2026-2027学年广东省汕头市潮阳华斯达学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省汕头市潮阳华斯达学校高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x∈Z||x−1|≥2}，则A∩B=A.{0,2,3,4} B.{−2,−1,3} C.{−1,3,4} D.{−1,0,3,4}2.若a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，则与a+bA.(0,−55,−255) B.3.直线xcosθ+y−1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是(

)A.[0,π) B.[π4,3π4]4.已知函数f(x)=sin(π6−2x)，x∈[0,π]，则A.[0,π2] B.[0,π3],[5.已知a=0.31.9，b=1.90.3，c=A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.b>c>a6.某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试(单位：cm).已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400.则抽取的样本总方差为(

)A.650 B.700 C.1300 D.14007.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=4，AA′=6，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′与AB的夹角的余弦值为(

)A.71326

B.719388.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，则该四棱锥的外接球的表面积为(

)A.28π3 B.56π3 C.32π 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=1−2i在复平面内的对应点为A，复数z2在复平面内的对应点为B，且AB=(2,3)A.|z2|=10

B.z1+2z210.连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是(

)A.P(AB)=19 B.P(B+D)=23

C.事件A与事件B独立 D.事件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，设P是棱CC1的中点，Q是线段C1P上的动点(含端点)，M是正方形BCCA.点M的轨迹是一条线段

B.三棱锥B−A1PM的体积为定值

C.当点Q在线段C1P上移动时，必存在点M，使A1M⊥BQ

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,m−1,0),b=(2m−2,3,3n)，且a⊥b，则m=13.已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB上运动，则y+1x−2的范围是

．14.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=22，AD=AA1=2，P为长方体内部(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，取AB=a，AD=b，AA1=c．

(1)用a，b，c表示BD1；

(2)若16.(本小题15分)

2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行.志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)．

(2)现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和s12，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差s117.(本小题15分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且cos(B−C)+cosA+23csinBcosA=0．

(1)求A；

(2)设角A的平分线交边BC于点D18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．

(1)求直线AB与平面PCD所成角的正弦值；

(2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为105？若存在，求出19.(本小题17分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量μ=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若平面α以μ为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．

(1)若平面α1：x−2y+1=0，直线l的方向向量为m=(0,3,−1)，求直线l与平面α1所角的正弦值；

(2)已知集合P={(x,y,x)||x|+|y|+|z|≤3}，记集合1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】ABC

11.【答案】AC

12.【答案】1

13.【答案】(−∞,−514.【答案】[115.【答案】解：(1)已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，取AB=a，AD=b，AA1=c，

连接BD，因为AB=a，AD=b，AA1=c，

所以BD=AD−AB=b−a，

在平行六面体ABCD−A1B1C1D116.【答案】解：(1)可知频率分布直方图组距为10，所以(0.005+a+0.045+0.020+0.005)×10=1，解得a=0.025，

平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.50，

前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，

则第60百分位数为0.60−0.300.45×10+65≈71.67．

(2)这100名面试者中第四组和第五组面试者有20+5=25人，

第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为20×80+5×9025=82，

由题意可得32=17.【答案】解：(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，

因为cos(B−C)+cosA+23csinBcosA=0，

所以根据诱导公式可得cos(B−C)+cosA=cos(B−C)−cos(B+C)=−23csinBcosA，

整理得：sinBsinC=−3csinBcosA，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以sinC=−3ccosA，

又a=1，所以asinC=−3ccosA，

由正弦定理可得sinAsinC=−3sinCcosA，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，即sinA=−3cosA，

所以tanA=−3，

又A∈(0,π)，所以A=2π3；

(2)设角A的平分线交边BC于点D，

由几何知识得，S△ABD+S△ACD=S△ABC，

根据三角形的面积公式可得S△ABD=12c⋅ADsin∠BAD=12c⋅AD⋅sinπ3=3418.【答案】解：(1)取AD的中点O，连接PO，OC，

由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因为AO=BC=1，AO/​/BC，

所以四边形ABCO是平行四边形，

所以OC/​/AB，

又AB⊥AD，

所以OC⊥AD，

所以直线OC，OD，OP两两垂直，

以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B(1,−1,0)，P(0,0,3)，

则AB=(1,0,0)，CP=(−1,0,3)，CD=(−1,1,0)，

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅CP=−x+3z=0n⋅CD=−x+y=0，取z=1，得n=(3,3,1)，

设直线AB与平面PCD所成角为θ，

则sinθ=|cos〈AB,n〉|=|AB⋅n|AB||n||=|1×3+0×3+0×1|1×(3)2+(3)2+12=217．

所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为217．19.【答案】解：(1)由题可知，直线l的方向向量为m=(0,3,−1)，

又平面α1：x−2y+1=0，

所以平面α1的法向量为n=(1,−2,0)，

设直线l与平面α1所角为θ，

则sinθ=|m⋅n|m||n||=69+1×1+4=325；

(2)易知：集合