2.4.2 与坡度、方位角有关的应用问题课件 湘教版数学九年级上册

第2章锐角的正弦、余弦、正切2.4解直角三角形的应用九年级数学XJ上第2课时与坡度、方位角有关的应用问题情景导入1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度是____(即线段____的长)，水平前进的距离是____(即线段____的长度).hMNlPM2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在缉私艇的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船只的位置不停移动，能否描述可疑船只的航线，探求其规律呢？自学互研知识模块一坡度、坡角问题如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？观察右边的路BD陡些如何用数量来刻画哪条路陡呢？如图，从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，

坡度通常写成1∶m的形式坡度越大，山坡越陡．图中∠BAC叫作坡角(山坡与地平面的夹角)记作α坡度等于坡角的正切

在情景导入的图中，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度____(即线段____的长)与水平前进的距离____(即线段____的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝____．其中∠MPN叫作____(即____与____的夹角)，记作____．练习

hMNlPM坡角PMPNα

【例1】同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：过点B，C分别作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于点E，F，EF

∴AE＝3BE＝3×23＝69(m).FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).

EF

∴α≈18°26′.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长度约为72.7m．知识模块二方位角问题例2：如图，一山坡的坡度i=1∶2.小华从山脚A出发，沿山坡向上到达点B.已知A，B两点间的直线距离为240m，问：他从点A到点B高度上升了多少米(tan26.57°≈0.5，

sin26.57°≈0.447，结果精确到0.1m)？

又tan26.57°≈0.5，于是∠BAC

≈26.57°.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=240m，

因此BC≈240×0.447≈107.3(m)．答：小华从点A到点B高度上升了约107.3米．又sin26.57°≈0.447，你还可以用其他方法求出BC吗？试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？OA：___________；

OB：___________；OC：___________；OD：___________．南偏西65°南偏东60°北偏东45°北偏西40°归纳总结在正确理解方位角的概念的基础上，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题．

(1)求该轮船航行的速度(结果保留根号)．(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠BAC＝90°.∴△ABC为直角三角形．

(2)过点B作BR⊥l于R，过点C作CS⊥l于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.

RST∵AB＝40km，又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.RST

易得△STC∽△RTB，

解得ST＝8.∴AT＝12＋8＝20(km).又∵AM＝19.5km，MN＝1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．RST随堂检测1.一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示.其中坡角为α.已知屋顶的宽度l为12m，坡屋顶的高度h为4m.分别求屋顶斜面坡度、斜面AB的长度和坡角α

的正弦值、余弦值.ABChlαABChlα解：设CB中点为D，则由题意可知

由勾股定理得D

ABChlαD2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约6.0m．3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．EF解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，所以AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

所以AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

所以α≈18.43°.

EF答：斜坡AB的坡面角α为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．

解：过点A作AD⊥BC于点D，

所以∠C=30°．

在Rt△ABD中，∠B=45°，D

D课堂小结如图，从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)