浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.2.已知，，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】解得.3.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240【答案】D【解析】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择，则的展开式中的常数项为.4.已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】因为直线是双曲线：的一条渐近线，则，所以的离心率为.5.数列满足，，则（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】C【解析】由题意得，所以，，，，故C正确.6.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】事件表示甲乙两人都不去A景点，，事件表示甲乙两人都去A景点，，所以．7.某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（）A.100 B.150 C.180 D.540【答案】B【解析】五名学生自由选择三场比赛：种；若恰好有一场比赛无人观看，则有种，若有两场比赛无人观看，则共种.则不符合条件的方案共有种，所以符合条件的方案有种.8.已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设该正四面体的外接球的半径为，为底面的中心，为该正四面体外接球的球心，则，则该正四面体的高，根据，即，解得，则，，，如图，在中，，所以；在中，，因为交线为圆，所以周长为.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第三象限C. D.【答案】ABC【解析】对A：，为纯虚数，故A正确；对B：，由、，故在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确；对C：由，则，故C正确；对D：，故D错误.10.下列叙述正确的是（）A.已知幂函数是奇函数，则实数B.先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为C.若关于的不等式有解，则实数的取值范围为D.函数在区间内有零点【答案】AD【解析】选项A：由为幂函数，得，解得或，当时，，，为偶函数，故舍去，当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确；选项B：将曲线向右平移个单位长度，得，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误；选项C：当时，恒成立，此时符合题意，故C错误；选项D：因为与在均为单调递增函数，所以在上单调递增，又，，所以，则在区间内有零点，故D正确.11.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则，从乙袋子中取出2个白球为事件B，则，从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则，由题意，X的可能取值为0和1，则，故A错误，B正确；所以，则，故C正确，D错误.三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）12.已知，则_____.【答案】127【解析】因为，令，则，令，则，所以.13.直线被圆截得的弦AB的长为________．【答案】【解析】圆心到直线的距离为：，所以弦的长为：.14.如图，一动点P从点A出发，在正方形的各顶点上移动.每次移动时，动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点P移动了步之后，停在点A的概率为.则_____.【答案】【解析】移动两步后，依旧在点的概率为，则移动两步后，在点的概率为，则，.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数的最大值为，（1）求a的值；（2）求使成立的x的取值集合解：（1）.因为的最大值为，且函数的最大值为，解得（2）由（1）得，，所以，由，得，即所以.解得.因此，成立的x的取值集合是.16.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的公差为d，由，可得，可得①由可得，整理可得②.联立①②可得，.所以.（2）因为，则.所以，上式-下式得.因此，.17.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D．（1）求证：平面BDE；（2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．（1）证明：连接,因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以，又因为平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由题设可知，四边形为菱形，所以,因为D，E分别是线段AC，的中点，所以,所以，又因为平面BDE,所以平面BDE.（2）解：以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,设，则所以平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,所以，设，则，所以，设，所以，因为，所以二次函数在单调递增，所以，所以，所以锐二面角的余弦值的取值范围．18.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）因为，则，由题意可得：f'0=2a+(a-2)-1=-3（2）因为的定义域为，且，（i）若，则，可知在单调递减；（ii）若，令，解得，当时，；当时，；可知在单调递减，在单调递增；综上所述：当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）由（2）可知：当时，函数在上为减函数，则至多有一个零点，不合题意，所以，此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为，当，，当，，若函数两个零点，则，令g(a)=1-1a+lna，，可知在上单调递增，且则不等式的解集为，所以的取值范围为.19.已知动圆C与圆内切，同时与圆外切，圆心C的轨迹为曲线E，过抛物线的焦点F且斜率不为0的直线l交曲线E于点M、N，，，直线与直线交于点P．（1）求曲线E的方程；（2）记，的面积分别为，，若，求直线l的斜率；（3）记直线、的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为，所以圆内切于圆，由，可得，故切点坐标为，故，设动圆C的半径为，则圆C与圆内切时，，圆C与圆外切时，，所以