模型20“两点一线”（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型2()“两点一线”模型

基础模型

类型异侧两点求线段和最小值同侧两点求线段和最小值

A

两定点A,B位于直线I异侧，在直线I上找两定点A,B位于直线I同侧，在直线I上找一点P

条件

一点P.使PA+PB的值最小使PA+PB的值最小

连接AB交直线1于点P,此时PA+PB作点B关于直线1的对称点B',连接AB，,交直线1

结论

的值最小，最小值为线段AB的长于点P.此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB，的长

结论分析

结论：连接AB交直线1于点P,此时PA+PB值最小，最小值为线段AB的长

证明：如图①，vAPf+P'B>A8,・••当点A,P,B三点共线时,PA+PB的值最小.最小值为线段AB的长.

结论：作点B关于直线1的对称点B',连接AB、交直线1于点P,此时PA+PB的值最小,重小值为线段AB

A

’的长

自主证明：

图①

模型拓展

拓展方向：求线段差的最值

类型同侧两点求线段差最大值异侧两点求线段差最大值

AA

图示

----------

--------中B

两定点A,B位于直线1同侧,在直线1两定点A,B位于直线1异侧，在直线1上找

条件

上找一点P,使IPA-PBI值最大一点R使得PA-PBI值最大

作点B关于直线1的对称点B'连接AB，并延

连接AB并延长，与直线1交于点P,此

结论长，与直线1交于点P,此时IPA-PBI的值最大，最

时IPA-PBI的值最大，最大值为线段AB的长

大值为线段AB，的长

模型解题三步法

例1如图在矩形ABCD中，AB=3,^CBD=30。,,点E在边BC上且BE—C点P是对角线BD上的一

个动点.连接PEPC厕PEC周长的最小值为.

例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4fBD=6,点E为边AB的中点，点P为对角线BD上一点厕|

PC-PE的最大值为.

题以类解

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的点，且AE=3,点Q为对角线AC上一点,则DQ十QE的

最小值为（）

2.如图.直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一动点，当PA

+PC的值最小时，点P的坐标为（）

49。）B.（0，§

—。•（呜

3.如图、在等边4ABC中,AB=4,AD是中线点E是AD的中点，点P是边AC上一动点，则BP-EP的最大

值是.

4v（x-i）2+i+va-5）2+4的最小值为

5.如图，OO的直径MN=1点A是。0上一点且/AMN=30。,点B是^AN的中点，点P在直径MN上

运动，贝!BP+AP的最小值为

6.如图，在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点F,交AB于点E,连接EC,AB=IO,ABEC的周长

是18,若点P在直线EF上,连接PA,PB.

⑴PA+PB的最小值为

(2)|PA-PB|的最大值为

第6题图

7.如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=l,与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(0,-3).

⑴求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找到一点M,使^ACM的周长最小，请求出此时点M的坐标与^ACM周长的最小

值.

第7题图

模型20"两点一线"模型

模型展现

自主证明：

如图②,由轴对称性质可知,PB=PB',

,,

PA+PB=PA+PB>ABf

.•・当点ARB'三点共线时，PA+PB的值最小，最小值是线段AB'的长（也可以作点A关于直线I的对称点A1,

同理也可求出PA+PB的最小值）.

模型解题三步法

例19VH+2V3【解析】根据“两点一线"模型作解图，当C,P,E'三点共线，即点P与点P'重合时，P

E+PC的值最小（同侧两点求线段和最小值）.连接BE',过点E作E,HXBC于点H;.zDBC=30°,AB=CD=3r-.BC

=3V3/.BE=-FC,.«.BE=6,CE=2百..•.点E'是点E关于BD的对称点,.•./E'BD=NCBD=30O,BE';BE/zE'BH二

3

60°,「.△BEE'是等边三角形(一个角是60。的等腰三角形是等边三角形"EE'=BE'=BE=①二BH=HE=^,EH

=HC=HE+CE=竽,二EC=JE%+HC2=VzT/.PE+PC的最小值为VH,.“PEC周长的最小值为E’

C+EC=2V3.

4(C)

例2点C点t:BD点P要【解析】根据“两点一线"模型作解图，点C与点A重合”四边形ABCD是菱

形”■.ACJ_BD,OA=OCQB=OD（娜的对角线互相平分）〃•.AP=PC」|PC-PE|=|AP-PE区AE,.•.当点AE,P三点共线时,

|PC-P日取得最大值，最大值为AE的长（异侧两点求线段差最大值）二.AC=4,BD=6二OA=2QB=3〃.在RfABO

中,AB=VI5,,又.•点E为边AB的中点，,AE=\AB=孚即|PC-PE|的最大值为孚

题以类解

1.c【解析】找模型：是否存在两个定点：点E和点D.是否存在一条定直线和该直线上一动点：定线段：A

C,动点：点Q.是否求最值：DQ+QE的最小值.抽离模型：如解图用模型：连接DE//DQ+

QE2DE”•.当D,Q,E三点共线时QQ+QE取得最小值(异侧两点求线段和最小值)，二•四边形A

BCD是正方形,.•.AD=4/DAE=90°(正方形的性质),.DE=灰D+AA=5.4

2.B【解析】找模型：是否存在两个定点：点A和点C.是否存在一条定直线和该直线

第1题解图

上一动点：定直线：y轴，动点：点P.是否求最值：PA+PC的最小值抽离模型：如解图.用

模型：根据“两点一线"模型作解图，作点A关于y轴的对称点A：连接A，C交y轴于点P，•直线y=x+2与x轴,

y轴分别交于AB两点,..A(-2,0),B(0,2),■.点C为线段AB的中点.((-1,1),•.点A与点A关于y轴对称,..AQO),

设直线A'C的解析式为丫=匕+/7,二花：仁,，解一卜=了直线A'C的解析式为y=-；x+衿x=0厕y

I—K十。-1IA——S3

I3

号，点P的坐标为(Q|).

3.V7【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P',当点P与点P'重合时,BP-EP取得最大值，最大值

为BE的长（同侧线段差最大值）,在等边SBC中,AD是中线..BD二DC=2,ADJ_BC（等边三角形三线合二），.•."=

BD-tan60°=2x^3=2其「E是AD中点，:.DE=\AD=V5..•.在RNBDE中，BE=y/BD2+DE2=

J22+IV3）2=V7.

4.5【解析】由两点间距离公式可将d(x-I)2+1看作点(x,0)和点Q,l)两点间的距离，将J(x-57十4看

作点(x,0)和点(5,2)两点间的距离，建立如解图坐标系，设点AQ1),B(5,2),作点A关于x轴的对称点A)则

Nx-1尸+1+&-5尸+4的最小值即为AB的长(同侧两点求线段和最小值)，过A'作A'D平行x轴,过B作

22

BD平行y轴，两直线相交于点Dr-.D(5,-1)；.A,B=JAD+BD?=回可=5,V(x-l)+1+

—5)2+4的最小值为5.

5y【解析】如解图，作点A关于MN的对称点A;连接A'B,A'B与MN交点即为点P,此时BP+AP的值

最小，最小值为AB的长(同侧线段和最小值)由对称性可知AP=A，P,「.BP+AP=BP+AP=AB连接OAQBQA',可

知瓶=4'N〃则/NOA'二NNOA=2NAMN=60。侗弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，

••点B为.标的中点,•,./BON=30O,"BOA=NBON+NNOA=90；WN=L/QA=OB;吴在Rt^OA'B中,A

B=J。/+OB?=冬即BP+AP的最小值为当

第5题解图第6题解图

6.(1)10;(2)8【解析】(1).EF垂直平分AC二.EA=EC,又「OBEC=BE+EC+BC=18,BE+EA=AB=10「BC=1

8-10:8,当P与点E重合时,PA+PB的值最小，最小值为AB的长(异侧两点求线段和最小值)，「.PA+PB的最小值

为10;(2)如