上海市复旦大学高三数学第12单元概率统计综合测试卷及答案

上海市复旦大学高三数学第12单元概率统计综合测试卷及答案第1页共1页上海市复旦大学高三数学第12单元概率统计综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.一个盒子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A.1/8B.3/8C.5/8D.3/5参考答案：C2.某班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。如果随机选择2名学生，恰好是1名男生和1名女生的概率是多少？A.1/8B.1/4C.1/2D.3/8参考答案：B3.一个袋子里有10个大小相同的球，分别标有数字1到10。从中随机抽取3个球，这3个球数字之和为15的概率是多少？A.1/120B.1/20C.1/12D.1/10参考答案：B4.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，恰好命中2次的概率是多少？A.0.027B.0.147C.0.343D.0.21参考答案：B5.一个盒子里有4个不同的玩具，从中随机抽取2个玩具，这2个玩具是不同的概率是多少？A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3参考答案：D6.一个班级有30名学生，其中15名是男生，15名是女生。如果随机选择3名学生，恰好是2名男生和1名女生的概率是多少？A.1/120B.1/8C.1/4D.3/8参考答案：C7.一个袋子里有6个红球和4个蓝球，从中随机抽取2个球，这2个球颜色相同的概率是多少？A.1/10B.3/10C.1/2D.7/15参考答案：B8.一个盒子里有5个不同的书，从中随机抽取3个书，这3个书是不同的概率是多少？A.1/10B.1/20C.3/10D.1/5参考答案：C9.一个班级有50名学生，其中25名是男生，25名是女生。如果随机选择4名学生，恰好是2名男生和2名女生的概率是多少？A.1/50B.1/8C.3/8D.1/2参考答案：D10.一个袋子里有7个黑球和3个白球，从中随机抽取2个球，这2个球颜色不同的概率是多少？A.1/10B.3/10C.1/2D.7/15参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.一个袋子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取1个球，抽到红球的概率是______。参考答案：5/82.某射手每次射击命中目标的概率是0.7，他连续射击3次，恰好命中2次的概率是______。参考答案：0.4413.一个班级有40名学生，其中20名是男生，20名是女生。如果随机抽取2名学生，这两名学生都是男生的概率是______。参考答案：19/394.某公交线路有5个站点，一列公交车从始发站出发，到终点站需要经过4个中间站点，有多少种不同的乘车方案？______。参考答案：605.一个盒子里有6个不同的玩具，从中随机抽取3个玩具，这3个玩具是不同的概率是______。参考答案：20/426.某工厂生产一种产品，每件产品的合格率为95%，现从中随机抽取10件产品，其中至少有1件不合格的概率是______。参考答案：0.0467.一个袋子里有7个黑球和3个白球，从中随机抽取2个球，这2个球颜色相同的概率是______。参考答案：49/708.一个盒子里有5个不同的书，从中随机抽取3个书，这3个书是不同的概率是______。参考答案：10/209.一个袋子里有8个红球和4个蓝球，从中随机抽取2个球，这2个球颜色不同的概率是______。参考答案：24/3510.一个班级有30名学生，其中15名是男生，15名是女生。如果随机抽取2名学生，这两名学生性别不同的概率是______。参考答案：7/19三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。参考答案：√2.在一组数据中，中位数一定小于平均数。参考答案：×3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(Xμ)=0.5。参考答案：√4.样本容量越大，样本均值就越接近总体均值。参考答案：×5.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，则事件A和事件B同时发生的概率为0.42。参考答案：×6.在独立性检验中，卡方统计量的值越大，说明两个分类变量越不独立。参考答案：√7.若总体分布未知，使用样本标准差S来估计总体标准差σ是合理的。参考答案：√8.在分层抽样中，各层样本量应与总体中各层比例相同。参考答案：√9.若一组样本数据服从正态分布，则其样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量。参考答案：√10.在假设检验中，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率之和为1。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在一次随机抽样的调查中，样本容量为100，其中男性有60人，女性有40人。如果采用分层抽样的方法，从男性中抽取20人，那么从女性中应该抽取多少人？参考答案：20人2.某班级有50名学生，其中喜欢篮球的有30人，喜欢足球的有25人，同时喜欢篮球和足球的有10人。求不喜欢篮球也不喜欢足球的学生人数。参考答案：15人3.一个袋子里有5个红球和7个白球，从中随机取出3个球，求取出的3个球都是红球的概率。参考答案：(5×4×3)/(52×51×50)4.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，连续射击3次，求至少命中2次的概率。参考答案：0.8965.已知一组数据：3,5,7,9,11，求这组数据的中位数和方差。参考答案：中位数=7，方差=86.某学校为了解学生的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，得到频率分布直方图。已知身高在160cm以下的频率为0.2，身高在160cm到170cm之间的频率为0.5，求身高在170cm以上的频率。参考答案：0.37.在一次调查中，收集到了关于学生视力情况的频率分布表，如下表所示：|视力情况|频数|||||正常|30||轻度近视|50||中度近视|20|求轻度近视学生占所有调查学生的比例。参考答案：50%8.某工厂生产的产品中，有一级品、二级品和三级品三种，其中一级品率为60%，二级品率为30%，三级品率为10%。现随机抽取一件产品，求抽到的是一级品或二级品的概率。参考答案：0.9五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市公交公司统计了某条线路一周内每天客流量（单位：万人）的数据如下：15.2,18.5,16.3,20.1,17.8,19.4,21.0。请计算该线路一周内平均每天客流量，并估计该线路客流量服从正态分布，求客流量超过20万人的概率（结果保留两位小数）。参考答案：17.68,0.162.某工厂生产一种零件，已知该零件长度X（单位：毫米）服从正态分布N(50,4²)。现从中随机抽取10个零件，求这10个零件中至少有3个零件长度在49毫米到51毫米之间的概率（结果保留三位小数）。参考答案：0.8293.某学校为了解学生视力情况，随机抽取了100名学生进行视力检查，得到如下频率分布表：|视力范围|频数|||||4.9以下|10||4.9-5.2|20||5.3-5.6|40||5.7-6.0|25||6.0以上|5|请根据频率分布表，估计该校学生视力在5.3-5.6范围内的概率，并计算该校学生视力低于5.2的概率。参考答案：0.4,0.24.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击4次，求恰好命中3次的概率。参考答案：0.4115.某班级有50名学生，其中喜欢篮球的有30人，喜欢足球的有25人，两者都喜欢的有10人。现随机抽取2名学生，求这2名学生都不喜欢篮球的概率。参考答案：0.1766.某商场进行促销活动，顾客购物满200元可以参与抽奖，抽奖规则如下：抽奖箱中有10个红球和20个白球，顾客从箱中随机抽取3个球，如果抽到3个红球，则获得一等奖；如果抽到2个红球，则获得二等奖；如果抽到1个红球，则获得三等奖。求顾客获得二等奖的概率。参考答案：0.0957.某公司招聘员工，共有100名应聘者，其中男性60人，女性40人。公司决定先从男性应聘者中随机抽取20人进行面试，再从这20名男性应聘者中随机抽取10人进入下一轮面试。求某一名男性应聘者进入下一轮面试的概率。参考答案：0.128.某产品包装盒上标明“净含量为500克±5克”，假设该产品的实际重量X（单位：克）服从正态分布N(500,5²)。求该产品的实际重量小于490克的概率（结果保留四位小数）。参考答案：0.0013标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查古典概型。盒子里共有8个球，其中5个是红球，所以抽到红球的概率是5/8。2.参考答案：B解析：本题考查古典概型。从40名学生中随机选择2名学生，总共有C(40,2)种选择方式。其中，选择1名男生和1名女生的选择方式有C(20,1)×C(20,1)种。所以，恰好是1名男生和1名女生的概率是C(20,1)×C(20,1)/C(40,2)=1/4。3.参考答案：B解析：本题考查古典概型。从10个球中随机抽取3个球，总共有C(10,3)种选择方式。这3个球数字之和为15的组合有(1,4,10)、(1,5,9)、(1,6,8)、(2,3,10)、(2,4,9)、(2,5,8)、(2,6,7)、(3,4,8)、(3,5,7)共8种。所以，这3个球数字之和为15的概率是8/C(10,3)=1/20。4.参考答案：B解析：本题考查二项分布。射手每次射击命中目标的概率为0.7，不命中的概率为0.3。连续射击3次，恰好命中2次的情况有C(3,2)种，每种情况的概率为0.7^2×0.3=0.147。所以，恰好命中2次的概率是C(3,2)×0.7^2×0.3=0.147。5.参考答案：D解析：本题考查古典概型。从4个不同的玩具中随机抽取2个玩具，总共有C(4,2)种选择方式。这2个玩具是不同的选择方式有C(4,2)-C(4,1)=6-4=2种。所以，这2个玩具是不同的概率是2/C(4,2)=2/6=2/3。6.参考答案：C解析：本题考查古典概型。从30名学生中随机选择3名学生，总共有C(30,3)种选择方式。恰好是2名男生和1名女生的选择方式有C(15,2)×C(15,1)种。所以，恰好是2名男生和1名女生的概率是C(15,2)×C(15,1)/C(30,3)=1/4。7.参考答案：B解析：本题考查古典概型。从10个球中随机抽取2个球，总共有C(10,2)种选择方式。这2个球颜色相同的情况有C(6,2)+C(4,2)=15+6=21种。所以，这2个球颜色相同的概率是21/C(10,2)=3/10。8.参考答案：C解析：本题考查古典概型。从5个不同的书中随机抽取3本书，总共有C(5,3)种选择方式。这3本书是不同的选择方式有C(5,3)-C(5,1)=10-5=5种。所以，这3本书是不同的概率是5/C(5,3)=3/10。9.参考答案：D解析：本题考查古典概型。从50名学生中随机选择4名学生，总共有C(50,4)种选择方式。恰好是2名男生和2名女生的选择方式有C(25,2)×C(25,2)种。所以，恰好是2名男生和2名女生的概率是C(25,2)×C(25,2)/C(50,4)=1/2。10.参考答案：B解析：本题考查古典概型。从10个球中随机抽取2个球，总共有C(10,2)种选择方式。这2个球颜色不同的情况有C(7,1)×C(3,1)=21种。所以，这2个球颜色不同的概率是21/C(10,2)=3/10。二、填空题1.参考答案：5/8解析：本题考查〈古典概型〉。袋中共有8个球，其中红球有5个，所以抽到红球的概率是5/8。2.参考答案：0.441解析：本题考查〈独立重复试验的概率计算〉。每次射击命中目标的概率是0.7，未命中的概率是0.3。恰好命中2次的情况有C(3,2)种，每种情况的概率是0.7^2×0.3，所以总概率是C(3,2)×0.7^2×0.3=3×0.49×0.3=0.441。3.参考答案：19/39解析：本题考查〈古典概型〉。从40名学生中随机抽取2名学生，总共有C(40,2)种可能的组合。其中，抽取的2名学生都是男生的组合有C(20,2)种。所以，抽取的2名学生都是男生的概率是C(20,2)/C(40,2)=(20×19)/(40×39)=19/39。4.参考答案：60解析：本题考查〈排列组合〉。从5个站点中选取4个站点的乘车方案有A(5,4)种，即5×4×3×2=120种。5.参考答案：20/42解析：本题考查〈古典概型〉。从6个不同的玩具中随机抽取3个玩具，总共有C(6,3)种可能的组合。其中，抽取的3个玩具是不同的组合有C(6,3)种。所以，抽取的3个玩具是不同的概率是C(6,3)/C(6,3)=20/42。6.参考答案：0.046解析：本题考查〈对立事件的概率计算〉。每件产品的合格率为95%，所以不合格的概率是1-0.95=0.05。现从中随机抽取10件产品，至少有1件不合格的概率等于1减去全部合格的概率，即1-(0.95)^10≈0.046。7.参考答案：49/70解析：本题考查〈古典概型〉。从7个黑球和3个白球中随机抽取2个球，总共有C(10,2)种可能的组合。其中，抽取的2个球颜色相同的组合有C(7,2)+C(3,2)种。所以，抽取的2个球颜色相同的概率是(C(7,2)+C(3,2))/C(10,2)=(21+3)/(45)=49/70。8.参考答案：10/20解析：本题考查〈古典概型〉。从5个不同的书中随机抽取3个书，总共有C(5,3)种可能的组合。其中，抽取的3本书是不同的组合有C(5,3)种。所以，抽取的3本书是不同的概率是C(5,3)/C(5,3)=10/20。9.参考答案：24/35解析：本题考查〈古典概型〉。从8个红球和4个蓝球中随机抽取2个球，总共有C(12,2)种可能的组合。其中，抽取的2个球颜色不同的组合有C(8,1)×C(4,1)种。所以，抽取的2个球颜色不同的概率是(C(8,1)×C(4,1))/C(12,2)=(8×4)/(66)=24/35。10.参考答案：7/19解析：本题考查〈古典概型〉。从30名学生中随机抽取2名学生，总共有C(30,2)种可能的组合。其中，抽取的2名学生性别不同的组合有C(15,1)×C(15,1)种。所以，抽取的2名学生性别不同的概率是C(15,1)×C(15,1)/C(30,2)=(15×15)/(435)=7/19。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查互斥事件的概率性质。若事件A和事件B互斥，则A和B不能同时发生，即P(A∩B)=0。根据条件概率公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，由于P(A∩B)=0，所以P(A|B)=0。该结论符合概率论的基本定义。2.参考答案：×解析：本题考查数据集中趋势的比较。中位数是将数据排序后位于中间位置的值，而平均数是所有数据的算术平均值。在一组对称分布的数据中，中位数等于平均数；但在偏态分布的数据中，中位数可能大于或小于平均数。例如，数据集[1,2,100]的中位数为2，平均数为34，中位数小于平均数。3.参考答案：√解析：本题考查正态分布的性质。正态分布N(μ,σ²)关于均值μ对称，因此P(Xμ)表示随机变量X取值大于均值的概率，由于对称性，该概率为0.5。4.参考答案：×解析：本题考查样本均值的抽样分布性质。根据大数定律，样本容量越大，样本均值越接近总体均值，但并不意味着样本均值一定越来越接近总体均值。样本均值的标准误差为σ/√n，随着n增大，标准误差减小，但样本均值仍然存在抽样波动，只是波动范围减小。5.参考答案：×解析：本题考查独立事件的概率计算。若事件A和事件B独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42。但题干未说明事件A和事件B是否独立，仅给出各自概率，因此无法确定它们同时发生的概率是否为0.42。6.参考答案：√解析：本题考查卡方检验的统计意义。在独立性检验中，卡方统计量χ²的计算公式为χ²=Σ[(O-E)²/E]，其中O为观测频数，E为期望频数。χ²值越大，说明观测频数与期望频数差异越大，即两个分类变量之间的关联性越强，越不独立。7.参考答案：√解析：本题考查样本方差的估计性质。根据抽样分布理论，样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量，即E(S²)=σ²。因此，使用样本标准差S来估计总体标准差σ在理论上是合理的，尽管S²可能存在抽样波动。8.参考答案：√解析：本题考查分层抽样的基本原则。分层抽样的目的是为了使样本结构更接近总体结构，从而提高估计的精度。因此，各层样本量应按总体中各层比例进行分配，即实现比例分层抽样。9.参考答案：√解析：本题考查正态分布下样本方差的估计性质。在正态分布假设下，样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计量，这是基于样本方差的抽样分布理论得出的结论，即E(S²)=σ²。10.参考答案：×解析：本题考查假设检验中两类错误的定义。犯第一类错误的概率（α）是拒绝原假设时犯错的概率，犯第二类错误的概率（β）是接受原假设时犯错的概率。α和β之和不一定等于1，它们取决于检验的设定和样本量。只有当原假设和备择假设互补时，α+β=1。四、简答题1.参考答案：20人解析：本题考查分层抽样。根据分层抽样的原理，各层样本量应与总体中各层比例相同。男性样本量为20人，占男性总人数的比例为20/60=1/3。因此，女性样本量也应占女性总人数的1/3，即40×1/3=13.33人。由于样本量必须为整数，所以应从女性中抽取13人或14人。但题目要求从男性中抽取20人，因此从女性中应抽取20人。2.参考答案：15人解析：本题考查集合的运算。设喜欢篮球的学生集合为A，喜欢足球的学生集合为B，则A∪B表示喜欢篮球或足球的学生集合，A∩B表示同时喜欢篮球和足球的学生集合。根据题意，|A|=30，|B|=25，|A∩B|=10。根据集合的运算公式，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=30+25-10=45。因此，不喜欢篮球也不喜欢足球的学生人数为50-45=15人。3.参考答案：(5×4×3)/(52×51×50)解析：本题考查古典概型。从12个球中随机取出3个球，所有可能的结果数为C(12,3)=220。其中，取出的3个球都是红球的结果数为C(5,3)=10。因此，取出的3个球都是红球的概率为10/220=1/22。4.参考答案：0.896解析：本题考查独立重复试验。射手每次射击命中目标的概率为0.8，连续射击3次，至少命中2次的情况包括命中2次和命中3次。命中2次的概率为C(3,2)×0.8^2×0.2=3×0.64×0.2=0.384。命中3次的概率为0.8^3=0.512。因此，至少命中2次的概率为0.384+0.512=0.896。5.参考答案：中位数=7，方差=8解析：本题考查中位数和方差。将数据按从小到大的顺序排列：3,5,7,9,11。中位数为中间的数，即7。方差为各数据与平均数差的平方的平均数。平均数为(3+5+7+9+11)/5=7。方差为[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/5=8。6.参考答案：0.3解析：本题考查频率分布直方图。已知身高在160cm以下的频率为0.2，身高在160cm到170cm之间的频率为0.5。由于频率分布直方图的总面积为1，因此身高在170cm以上的频率为1-0.2-0.5=0.3。7.参考答案：50%解析：本题考查频率分布表。根据频率分布表，轻度近视学生的频数为50，所有调查学生的频数为30+50+20=100。因此，轻度近视学生占所有调查学生的比例为50/100=50%。8.参考答案：0.9解析：本题考查概率的加法规则。一级品率为60%，二级品率为30%，因此抽到一级品或二级品的概率为60%+30%=90%。五、应用题1.参考答案：17.68,0.16解析：本题考查〈样本均值与正态分布概率计算〉。①计算样本均值：\bar{x}=15.2+18.5+16.3+20.1+17.8+19.4+21.0/7=17.68（万人）；②由于样本量较大，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似为正态分布，其均值与总体均值相同，即\mu_{\bar{x}}=\mu=17.68，标准误为\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{7}}\approx1.51（万人）；③计算概率：P(X20)=P(Z20-17.68/1.51)=P(Z1.82)\approx0.034。2.参考答案：0.829解析：本题考查〈正态分布概率计算与二项分布应用〉。①计算单个零件长度在49毫米到51毫米之间的概率：P(49X51)=P(49-50/2Z51-50/2)=P(-0.5Z0.5)\approx0.384；②设Y为10个零件中长度在49毫米到51毫米之间的零件数量，则Y\simB(10,0.384)；③计算概率：P(Y\geq3)=1-P(Y\leq2)=1-(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2))\approx0.829。3.参考答案：0.4,0.2解析：本题考查〈频率分布表与概率估计〉。①估计该校学生视力在5.3-5.6范围内的概率：P(5.3X5.6)=40/100=0.4；②计算该校学生视力低于5.2的概率：P(X5.2)=10/100=0.1。4.参考答案：0.411解析：本题考查〈二项分布应用〉。设Y为4次射击中命中的次数，则Y\simB(4,0.7)；计算概率：P(Y=3)=C_4^3\times0.7^3\times0.3^1=0.411。5.参考答案：0.176解析：本题考查〈古典概型与容斥原理〉。设A为喜欢篮球的事件，B为喜欢足球的事件，则P(A)=30/50=0.6，P(B)=25/50=0.5，P(A\capB)=10/50=0.2；计算概率：P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.6=0.4，P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A\cupB})=1-P(A\cupB)=1-(P(A)+P(B)-P(