苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式（期末复习讲义）基础版 学案 含答案

第十一章二次根式【期末复习讲义】-基础版第十一章二次根式【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练共48题』（原卷版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型一求二次根式的值题型二求二次根式中的参数题型三二次根式有意义的条件题型四利用二次根式的性质化简题型五二次根式的乘法题型六二次根式的除法题型七二次根式的乘除混合运算题型八分母有理化题型九最简二次根式的判断题型十化为最简二次根式题型十一已知最简二次根式求参数题型十二复合二次根式的化简题型十三同类二次根式题型十四二次根式的加减运算题型十五二次根式的混合运算题型十六已知字母的值，化简求值题型十七已知条件式，化简求值题型十八比较二次根式的大小题型十九二次根式的应用第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3,1【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）a≥0 (a≥0)；

（2）a2=a(a≥0)；

（3）【易错点拨】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即=(a)2（），如2=(2)2（2）a2中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，a2一定有意义.（3）化简a2时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）a2与(不同点：a2中可以取任何实数，而(a)2a2=，(a)2=a相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，a2=(a3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与38，由于38=22，2知识点二二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法a积的算术平方根化简公式：ab二次根式的除法a商的算术平方根化简公式：a【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如ab被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(−4)×(−9)≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如2+3第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一求二次根式的值【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当a=2025时，求a+1−2a+(1)______的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；(3)当a=2时，求a2【变式】观察图中数的排列规律并回答问题：如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对m,n，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对2，1，按照这种方式，位置为有序数对4，5的数是__________，数

题型讲练二求二次根式中的参数【例2】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足m2<26<【变式】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．1 C．3 D．27题型讲练三二次根式有意义的条件【例3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知y=x−1+1−x+2026【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似mn这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如23，x+3x−1都是根分式．结合上述信息，关于根分式A=x+1x−1①根分式A中的x的取值范围是x≥−1②根分式B中的x的取值范围是x≠1③不存在x的值，使得两个根分式满足BA．② B．②③ C．①②③ D．③题型讲练四利用二次根式的性质化简【例4】（25-26八年级下·浙江温州·期中）为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为81πcm2，手柄长为12cm．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为5:3(1)求该圆形扇面的半径；(2)求团扇展示框的长和宽；(3)该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由．【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知实数a,b,m,n满足a−b=mn．(1)求证：a2(2)若m<n，且n=m+2，m为正整数，c=a−2m−b+a+2n−b题型讲练五二次根式的乘法【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1(1)直接写出第7个等式：______；(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（n为正整数），并证明等式成立；【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义minm,n表示m，n两个数中的较小值，例如min3,−5=−5(1)填空：min2(2)已知min52,a=a，min52,b=52题型讲练六二次根式的除法【例6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，格点△ABC（顶点均是网格线的交点）和格点O，小正方形的边长为1．(1)以点O为对称中心，作出△ABC的中心对称图形△A(2)若△ABC的底边BC上的高为h，则h=________．【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）完成下列题目(1)【问题背景】图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含a，b的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：a(2)【问题探究】将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）按如图2方式放置，A,E,B在同一直线上，显然∠A=∠B=∠DEC=90°，连接CD．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理；(3)【问题拓展】如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得△ABC，请用“等面积法”求该三角形AB边上的高．题型讲练七二次根式的乘除混合运算【例7】按要求完成下列各题：计算：18×13÷6【变式】．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算：2x−yx+3y(2)先化简，再求值：1−3a+2÷题型讲练八分母有理化【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接AF,(1)求证：四边形ADCF是矩形；(2)若∠BAC=60°, BD=2AD=2，求点A到边题型讲练九最简二次根式的判断【例9】（24-25八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A．2 B．0.1 C．23 D．【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．112=228；(2)2820=7题型讲练十化为最简二次根式【例10】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，若BD=5，CD=3，则AB的长为_____．【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题：【几何模型】如图1，A、B是直线l同侧的两个定点，问题：在直线l上找一点P，使PA+PB值最小．方法：如图2，作B点关于l的对称点B′，连接AB交l于P点，则P【模型应用】如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，MN为其中一段笔直路段，其长为12km，在点M正北方5km处有一村庄A．在N的正北方4km处有一村庄B，计划在MN上建一露营地P，使得露营地P到村庄A、村庄(1)在图3中，若MP=xkm，请在Rt△AMP中用含x的代数式表示出AP=__________；再在Rt△BPN中用x表示出BP=__________；则AP+BP(2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和AP+BP的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则AP+BP的最小值为__________km．【拓展应用】(3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题：①求出函数y=x②已知2x+3y=10，求2x−22题型讲练十一已知最简二次根式求参数【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号）①若5=a，则80等于6a②使12n是正整数的最小整数n是3；③0.5是最简二次根式；【变式】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知m−3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：______．题型讲练十二复合二次根式的化简【例12】（25-26八年级下·广东江门·期中）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：a2±2ab+b2=材料二：在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y和Qx,y′给出如下定义：若y′=yx≥0−yx<0，则称点Q为点根据材料解决下列问题：(1)点2,−3的“横负纵变点”为______，点(2)化简：30+621(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M−2,m且m=12a+2a−1【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+267−43【类比归纳】(1)仿照上面的方法，若将7+210化成a+b2，其中a>b，则a=_____，(2)请你仿照上面的方法化简：6−42(3)若a+215=m+n2，其中m>n，且a，题型讲练十三同类二次根式【例13】先化简，再求值．2x+y2+x+2y2−2【变式】下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27题型讲练十四二次根式的加减运算【例14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（

）A．2+3=C．18−12×【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算：(1)28+1318题型讲练十五二次根式的混合运算【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）阅读与思考材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：5×5=5，3+13−1=3−1=2，我们称5材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：13=1×材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法．例如：已知x=5+2，求代数式小敏的做法是：根据x=5+2得x−22=5，把x2−4x作为整体代入，得请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)填空：5+2(2)化简：410(3)求值：已知x=5+3，求代数式【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为10+1(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？题型讲练十六已知字母的值，化简求值【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”，因为a+2+2根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)分母有理化：17(2)比较大小：17−2__________16−3．（用“>(3)已知x=16−【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知a=12+3∵a=1∴a−2=−3∴a请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：(1)计算：35(2)化简：12(3)若a=12−1题型讲练十七已知条件式，化简求值【例17】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：已知5−x−2−x=1小明同学是这样解答的：∵5−x又∵5−x解答问题：已知10+x+(1)求10+x−(2)求x的值．【变式】（25-26八年级下·四川自贡·月考）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题：(1)①化简：17②比较大小：2025−2024______2024−2023；（用“>”、“(2)设有理数a、b满足：a2+1+(3)已知12−x−6−x=2题型讲练十八比较二次根式的大小【例18】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像5+25−2=1，a·a=a（a≥0），b+1b−1=b−1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像5(1)化简：①13=②15(2)计算：12+1(3)已知a=2026−2025，b=【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：2325(1)化简：213+11=________，(2)比较大小：21−19________19−17（填“>”、“(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：13题型讲练十九二次根式的应用【例19】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为18m2和(1)光伏发电板A，B的边长分别为_____m，_____m；（用最简二次根式表示）(2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．【变式】（25-26八年级下·广西百色·期中）已知刹车距离的计算公式是v=16df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有标识（限速100km/h）的高速公路行驶，若刹车距离是

(1)实际上该货车已超速，请通过计算说明；(2)请根据下面的超速违法行为记分参照值判断该货车会被记几分．（中型以上货车在高速公路超速违法行为记分参照值：①超速未达20%：记6分；②超速20%以上，第四部分第四部分拓展拔高实战攻坚1．要使x−1有意义，则x的取值范围是（

）A．x<1 B．x≥1 C．x≤−1 D．x<−12．下列式子中，是二次根式的有(

)①35，②−2，③x4+3，④327，⑤（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入−2，则输出的值（

）A．10+46 B．10−46 C．2 4．若a+−a有意义，则a=5．在227，2π，0，−223，38，6．已知x=2−3，代数式7+43x7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a−b−b−18．按要求完成下列各题：(1)计算：4−3−8+−29．公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=12(a+b+c)，那么三角形的面积可以表示为：这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S=1海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：

S=14==(a+b)2=这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式．公式应用：如果已知△ABC的三边长分别为a=3,b=4,c=5，请你从公式①和②中选择一个求出△ABC的面积S．10．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知a=12+3∵a=12+3∴a−22=3∴a∴2a请你根据小名的分析过程，解决如下问题：(1)计算：12+1(2)计算：12+1(3)若a=15−2

第十一章二次根式【期末复习讲义】-基础版第十一章二次根式【期末复习讲义】-基础版『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练共48题』（解析版）归纳归纳题型汇总一览无余题型序列题型名称题型一求二次根式的值题型二求二次根式中的参数题型三二次根式有意义的条件题型四利用二次根式的性质化简题型五二次根式的乘法题型六二次根式的除法题型七二次根式的乘除混合运算题型八分母有理化题型九最简二次根式的判断题型十化为最简二次根式题型十一已知最简二次根式求参数题型十二复合二次根式的化简题型十三同类二次根式题型十四二次根式的加减运算题型十五二次根式的混合运算题型十六已知字母的值，化简求值题型十七已知条件式，化简求值题型十八比较二次根式的大小题型十九二次根式的应用第一部分第一部分框架速览体系搭建第二部分第二部分知识梳理核心归纳知识点一二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3,1【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）a≥0 (a≥0)；

（2）a2=a(a≥0)；

（3）【易错点拨】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即=(a)2（），如2=(2)2（2）a2中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，a2一定有意义.（3）化简a2时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）a2与(不同点：a2中可以取任何实数，而(a)2a2=，(a)2=a相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，a2=(a3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与38，由于38=22，2知识点二二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法a积的算术平方根化简公式：ab二次根式的除法a商的算术平方根化简公式：a【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如ab被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(−4)×(−9)≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如2+3第三部分第三部分精讲变式融会贯通题型讲练一求二次根式的值【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当a=2025时，求a+1−2a+(1)______的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；(3)当a=2时，求a2【答案】(1)小亮(2)a(3)10【思路引导】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．（1）根据二次根式的性质分析即可；（2）根据二次根式的性质分析即可；（3）先根据二次根式的性质化简，再把a=2代入计算即可．【完整解答】（1）解：∵a=2025，∴1−a<0，a−1>0，∴a+=a+=a+a−1=2a−1，当a=2025时，原式=2×2025−1=4049，∴小亮的解法是错误的；（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：a2当a<0时，a2（3）解：∵a=2，∴a−3=2−3=−1<0，∴原式=a−3【变式】观察图中数的排列规律并回答问题：如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对m,n，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对2，1，按照这种方式，位置为有序数对4，5的数是__________，数

【答案】228【思路引导】根据题意，找出题目的规律，2,2中含有4个数，3,3中含有9个数，4,4中含有16个数，……，8,8中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案．【完整解答】解：根据题意，如图：

∴有序数对4,5的数是22；由图可知，至2,2时含有4个数，至3,3时含有9个数，至4,4时含有16个数；……∴8,8中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上，∵74>64，74−64−9=1∴74是第9列的第8个数；∴数74位置为有序数对是8，故答案为：22；8，【考点剖析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．题型讲练二求二次根式中的参数【例2】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足m2<26<【答案】10【思路引导】先利用不等式的性质得到m的取值范围，再估算出226的取值范围，结合m【完整解答】解：∵m2∴m<226<m+1，即∵100<104<121，∴10<104∴10<226∵m为正整数，且满足m<226∴m=10．【变式】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．1 C．3 D．27【答案】C【思路引导】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将27n化简，再根据结果为整数的条件确定n的最小值.【完整解答】解：∵27n=又∵27n是整数，n是正整数，∴3n必须是整数，即3n为完全平方数，∴n最小为3时，3n=9是完全平方数，∴n的最小值是3，故选：C．题型讲练三二次根式有意义的条件【例3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知y=x−1+1−x+2026【答案】1【思路引导】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出x的值，再代入原式求出xy【完整解答】解：根据题意得：x−1≥01−x≥0解得x=1，∴y=2026，∴xy【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似mn这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如23，x+3x−1都是根分式．结合上述信息，关于根分式A=x+1x−1①根分式A中的x的取值范围是x≥−1②根分式B中的x的取值范围是x≠1③不存在x的值，使得两个根分式满足BA．② B．②③ C．①②③ D．③【答案】B【思路引导】分别根据二次根式有意义的条件、分式分母不为零的要求判断结论①②，根据题意列分式方程，解方程检验后判断结论③即可得到答案.【完整解答】解：①对于根分式A=x+1∵二次根式被开方数非负，分式分母不能为零，∴x+1≥0x−1≠0解得x≥−1且x≠1，故①错误.②对于根分式B=(x−2)∵x−22∴(x−2)2+1≥1>0，对任意实数只需满足分母不为零，即x−1≠0，得x≠1，故②正确；③若B2−A((x−2)整理得(x−2)2∵x≠1，等式两边同乘x−12得：(整理得−3x+3=0，解得x=1，检验：当x=1时，分母x−1=0，x=1是原方程的增根，原方程无解，∴不存在x的值满足B2综上，正确的结论是②③．题型讲练四利用二次根式的性质化简【例4】（25-26八年级下·浙江温州·期中）为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为81πcm2，手柄长为12cm．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为5:3(1)求该圆形扇面的半径；(2)求团扇展示框的长和宽；(3)该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由．【答案】(1)r=9(2)长为1010cm(3)能，理由见解析【思路引导】（1）根据面积公式列出方程，解方程即可求解．（2）设团扇展示框长为5xcm，宽为3x（3）分别求得圆形团扇的直径进而求得总高度，与长方体的长和宽比较，即可求解．【完整解答】（1）解：设该圆形团扇的半径为rcm∵团扇面积为81πcm∴πr解得r1=9，（2）解：设团扇展示框长为5xcm，宽为3x∵5x⋅3x=600，解得x1∴该团扇展示框的长为210×5=1010（3）解：能，理由如下：圆形团扇的直径为9×2=18cm，总高度为18+12=30∵610>69∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知实数a,b,m,n满足a−b=mn．(1)求证：a2(2)若m<n，且n=m+2，m为正整数，c=a−2m−b+a+2n−b【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】（1）依据题意，由a−b=mn，从而a2（2）依据题意，由a−b=mn，n=m+2，从而c=a−2m−b+a+2n−b=m【完整解答】（1）证明：∵实数a, b,∴a===a−b∵对于任意实数a，b都有a−b2∴a2∴a2（2）证明：∵a−b=mn，n=m+2，∴c=======m又∵m为正整数，∴c=m+m+2=2m+1∴c一定是偶数．题型讲练五二次根式的乘法【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题：第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1(1)直接写出第7个等式：______；(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（n为正整数），并证明等式成立；【答案】(1)7+(2)n+1【思路引导】（1）根据已有式子找出规律即可；（2）结合（1）中的规律，并验证即可．【完整解答】（1）解：已知第1个等式：1+1第2个等式：2+1第3个等式：3+1第4个等式：4+1故第7个等式：7+1（2）解：第n个等式（n为正整数）为：n+1证明：左式=n∵n为正整数，∴n+1>0，∴n+1∴左式=n+1即n+1【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义minm,n表示m，n两个数中的较小值，例如min3,−5=−5(1)填空：min2(2)已知min52,a=a，min52,b=52【答案】(1)2(2)4【思路引导】（1）根据二次根式比较大小的方法可得210（2）根据定义可得a≤52≤b，可估算出7<52【完整解答】（1）解：∵2102=40<∴210∴min2（2）解：∵min52,a=a∴a≤52∵49<∴7<52∵a和b为两个连续的正整数，∴a=7，∴27题型讲练六二次根式的除法【例6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，格点△ABC（顶点均是网格线的交点）和格点O，小正方形的边长为1．(1)以点O为对称中心，作出△ABC的中心对称图形△A(2)若△ABC的底边BC上的高为h，则h=________．【答案】(1)图见解析(2)2【思路引导】（1）根据中心对称的性质，画图即可；（2）根据勾股定理和等积法进行求解即可.【完整解答】（1）解：如图，△A（2）解：由图可知，△ABC边AC上的高为4，AC=5，BC=2∵S△ABC∴h=25【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）完成下列题目(1)【问题背景】图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含a，b的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：a(2)【问题探究】将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）按如图2方式放置，A,E,B在同一直线上，显然∠A=∠B=∠DEC=90°，连接CD．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理；(3)【问题拓展】如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得△ABC，请用“等面积法”求该三角形AB边上的高．【答案】(1)12ab×4+(2)见解析(3)6【思路引导】（1）根据题意填空，即可求解．（2）根据S△ABDE=S（3）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高，即可求解．【完整解答】（1）解：图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2（用含a，b（2）证明：S△ACES梯形∴1∴a（3）解：设AB边上的高为h，∵S△ABC=4×4−1∴S∴h=6即AB边上的高是65题型讲练七二次根式的乘除混合运算【例7】按要求完成下列各题：(1)计算：18×(2)求方程(x+5)2【答案】(1)1(2)x=−5+23或【思路引导】（1）根据二次根式的乘除运算法则求解；（2）利用二次根式的性质解方程即可．【完整解答】（1）解：18==1；（2）解：(x+5)x+5=±2解得x=−5+23或x=−5−2【变式】．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算：(1)2x−y(2)3(3)先化简，再求值：1−3a+2÷【答案】(1)2(2)6(3)2【思路引导】根据多项式乘以多项式、二次根式的乘除运算、分式的化简求值依次计算即可.（1）根据多项式乘以多项式的法则，进行计算；（2）根据二次根式的运算法则进行计算；（3）根据分式的运算法则计算，可得：原式=aa+1，再把【完整解答】（1）解：2x−y=2=2x（2）解：3=====6（3）解：1−=====a当a=2时，原式=a题型讲练八分母有理化【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接AF,(1)求证：四边形ADCF是矩形；(2)若∠BAC=60°, BD=2AD=2，求点A到边【答案】(1)见解析(2)3【思路引导】（1）先证明四边形ADCF是平行四边形，可得AD∥CF，再由∠ADC=∠DCF，可得∠ADC=∠DCF=90°，即可证明结论；（2）过点A作AM⊥BC于点M，利用矩形的性质可得EA=ED=EC=EF，∠ADC=90°，由∠BAC=60°可得△EDA是等边三角形，则可得AC=2AD=2，AD=1，再可求得CD，BC，然后利用三角形的面积求出AM的长即可．【完整解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE=CE，∵EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠ADC+∠DCF=180°，∵∠ADC=∠DCF，∴∠ADC=∠DCF=90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，由（1）可知，四边形ADCF是矩形，∴EA=ED=EC=EF，∠ADC=90°，∵∠BAC=60°，∴△EDA是等边三角形，∴EA=ED=AD，∴AC=2EA=2AD，∵BD=2AD=2，∴AC=2AD=2，AD=1，∴AB=AD+BD=3，CD=A∵∠ADC=90°，∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，∴BC=B∵S△ABC∴AM=AB⋅CDBC=3×37=【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：1+1a−2÷【答案】3a+1；【完整解答】解：1+===3当a=3−1时，原式题型讲练九最简二次根式的判断【例9】（24-25八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A．2 B．0.1 C．23 D．【答案】A【思路引导】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握满足最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数或因式．据此判断即可．【完整解答】解：A．2是最简二次根式，故此选项符合题意；B．0.1中的被开方数为0.1=110，被开方数含分母10，故C．23中的被开方数含分母3，故2D．23中的被开方数23含能开方的因数22故选：A．【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．(1)112=2(2)2820(3)1.5=【答案】(1)不是最简二次根式，化简为4(2)不是最简二次根式，化简为35(3)不是最简二次根式，化简为6【思路引导】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．（1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；（2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；（3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简．【完整解答】（1）解：∵28∴28不是最简二次根式，则2112=2（2）∵7∴72820（3）∵3∴31.5=题型讲练十化为最简二次根式【例10】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，若BD=5，CD=3，则AB的长为_____．【答案】4【思路引导】先结合勾股定理得BC=BD2−CD2=4，又因为DE【完整解答】解：∵∠C=90°，BD=5，CD=3，∴BC=B∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=5，则AC=AD+CD=5+3=8，∴AB=A【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题：【几何模型】如图1，A、B是直线l同侧的两个定点，问题：在直线l上找一点P，使PA+PB值最小．方法：如图2，作B点关于l的对称点B′，连接AB交l于P点，则P【模型应用】如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，MN为其中一段笔直路段，其长为12km，在点M正北方5km处有一村庄A．在N的正北方4km处有一村庄B，计划在MN上建一露营地P，使得露营地P到村庄A、村庄(1)在图3中，若MP=xkm，请在Rt△AMP中用含x的代数式表示出AP=__________；再在Rt△BPN中用x表示出BP=__________；则AP+BP(2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和AP+BP的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则AP+BP的最小值为__________km．【拓展应用】(3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题：①求出函数y=x②已知2x+3y=10，求2x−22【答案】(1)x2+25km；(2)15(3)①20；②10【思路引导】（1）利用勾股定理求出AP,BP即可得到答案；（2）作点B关于MN的对称点C，过点C作CD⊥AM，交AM的延长线于点D，连接AC，PC，由轴对称的性质可得CN=BN=4km，BP=CP，则当A、C、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AC的值；证明四边形CDMN是矩形，得到DM=CN=4km，（3）①AB⊥BC，CD⊥BC，AB=3，BC=15，CD=5，点P为BC上一点，且BP=x，则②AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=10，CD=8，点P为BC上一点，且BP=2x−2，则【完整解答】（1）解：由题意得，AM=5km，∠AMP=90°∴AP=MBP=N∴AP+BP=x（2）解：如图所示，作点B关于MN的对称点C，过点C作CD⊥AM，交AM的延长线于点D，连接AC，由轴对称的性质可得CN=BN=4km∴AP+BP=AP+CP≥AC，∴当A、C、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AC的值；∵∠AMN=∠BNM=90°，∴∠DMN=∠CNM=180°−90°=90°，∵CD⊥AM，∴∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴DM=CN=4km∴AD=AM+DM=9km∴AC=A∴AP+BP的最小值为15km（3）解：①如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=3，BC=15，CD=5，点P为由勾股定理得AP=BDP=C∴AP+DP=x如图所示，作点D关于BC的对称点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接AE，由轴对称的性质可得DP=EP，∴AP+DP=AP+EP≥AE，∴当A、E、P三点共线时，AP+DP有最小值，最小值为AE的值；同理可证明四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=5，∴AF=AB+BF=8，∴AE=A∴AP+DP的最小值为17，即x2∴y=x2+9②如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=10，CD=8，点P为由勾股定理得AP=BDP=C∴AP+DP=2x−2如图所示，作点D关于BC的对称点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接AE，由轴对称的性质可得DP=EP，∴AP+DP=AP+EP≥AE，∴当A、E、P三点共线时，AP+DP有最小值，最小值为AE的值；同理可证明四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=8，∴AF=AB+BF=10，∴AE=A∴AP+DP的最小值为102，即2x−22+4题型讲练十一已知最简二次根式求参数【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号）①若5=a，则80等于6a②使12n是正整数的最小整数n是3；③0.5是最简二次根式；【答案】②【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案．【完整解答】解：①∵5=a，∴80②12n=4×3n=23n，要使23n为正整数，则3n需为整数，即3n为完全平方数，最小整数n=3③0.5=12故答案为：②．【变式】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知m−3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：______．【答案】5(答案不唯一)【思路引导】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出m的取值范围，据此即可解答．【完整解答】解：∵m−3∴m−3≥0，解得：m≥3，∴整数m的值可以是5(答案不唯一)．故答案为：5(答案不唯一)．题型讲练十二复合二次根式的化简【例12】（25-26八年级下·广东江门·期中）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：a2±2ab+b2=材料二：在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y和Qx,y′给出如下定义：若y′=yx≥0−yx<0，则称点Q为点根据材料解决下列问题：(1)点2,−3的“横负纵变点”为______，点(2)化简：30+621(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M−2,m且m=12a+2a−1【答案】(1)2,−3(2)21(3)−【思路引导】（1）根据“横负纵变点”的定义填空即可；（2）将原式转化为212（3）将m转化为12a−1+1+a−1【完整解答】（1）解：∵2,−3中，∴点2,−3的“横负纵变点”为∵−33,−2中，∴点−33,−2的“横负纵变点”为（2）解：30+621（3）解：∵m=1∴m==1∴1≤a≤2，∴0≤a−1≤1，∴0≤a−1∴12a−1+1∴M−∵−2<0，点M′∴M′【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+267−43【类比归纳】(1)仿照上面的方法，若将7+210化成a+b2，其中a>b，则a=_____，(2)请你仿照上面的方法化简：6−42(3)若a+215=m+n2，其中m>n，且a，【答案】(1)5，2(2)2−(3)16或32【思路引导】（1）根据题意，得5×（2）根据所学方法求解即可；（3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可．【完整解答】（1）解：根据题意，得7+210且a>b，故a=5，b=（2）解：根据题意，得6−42故6−42（3）解：∵15∴a+215或a+215∴a=8,m=5,n=3或a=16,m=15,n=1，故a+m+n=8+5+3=16或a+m+n=16+15+1=32．题型讲练十三同类二次根式【例13】先化简，再求值．2x+y2+x+2y2−2【答案】x−y2；【思路引导】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．【完整解答】2x+y===x−y当x=2+1，原式=====4．【变式】下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27【答案】③④【思路引导】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．【完整解答】解：①化简得：8=22，②化简得：3x为最简二次根式，8x=2③化简得：2bb为最简二次根式，b21④由二次根式有意义可知−27x3≥0化简得：−−27−x3=−3x故化简后其中是同类二次根式的是③④．题型讲练十四二次根式的加减运算【例14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（

）A．2+3=C．18−12×【答案】D【完整解答】解：选项A：2与3不是同类二次根式，不能合并，2+选项B：43选项C：18−选项D：23【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算：(1)28(2)24×【答案】(1)2(2)10【思路引导】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并即可；（2）原式先计算括号内的，再进行二次根式的乘除法，然后再进行加法运算即可．【完整解答】（1）解：2=4=4=22（2）解：24=====6+4=10．题型讲练十五二次根式的混合运算【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）阅读与思考材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：5×5=5，3+13−1=3−1=2，我们称5材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：13=1×材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法．例如：已知x=5+2，求代数式小敏的做法是：根据x=5+2得x−22=5，把x2−4x作为整体代入，得请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)填空：5+2(2)化简：410(3)求值：已知x=5+3，求代数式【答案】(1)5(2)10(3)8【思路引导】（1）根据分母有理化的概念进行解答即可；（2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可；（3）先将x=5+3变形得x−3=5【完整解答】（1）解：∵5+2∴5+2的有理化因式为：5（2）解：原式====10（3）解：由x=5+3得：∴x−32∴x2∴x2∴x2【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为10+1(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】(1)20(2)4680元【思路引导】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可．【完整解答】（1）解：由题意得，长方形空地ABCD的周长为2×∴长方形空地ABCD的周长为202（2）解：由题意得，蔬菜地的面积为72×∴销售收入=39×15×8=4680（元），∴销售收入为4680元．题型讲练十六已知字母的值，化简求值【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”，因为a+2+2根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)分母有理化：17(2)比较大小：17−2__________16−3．（用“>(3)已知x=16−【答案】(1)7(2)>(3)2【思路引导】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解；（2）先对16（3）先对x，y进行分母有理化，再计算xy，x+y的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解．【完整解答】（1）解：17（2）解：16由（1）可知17∵7>6，∴7+23（3）解：x=1y=1∴xy=6+5∴x2【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知a=12+3∵a=1∴a−2=−3∴a请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：(1)计算：35(2)化简：12(3)若a=12−1【答案】(1)5(2)9(3)2【思路引导】（1）通过平方差公式完成分母有理化化简；（2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；（3）先对a分母有理化，再将所求式子变形为完全平方，代入计算即可．【完整解答】（1）解：35−2=（2）解：原式=2−1+3−2（3）解：∵a=1∴a−1=2∵a把a−1=2代入得a−1题型讲练十七已知条件式，化简求值【例17】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：已知5−x−2−x=1小明同学是这样解答的：∵5−x又∵5−x解答问题：已知10+x+(1)求10+x−(2)求x的值．【答案】(1)2(2)x=−1【思路引导】（1）根据题意构造对偶式即可求解；（2）构造方程求解．【完整解答】（1）解：∵10+x−∵10+x+∴10+x−（2）解：∵10+x+整理得：10+x=3解得：x=−1．【变式】（25-26八年级下·四川自贡·月考）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题：(1)①化简：17②比较大小：2025−2024______2024−2023；（用“>”、“(2)设有理数a、b满足：a2+1+(3)已知12−x−6−x=2【答案】(1)①7+23(2)26(3)3【思路引导】（1）①利用分母有理化的法则解答即可；②根据分母有理化的法则得到2025−2024=（2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出a、b的值，再计算a2（3）设c=12−x−6−x，d=12−x+【完整解答】（1）解：①17②∵2025−20242025∴2025−2024=∵2025∴1∴2025（2）解：a===a+b∵a2+1∴a+b=−6解得a=−5b=−1∴a（3）解：设c=12−x−6−x∴cd=12−x∵c=12−x∴2d=6，∴d=3，即12−x+题型讲练十八比较二次根式的大小【例18】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像5+25−2=1，a·a=a（a≥0），b+1b−1=b−1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像5(1)化简：①13=②15(2)计算：12+1(3)已知a=2026−2025，b=【答案】(1)①33；②(2)2025(3)a>b，见解析【思路引导】（1）①将分子分母同乘以3化简即可；②将分子分母同乘以5+1（2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法；（3）通过比较a，b的倒数，然后进行a，b的大小比较．【完整解答】（1）解：①13②15（2）解：1====2026−1=2025；（3）解：a>b，理由如下：1a同理：1b∵2027+∴1a∵a>0,b>0，∴a>b．【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：2325(1)化简：213+11=________，(2)比较大小：21−19________19−17（填“>”、“(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：13【答案】(1)13−11(2)<(3)5【思路引导】（1）根据题意，分子分母分别乘以13−（2）利用分子有理化，再比较大小，即可求解；（3）根据题意，原式可变形为12【完整解答】（1）解：2132n+2（2）解：121119∵21+∴121∴21−（3）解：原式=====5.题型讲练十九二次根式的应用【例19】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为18m2和(1)光伏发电板A，B的边长分别为_____m，_____m；（用最简二次根式表示）(2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．【答案】(1)32，(2)6【思路引导】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可；（2）根据图形进行列式计算即可．【完整解答】（1）解：∵两块正方形的光伏发电板A的面积为18