25.2.1 第2课时 配方法（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.2.\(\boldsymbol{1}\)第2课时配方法专项练习（人教版\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)约\(\boldsymbol{1}\)450字）##一、核心知识点梳理\(\boldsymbol{1}\).**配方法定义**把一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)通过变形\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)配成$\boldsymbol{(x+m)^2=n}$的形式\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)再用直接开平方法解方程\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)这个方法叫配方法。2.**完全平方公式**$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$；$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$配方口诀：**二次项系数化为\(\boldsymbol{1}\)\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)常数移右边；两边同加一次项系数一半的平方**。3.**一般步骤（$ax^2+bx+c=0\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)a≠0$）**①移项：常数项移到方程右边；②化\(\boldsymbol{1}\)：方程两边同时除以二次项系数\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)使二次项系数=\(\boldsymbol{1}\)；③配方：两边加上**一次项系数一半的平方**；④写成完全平方形式：$(x+m)^2=n$；⑤开平方求解（$n\ge0$才有实数根\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)$\(n<0\)$无实数根）。>易错提醒①配方**前提**：二次项系数化为\(\boldsymbol{1}\)之后\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)才可以加“一次项系数一半的平方”；②两边**同时加**\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)只加一边是最常见错误；③一次项系数带负号时\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)一半的平方仍然是正数；④配方的目的是构造整体平方\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)衔接直接开平方法。##二、基础过关（选择+填空）\(\boldsymbol{1}\).$x^2+6x+$____$=(x+3)^2$（）A.$3$B.$6$C.$9$D.$\(\boldsymbol{1}\)2$**答案：C**2.用配方法解方程$x^2-4x-5=0$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)配方正确的是（）A.$(x-2)^2=9$B.$(x+2)^2=9$C.$(x-2)^2=\(\boldsymbol{1}\)$D.$(x+2)^2=\(\boldsymbol{1}\)$**答案：A**3.$x^2-8x+$____$=(x-\underline{\quad})^2$**答案：$\(\boldsymbol{1}\)6\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)4$**4.方程$x^2+2x=3$配方后为$(x+\(\boldsymbol{1}\))^2=$____。**答案：4**5.$2x^2-4x-\(\boldsymbol{1}\)=0$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)先把二次项系数化为\(\boldsymbol{1}\)得：________。**答案：$x^2-2x-\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2=0$**##三、能力提升（解答题\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)写出完整步骤）6.用配方法解方程：$x^2+4x-5=0$**解**移项：$x^2+4x=5$配方：两边加$(\dfrac42)^2=4$$x^2+4x+4=5+4$$(x+2)^2=9$开平方：$x+2=\pm3$$x_\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{1}\),\x_2=-5$。7.用配方法解方程：$x^2-6x+8=0$**解**移项：$x^2-6x=-8$配方：两边加$(\dfrac{-6}{2})^2=9$$x^2-6x+9=-8+9$$(x-3)^2=\(\boldsymbol{1}\)$开平方：$x-3=\pm\(\boldsymbol{1}\)$$x_\(\boldsymbol{1}\)=4,\x_2=2$。8.用配方法解方程：$2x^2-8x-\(\boldsymbol{1}\)0=0$**解**两边除以2：$x^2-4x-5=0$移项：$x^2-4x=5$配方：两边加$4$$x^2-4x+4=5+4$$(x-2)^2=9$开平方：$x-2=\pm3$$x_\(\boldsymbol{1}\)=5,\x_2=-\(\boldsymbol{1}\)$。9.易错题判断正误（对√\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)错×）①$x^2+2x=3$配方\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)两边加2（×\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)应加$\(\boldsymbol{1}\)^2=\(\boldsymbol{1}\)$）②$2x^2-4x=\(\boldsymbol{1}\)$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)直接两边加4配方（×\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)要先二次项系数化为\(\boldsymbol{1}\)）③$x^2-6x+\(\boldsymbol{1}\)0=0$配方后$(x-3)^2=-\(\boldsymbol{1}\)$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)无实数根（√）④$x^2-5x$配方\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)加上$\left(\dfrac52\right)^2$（√）##四、中考综合训练\(\boldsymbol{1}\)0.用配方法解方程：$3x^2-6x-2=0$**解**二次项系数化为\(\boldsymbol{1}\)：$x^2-2x-\dfrac23=0$移项：$x^2-2x=\dfrac23$配方：两边加$\(\boldsymbol{1}\)$$x^2-2x+\(\boldsymbol{1}\)=\dfrac23+\(\boldsymbol{1}\)$$(x-\(\boldsymbol{1}\))^2=\dfrac53$开平方：$x-\(\boldsymbol{1}\)=\pm\sqrt{\dfrac53}=\pm\dfrac{\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}}{3}$$x_\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{1}\)+\dfrac{\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}}{3},\x_2=\(\boldsymbol{1}\)-\dfrac{\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}}{3}$。\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\).用配方法求代数式$x^2-4x+5$的最小值。**解**$x^2-4x+5=(x^2-4x)+5$$=(x^2-4x+4)-4+5$$=(x-2)^2+\(\boldsymbol{1}\)$$\because(x-2)^2\ge0$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)∴当$\(x=2\)$时\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)原式最小值为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$。\(\boldsymbol{1}\)2.方程$x^2+mx+9=0$可以配方成$(x-3)^2=0$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)求$m$的值。**解**展开$(x-3)^2=0$：$x^2-6x+9=0$对比$x^2+mx+9=0$\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)得$m=-6$。答：$m=-6$。\(\boldsymbol{1}\)3.用配方法解方程$x^2+2x+4=0$**解**移项：$x^2+2x=-4$配方：$x^2+2x+\(\boldsymbol{1}\)=-4+\(\boldsymbol{1}\)$$(x+\(\boldsymbol{1}\))^2=-3$∵负数不能开平方\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)∴**方程无实数根**。##五、方法总结配方法两大用途：①解一元二次方程；②求二次三项式最值。解方程步骤口诀：**移常数\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)化系数\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)两边同加半平方面\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)写成平方再开方**。高频陷阱：\(\boldsymbol{1}\).二次项系数不是\(\boldsymbol{1}\)时\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)忘记先除以a\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)直接配方；2.只在左边加一次项系数一半的平方\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)右边不加；3.一次项系数是负数\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)计算“一半的平方”出错；4.配方后右边小于0\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)还继续求根。配方法是推导求根公式的基础\(ax^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{1}\)6，4\)a≠0\)计算题、代数式最值小题都经常考查。需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？继续写25.2.2公式法？人教版（新教材）数学九年级上册25.2.1第2课时配方法授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123理解配方法的定义，掌握配方法解一元二次方程的核心步骤.能熟练运用配方法解二次项系数为1和不为1的一元二次方程.

思考 上节课我们学习了直接开平方法解一元二次方程，什么样的方程能用直接开平方法解？

完全平方公式：a2+2ab+b2=(______)2a2–2ab+b2=(______)2a

+ba

–

b两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.情境引入

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当堂练习怎样解方程

x2+6x+4=0？

要把方程

x2+6x+4=0转化为像

(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.

配方法

像上面这样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.基本思路把方程化为

(x+n)2=p的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解．把握二次项系数为

1的完全平方式的特点：

常数项等于一次项系数一半的平方.关键方法x2

+px

+

()2

=

(x+)2.

情境引入

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当堂练习

(1)x2＋8x＋

=(x＋

)2(2)x2−4x＋

=(x−

)2(3)x2−6x＋

=(x−

)24²42²23²3提示根据完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2，方程的两边都加上一次项系数一半的平方.填空情境引入

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当堂练习解方程：

x2+8x−9=0移项得：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16写成完全平方式：(x+4)2=25开方得：x+4=±5

二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边.两边同时加上一次项系数一半的平方.注意：正数的平方根有两个.配方法的步骤1.将方程变为一般形式．2.移项，把常数项移到等号的右边．(变号)3.配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方．(等式的性质)4.写成完全平方的形式．5.利用直接开平方法进行开方求得两根．情境引入

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当堂练习

1.将方程变为一般形式．2.移项，把常数项移到等号的右边．3.配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方．4.写成完全平方的形式．5.利用直接开平方法进行开方求得两根．情境引入

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当堂练习

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当堂练习

配方法①当

p>0

时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根②当

p=0

时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根

x1

=x2=

−n.③当

p<0

时，因为对任意实数

x，都有(x+n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x+n)2=p.(Ⅱ)1.返回[教材P9练习T1变式]用适当的数填空：(1)x2＋2x＋1＝(x＋________)2；(2)x2－10x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋7x＋________＝(x＋________)2；(4)x2－

x＋______＝(x－______)2.1255返回2.将多项式x2－6x＋3配方成(x－h)2＋k的形式为____________．(x－3)2－6返回3.[邯郸峰峰矿区期中]用配方法解方程x2－8x＝－10时，左、右两边需同时加上(

)A．4B．8C．16D．64C情境引入

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当堂练习解方程：

x2−6x−40=0解：移项，得x2−6x=40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方)，得

x2−6x+32=40+32即

(x−3)2=49开平方，得x−3=±7即x−3=7或x−3=−7所以x1=10,x2=−4情境引入

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当堂练习解方程3x2+8x−3=0解：方程两边都除以3，得移项，得配方，得所以情境引入

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当堂练习已知代数式

x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求

x的值.解：根据题意，得

x2+1=

2x

+

4.整理，得

x2

−2x

=3.配方，得

(x

−1)2

=4.解得

x1=−1，x2=3.情境引入

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当堂练习利用配方法证明：不论

x取何值，代数式

−x2−x−1的值总是负数，并求出它的最大值.解：−x2−x−1=−(x2+x+

)+−1∴

−x2−x−1的值总是负数.当

时，−x2−x−1有最大值配方法求最值①当

a>0

时，代数式S有最小值，最小值为

k；②当

a<0

时，代数式S有最大值，最大值为

k.

一般地，如果一个二次代数式S=ax2+bx+c(a≠0)，通过配方转化成S=a(x+h)2+k(a≠0)的形式后，可以很容易看出，

情境引入

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当堂练习一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:

h=15t−5t2,小球何时能达到10m的高度？解：根据题意得15t−5t2=10方程两边都除以−5，得

t2−3t=−2配方，得因此，小球在第1秒或第2秒能达到10m的高度.情境引入

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当堂练习已知直角△ABC两条边长分别是方程

的两根，则△ABC的周长为__________．解：解方程

，整理可得

，即

，解得

，

，当两个根是两条直角边时，斜边长为

，∴此时△ABC的周长为

；当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为

，∴此时的周长为

．情境引入

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当堂练习一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？解：设总共有x只猴子，根据题意得答:一共有猴子48只或者16只.情境引入

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当堂练习若a、b、c是三个不为零的实数，且

，则

的最小值为____．解：∵，且a,b,c都不为0，

，设

则t>0，原式

，∵，∴

，当

时，原式取得最小值

．情境引入

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本课总结

当堂练习若a、b、c是三个不为零的实数，且

，则

的最小值为____．解：∵，且a,b,c都不为0，

，设

则t>0，原式

，∵，∴

，当

时，原式取得最小值

．返回4.用配方法解一元二次方程x2＋6x－10＝0时，下列变形正确的是(

)A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19C用配方法解方程：x2－5x－1＝0.解：移项，得x2－5x＝1.两边同时加上________，得x2－5x＋________＝1＋________，即(x－______)2＝_____．开平方，得______________，解得x1＝________，x2＝________．返回5.解下列方程：(1)[徐州中考]x2＋2x－1＝0；返回6.(2)x2＋3x－4＝0;(1)解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，返回返回7.把方程2x2＋4x＋3＝0的二次项系数化为1，可得(

)A．x2＋2x＋3＝0 B．x2＋2x－3＝0C返回8.用配方法解方程3x2＋4x＋1＝0时，可以将方程化为(

)A返回9.下列用配方法解方程

x2－x－2＝0的四个步骤中，出现错误的是(

)A．①

B