

2

同平行四边形HGFE周长是2HG+2HE=21

故答案为:C

【点睛】此题考查了平行四边形的周长，解题的关键是用三角形中位线定理和勾股定理求出

相关边长.

【变式3-3］（2022春・重庆•八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形A8CO的对角线AC,

交于点O,E为BC边上一点,连接QE尸为。石的中点，连接OF,CF,若△BED的周

长为10,则aOCF的周长为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根据矩形的性质可得AC=3O,OC=\BD,0BCD=9O°,再由三角形中位线定理和

直角三角形的性质，可得CF=JOE,OF=：BE,从而得到。/+CF+OC=3(5E+DE+

BD),即可求解.

【详解】解：团四边形ABCD是矩形，

0AC=BD,OC=^AC,0BCD=9O°,

2

WC=-BD,

2

团点尸为。E的中点，

团O/为回BOE的中位线，CF=^DE,

WF=-BE,

2

0ABE。的周长为10,

^BE+DE+BD=10,

WF+CF+OC=^BE+^DE+^BD=^(BE+DE+BD)=5,

0AOCF的周长为5.

故选：B

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质，熟练掌握矩

形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键.

【题型4利用三角形的中位线求面积】

【例4】(2022春•山东德州•八年级校考期末)如图，ZkABC的面积是12,点D,E,F,G分

别是BC,AD,BE,CE的中点，则△力打；的面积是

【分析】先根据等底同高可得S-EF=1.5,SA.G=1.5,S"CE=6再根据三角形中位线定

理可得SMGE=：SABCE=1.5,然后根据SMFG=S&AEF+S^AEG+即可得.

【详解】解：••・△?!"的面积是12,点。是BC的中点，

二由等底同局得：S&ABD=^^ACD=2^AABC=&X12=6.

同理可得：SDABE=S&DBE=2^^ABD=3'

SMCE=S^DCE=IAACD=3,

SMEF=SAABF=%S.ABE=L5，

SAAEG=S^ACG—3sMCE=L5，

S^BCE—S^DBE+SA℃E=6，

•.•点F是BE的中点，点G是CE的中点，

.••FG是△BCE的中位线，

•*,SHFGE=7sABCE=L5，

则SAAFG=S.AEF+SAAEG+S△FGE=1・5+1.5+1.5=4.5.

故答案为：4.5.

【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定

理求出AFGE的面积，是解题关键.

【变式4-1］（2022春・广东深圳•八年级统考期末）如图.£尸是财BC的中位线，点。是£尸

上一点，且满足。£二2。八则西4c的面积与财OC的面积之比为（）

A.2:1B.3:2C.5:3D.3:1

【答案】D

【分析】根据二角形的中位线平行于第二边并且等于第二边的一半可得F.F//RC,F.F=\RC,

再求出OE与8C的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可.

【详解】解：•••瑁7是△z^BC的中位线，

:・EF〃BC,EF=^BC,

t：OE=2OF,

,\OE=-X—BC=-BC,

21+23

设点人到8c的距离为小

则S/\ABC=\BC*h,SAAOC=：OE・仁之义；BC・h=^BC・h,

22236

•••△ABC的面积与△AOC的面积之比=3：1.

故选：D

【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积,

熟记定理并用BC表示出0E是解题的关键.

【变式4-2］（2022春•河北石家庄•八年级统考期末）如图，在给定的财8c中，动点D从

点“出发沿AC方向向终点C运动，£>E||AC交A“于点0交4C于点凡O是“

的中点，在整个运动过程中，E1OBC的面积的大小变化情况是（）

A.不变B.一直增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，。的轨迹是财BC的中位线，到8c

的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断回08c的面积的不变.

【详解】解：团。EI3AC,DF^AB,

团四边形AEZ）尸是平行四边形，

团。是E尸的中点，

团。也是A。的中点，

如图，取AB的中点M,AC的中点N,则MN为点。的运动轨迹，

因在整个运动过程中，。的轨迹是a48c的中位线，

•••MN||BC,

团点O到线段8c的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），

在整个运动过程中，团08c的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，

根据同底等高的三角形面积相等可知：回08C的面积不变，

故选:A.

【点睛】本题考查了三角形的面积，得出。的轨迹是gBC的中位线是解题的关键.

【变式4-3](2022春・江苏苏州•八年级校考期末)如图，在AABC中，D,E分别是48,

AC的中点，尸是BC边上的一个动点，连接EF,FD.若AABC的面积为18cm2,

则〃的面积是_cm2

【分析】连接BE,根据△AAC的面积求出△AK8的面积，进而求出ADEB的面积，根据三角

形中位线定理得到。臼IBC,得到AOE”的面积=的面积，得出答案.

【详解】解：连接8E,

团点七是AC的中点，△ABC的面积的为18cm2,

团0AE8的面积=gxz\ABC的面积=9(cm2),

团点。是的中点，

团团DE8的面积的面积=4.5(cm2),

0D,E分别是AB,AC的中点，

团配的面积=2\。七8的面积=4.5(cm2),

故答案为：4.5.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形

的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

【题型5利用二角形的中位线求最值】

[例5](2022秋•山东泰安•八年级校考期末)如图，在菱形ABCD中,乙B=45°,BC=2痘,

E,尸分别是边CD,8C上的动点，连接力E和E/LG,，分别为4E,E/7的中点，连接G4,

则G”的最小值为()

A.V3B.—C.—D.1

23

【答案】B

【分析】连接力尸，得到G，是尸的中位线，GH=^AF,当/!打1.8C时，力尸最小，GH得

到最小值，则乙4/8=90。，证得△48F是等腰直角三角形，求出力尸即可.

【详解】连接AF,如图所示：

团四边形力BCD是菱形，

^AB=BC=2V3,

团G,，分别为4E,E尸的中点，

回GH是△AEF的中位线，

团GH=-AF,

2

当AFJ.3C时,4F最小,GH得到最小值,则乙4F8=90。，

回48=45°,

团448F是等腰直角三角形，

团4尸=苧=yx2V3=V6,

团GH=当即GH的最小值为苧.

故选:B.

【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键.

【变式5-1](2023秋•河南南阳•九年级南阳市第三中学校考期末)如图，点A,B的坐标分

别为4(2,0),B(0,2)，点C为平面直角坐标系内一点，BC=1,点M为线段AC的中

点，连接OM,则OM的最小值为()

A.2V2-1B.2企+1C.V2H—D.V2--

【答案】D

【分析】连接4B,取A8中点N,连接。N,MN,根据三角形任意两边之和大于第三边求最

值即可.

【详解】解：连接/B,取AB中点N,连接ON,MN,

0OM>ON-MN,

回当0M取最大值时，。、M、N、三点共线，即M在。N之间,

即0M=ON-MN.

回M、N分别是4C,48的口点，

团MN=

22

团。4=OB,OA±0B♦

EL48=\/OA2+OB2=2应，

团。N=BN=企，

©0M=ON-MN=%

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定

理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.

【变式5-2]（2023秋•陕西西安•九年级统考期末）如图，矩形A8CD中，AB=8,4）=4,

E为48的中点，F为EC上一动点,P为。尸中点，连接P8,则P8的最小值是

【答案】4V2

【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段尸/2,再根据垂线段最短可得当BP1

P】P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP]1P]P2,故P8的最小值

为8Pl的长，由勾股定理求解即可.

【详解】解：如图：

当点产与点C重合时，点P在Pl处，CPi=DPi，

当点尸与点E重合时，点尸在P2处，EP2=DP2,

团P1P2I山C•旦P$2=-CE.

当点尸在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP.

由中位线定理可知：PiPIIEC且RP=凡

0点P的运动轨迹是线段PlP2，

回当BPIP1P2时，PB取得最小值.

（3矩形4BCD中，AB=8,40=4,E为力B的中点，

0ACBE.LADE.△BCR为等腰直角三角形，CPi=4.

团乙40E=Z-CDE=乙CP$=45°,乙DEC=90°.

⑦乙DP2Pl=90°.

0zDPiP2=45°.

回乙P2P18=90°,即BP11PAP2,

团PB的最小值为8%的长.

在RtZkBCPi中，CPi=8C=4,

（38%=4vL

团户8的最小值是4

故答案是：4V2.

【点睛】本题考查了线段的最值问题，中位线定理，勾股定理以及矩形的性质等知识，解题

的关键是找出点P的运动轨迹.

【变式5-3］（2022春・甘肃兰州•八年级校考期末）已知菱形A8C。的两条对角线分别为6

和8,M、N分别是边AC、CD的中点，。是对角线80上一点，则PM+PN的最小值是（）

【答案】C

【分析】作M关于B。的对称点Q,连接NQ,交8。于P,连接MP,此时MP+NP的值最

小，连接AC,求出CP、BP,根据勾股定理求出3C长，证出MP+NP=QN=8C,即可得

出答案.

【详解】解：作M关于8。的对称点Q,连接NQ,交8。于P,连接MP,此时MP+NP的

值最小，连接AC,则。是AC中点，

回四边形AB。是菱形，

04038。，团Q3P=团W8P,AB=BC,

即。在48上，

团M为8c中点，

团Q为AB2点，

⑦M8BD,

团4QIMQ,

团N为CQ中点，四边形A8CO是菱形，

0SQHCD,BQ=CN,

团四边形8QNC是平行四边形，

回PQII8C,

团PQIIA0,

而点Q是的中点，

故PQ是MB。的中位线，即点尸是8。的中点，

同理可得，PM是财BC的中位线，

故点。是AC的中点，

即点P是菱形ABC。对角线的交点，

团四边形A8C。是菱形，

则回BPC为直角三角形，

I3CP=，C=3,BP=为。=4,

22

在Rt团BPC中，由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

(3MP+NP=QP+NP=QN=5,

故选:A.

【点睛】本题考有了轴对称一最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股

定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出。的位置.

【题型6与三角形中位线有关的规律探究】

【例6】（2022春•辽宁丹东•八年级校考期末）如下图，在边长为〃的等边△48。中，分别

取△ABC三边的中点%,%得再分别取△&B1G三边的中点4，%,C2,

仔△i4282c2；这样依次卜去,经过第2022次操作后得△A2022B2022c2022，则^^2022^2022^2022

的面积为.

A

【答案】募a?##需

【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可.

【详解】解：过点A作AD0BC于点。，如图所示：

团财8c为等边三角形,

即。=。。=如

fl22=

团40=>JAB2