河南省开封市五县联考2026届高三下学期5月阶段检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市五县联考2026届高三下学期5月阶段检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.2.双曲线的实轴长为（）A. B.4 C. D.8【答案】C【解析】由双曲线方程知，则实轴长为.故选：C.3.已知递增的等比数列满足，，则的公比（）A.5 B.3 C. D.【答案】C【解析】因为为等比数列，所以，又，联立解得或，又单调递增，则，所以，则，解得.4.在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（

）A.甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大B.乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大C.甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大D.乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大【答案】C【解析】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4，所以甲队进攻能力比乙队强，又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2，所以乙队进球数波动较大．5.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点成中心对称 D.关于点成中心对称【答案】C【解析】由连续型随机变量服从正态分布，可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，即，由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误；，所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.故选：C.6.设，若为函数的极大值点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D.7.已知为的外心，且满足，则的值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点），即在上的投影为，在上的投影为，所以

，，又，两边点乘得：

，即，整理得：，（1）两边点乘得：

,即，整理得：，（2）联立（1）（2），消去得：

，化简得：，即.8.定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知满足，且函数为偶函数，所以，令，所以函数是周期为的周期函数.又因为与函数都是偶函数，由对称性可知由于关于的方程至少有8个实数解，故当时，与至少有个交点.函数与图象如图所示.由图可知：当时，只需，解得，当时，只需，解得，当时，显然符合题意.综上所述：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（）A.极差相同 B.平均数不同C.方差不同 D.中位数相同【答案】AB【解析】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为，新数据为，则新数据的极差为，因此新数据与原数据的极差相同，故A正确；原数据的平均数为，新数据的平均数为，由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确；原数据的方差为，新数据的方差为，，则新数据与原数据的方差相同，故C错误；不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数，新数据为，则新数据的中位数为2，则新数据与原数据的中位数不同，故D错误.故选：AB.10.已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（）A.B.设数列满足，则的最大项为C.设数列的前项和为，则D.设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012【答案】ACD【解析】A选项，，即，故，又，故，所以，A正确；B选项，，显然，，，的最大项不为，B错误；C选项，，则①，②，式子①-②得，所以，C正确；D选项，，，若为偶数，则，，即，解得且为偶数，故且为偶数，若为奇数，则，，即，解得且为奇数，故且为奇数，综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确.11.已知数列满足（是自然对数的底数），且，则（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于B，因为，假设当时，则，即当时，成立，所以可得，故B正确.对于A，设，则，当时，当时，所以在上的单调递减，在上单调递增，则，则恒成立，即.由，可得，故A正确.对于C，因为，，，所以，而，所以，故C错误.对于D，因为，令，由，可得，则，即，故D正确.三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________.【答案】【解析】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布，因为，可得，则，又因为某地有8000名学生参加考试，所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为.故答案为：.13.已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数____________.【答案】【解析】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若，则圆心到直线即的距离，又由圆心到直线的距离，则有，解可得：.故答案为：.14.设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则___________.【答案】【解析】由题意知，，原方程两边同时除以，化简为：，令，则方程变为：，解得或，即或，所以原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得最小值为，又因为当时，，当时，，而，所以与、图象各有两个交点，即原方程共有个互不相等的实数解.由得，两边取自然对数：，即，同理，由化简得：，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.（1）若点为中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：如图所示：连接，点、分别是，的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，，又平面，且平面，面.（2）解：以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，设，，，设平面的一个法向量是，则，取得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以，解得（负值舍去）故，则平面的一个法向量是，，设平面的一个法向量是，则，取得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.16.为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课.（1）求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；（2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为.（ⅰ）求随机变量的分布列；（ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系.解：（1）设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件A，“皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件B，剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下3人全排列，即，皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的2个项目中选1个，即，剩下2人全排列，即，所以，所以.（2）（ⅰ）由题意得总分配方案数为，设4人为1，2，3，4，对应的工坊为,当时，4人都在自己对应的工坊，只有1种情况，即，当时，从4人中选2人在对应工坊，有种选法，剩下两人都不在对应工坊，只有1种排法，共有种排法，即，当时，从4个人中选1人在对应工坊，有种选法，剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的3人为，1不在，只能在中选，有种选法，只能调换位置，有1种排法，共种排法，即，则，随机变量的分布列如下：0124（ⅱ）由题意得，由上可得，，则，，则因为协方差为负数，由题意得随机变量与之间具有负相关关系.17.已知，函数.（1）若是函数的极小值点，求；（2）若函数存在两个极值点，.（i）求的取值范围；（ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行.（1）解：依题意，.因为是的极小值点，所以，得.此时，当时，；当时，，所以是函数的极小值点，所以.（2）（i）解：因为，是的两个极值点，所以的判别式，解得或，故的取值范围是.（ii）证明：由（i）可得，，依题意，，令，设函数，此时，对称轴，而，故，又，，故在存在两个不同的零点，且，综上，存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行.18.已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）若，求；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明：对任意正整数，.（1）解：由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，.（2）证明：方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.方法二：因为，，，则，由于，作差得，，利用合比性质知，因此是公比为的等比数列.（3）证明：方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）证明：.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.而又有，，故利用前面已经证明的结论即得.这就表明的取值是与无关的定值，所以.方法二：由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.这就得到，以及.两式相减，即得.移项得到.故.而，.所以和平行，这就得到，即.方法三：由于，作差得，变形得①，同理可得，由（2）知是公比为的等比数列，令则②，同时是公比为的等比数列，则③，将②③代入①，即，从而，即.19.为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记.（1）求的方程；（2）求证：；（3）设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭