浙江Z20+名校联盟2025-2026学年高一第二学期创新班联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江Z20+名校联盟2025-2026学年高一第二学期创新班联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.2.已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】由，可得，故命题是命题的必要条件；由不一定得到，故命题不是命题的充分条件，所以“命题”是“命题”的必要不充分条件.3.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】等价于，解得，所以不等式的解集是.4.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】等式两侧同时乘以可得，则，即.因为，且，所以.5.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故，因为，而当时，，不合要求，当，，满足要求，故，故，.6.已知，其中，.比较下列几个数的大小：，，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，根据可得：，所以，同理，，所以，又，令，则，故，所以，综上所述：.7.凸四边形中，，，，点是边的中点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，依题意，则，因，，则点在以为弦，圆周角为的圆上，由正弦定理，可得其半径为，易知弦的斜率为，中点为，则的中垂线方程为，即，可设该圆的圆心为，由，解得，不妨取，(另一个圆心同理可求)则可设圆的参数方程为，即可取，于是，则，其中，当时，即时，取得最大值；当时，即时，取得最小值.故的取值范围是.8.已知，，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，，令，∵，∴，又为正数，，又，故，且，若，即时，由于，，故，由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为，此时，若，即时，，则，由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为，此时，综上，的最大值是，当时或取等.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（）A.该校高二学生总数为800B.该校高二学生中选考物化地组合的人数为70C.用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人D.该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等【答案】ACD【解析】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确；对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误；对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确；对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为；而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确.10.如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.若为线段中点，则与垂直D.平面截长方体的外接球所得截面面积是【答案】ACD【解析】A选项：连接，，由已知为长方体，则，，即，又，且，平面，，平面，平面平面，又平面，平面，A选项正确；B选项：由，且平面，平面，平面，点在上，，又，，B选项错误；C选项：当为中点时，，，即，，即，则，由长方体可知平面，且平面，所以，又，，平面，平面，平面，，C选项正确；D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点，则，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，在三棱锥中，，，即，又，即，解得，则平面被长方体外接球所截小圆半径，其面积为，D选项正确.11.已知函数不是常函数，且满足：对任意实数、都有.下列说法正确的是（）A.B.是偶函数C.存在函数使得D.具有周期性【答案】AB【解析】令得，不恒为0，，A正确；令得，，是偶函数，B正确；令得，即，代入得到，化简得到，不等式无解，故C错误；D错误，反例：，.所以满足假设函数周期为，（），则对任意实数满足，，将代入得到，所以，即，解得，与矛盾，故不具有周期性，选项D矛盾.故选：AB.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图像经过点，则______.【答案】【解析】设，代入点，可得，解得，所以，所以.13.边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为______.【答案】【解析】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥，等边三角形的高为，底面半径为，所以所得到的几何体体积为.故答案为.14.已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______.【答案】【解析】由题意可得，则或，令，则，由，故恒成立，则对任意恒成立，等价于对任意恒成立，由于要求实数的最大值，不妨设，取，则，由，同理，故，即，又，，则，故，故在上单调递增，又，由，则，故，即有对任意恒成立，即对任意恒成立，则有，解得，故实数的最大值是.四、解答题：本大题共5小题，共分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.15.某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率.解：（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是，，∴甲赢得比赛的概率更大.（2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是，相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率.16.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.（1）证明：；（2）求平面与底面所成角的余弦值.解：（1）已知底面，底面，所以，又，平面，故平面.又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，则，又，平面,平面，又平面，，（2）如图，设点在底面的投影分别是，由题意知分别在上，由（1）知平面，平面，则，由于，故是的中点，则是的中点，在中，，，，，故，由于，，则，故，在中，，，，记平面与底面所成角为，.17.已知中，，，，点是边上的动点（不含端点），点关于直线的对称点是点，连接，.（1）当时，求线段的长度.（2）连接，点在运动过程中存在多少个位置，使得，并请说明理由.解：（1）在中，，在中，，.（2），设，，在中，由正弦定理得，，在中，，令，令，或，化简得：，因式分解得：，是其中一根.对于：，当时，变形得，，，无解.当时，由上面变形知道只有当时才可能有根，变形得，和在时都单调递增，记，在时单调递增，，，在时仅有一根，且在区间内，综上所述，点在运动过程中存在2个位置，使得.18.已知，，其中.（1）已知，直接写出该函数的最小正周期和对称中心：（2）已知，求该函数的最大值；（3）已知，.若函数的图像与直线恰有1个交点，求实数的取值范围.解：（1），最小正周期为，对称中心是；（2），由于，故当取到最大值时，是第一象限角，不妨设，，设，则，当且仅当，即，则时取到等号；（3），设，则.记，作出两个函数的图像如下：当时，方程②无解；此时无交点，当时，，此时方程①有两个不相等的实数根，此时有两个交点，当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有3个不相等的实数根，此时有3个交点，当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有2个不相等的实数根，此时有2个交点，当时，此时方程②有唯一解，且，此时方程①有1个实数根，此时有1个交点，当时，方程②无解；此时无交点，综上可得：实数的取值范围为.19.已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则.（1）已知复数满足：，求；（2）已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明