新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题17立体几何外接球与内切球必刷100题(原卷版+解析)

专题17立体几何外接球与内切球必刷100题

任务一:善良模式（基础）1-30题

一、单选题

1.已知正四棱锥P-48CQ的所有顶点都在球。的球面上，目正四棱锥夕-彳8。。的底面面积为6,侧面积

为6",则球。的体积为（）

A,必乃B,卫1C,D.虎公

3344

2.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖睛,若三棱锥P-ABC为鳖膈，尸力1.平面ABC,

PA=BC=4,AB=3,AB1BC,若三棱锥P-48c的所有顶点都在球。上，则球O的半径为（）

3.已知A4AC是以4c为斜边的直角三角形，尸为平面44。外一点，且平面P8C1平面力AC,BC=3,

PB=2y[i，PC=石，则三棱锥P-44c外接球的体积为（）

A屈冗5«5而乃

A.IU7TBR.-------C.—D.---------

333

4.三棱锥力-5CQ中，NABC=/CBD=NDBA=60°,BC=BD=\,△力CO的面积为姮，则此三棱锥

4

外接球的表面积为（）

,1632

A.4汗B.16笈C.—7tD.—冗

33

5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖嚅（bienao）.已知在鳖嚅M-力8c中,

MA1ABC,M力=48=8。=4,则该鳖嚅的外接球的表面积为（）

A.12乃B.24万C.481D.96乃

6.己知三棱锥8—/CQ中，AB=BC=AC=2,CD=BD=®，BC的中点为E,。石的中点恰好为点力

在平面8CO上的射影，则该三棱维外接球半径的平方为（)

D”

11

7.如图，把两个完全相同的直三角尺S8C,S/C斜边重合，沿其斜边SC折叠形成一个120。的二面角，其

中"=S8=2,且48=6,则空间四边形S48C外接球的表面积为（）

8.已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为28兀，则该三

棱柱的体积为（）

A.6B.18C.12x/3D.1673

9.已知边长为2的等边三角形48C,。为4。的中点，以X。为折痕进行折叠，使折后的/8。。=三，则

过A,B,C,。四点的球的表面积为（）

A.3乃B.4兀C.5”D.6n

10.已知正四面体力SCO的表面积为2右，且A、B、C,。四点都在球。的球面上，则球O的体积为（）

A.2G兀B.—nC.—nD.37r

42

11.在四棱锥尸-48。中，底面是边长为4的正方形，且尸力=2,依=2。=2石，则四棱锥外接球的表面

积为（）

A.4"B.8万C.36乃D.144乃

12.三棱锥。中，43=DC=3,4C=£>3=2,4C_LCZ）,.则三棱锥外接球的表面积是（).

D

A.9兀B.13兀C.367rD.52乃

①已知一个圆锥的母线长为2向侧面展开图是圆心角为空的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）

A.36乃B.48万C.36D.24后

14.已知三棱柱ABC-44G的6个顶点全部在球O的表面上，48=力。，ABAC=120°,三棱柱ABC-48c

的侧面积为8+46，则球。表面积的最小值是（）

15.三棱锥尸-川5c的顶点均在一个半径为4的球面上，△44C为等边三角形且其边长为6,贝IJ三棱锥

P-/18C体枳的最大值为（）

A.1273B.185/3C.2473D.546

第H卷（非选择题）

二、填空题

16.已知。，£分别是边长为2的等边△力〃。边48,力。的中点，现将沿翻折使得平面/QEJ■平

面BCDE，则棱锥力-4CQE外接球的表面积为.

17.如图，矩形49C。中，”为8C的中点，AB=BM=1,将△力8W沿直线4W翻折成力用时（片不在平

面NMCO内），连结科。，N为々。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是.

Bi

®CN//平面AB}M；②存在某个位置，使得CN_L力。：③当三棱锥-AMD的体积最大时，三极锥B「AMD

的外接球的表面积是

18.如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2,则半球的表

面积为.

Q

19.已知球面上有四个点力，B,C,D,球心为点O,。在CO上，若三棱锥4-8CO的体积的最大值为，

则该球O的体积为.

20.圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3,则该圆台的体积为

21.已知三棱锥葭48。中，5aL平面48C,且S4=4,AB=AC=2,4/10=120°,则三棱锥L48C的外

接球的表面积为.

22.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为.

23.已知在四面体48CD中，AB=CD=2V2,AD=AC=BC=BD=y/5,则四面体48CO的外接球表面积

为.

24.已知四面体力3C。的四个顶点都在球。的表面上，力81平面8c。，又48=3,8c=2,57)=4,且

NCBD=60",则球O的体积为

25.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脯.已知在鳖膈中，满足48_L

平面8CO,且有BD工CD"B=BD=2,CD=1,则此时它外接球的体积为.

26.已知5,A,B,。是球O表面上的点，S4上平面4BCMBLBC,SA=4B=l,BC=亚，财球。的表面

积是;

27.一个正四面体表面积为其内切球表面积为S2.则£■=.

28.已知四面体46co中，AB=AD=6,AC=4,CD=2屈,/18_L平面力CQ,则四面体48CO外接球的

表面积为•

29.设体积为8G的正三棱锥月-/AC外接球的球心为O,其中。在三棱锥夕-力8c内部.若球。的半径

为R,且球心。到底面48。的距离为则球。的半径/?=.

30.在边长为6的菱形/出。中，48c=60。，将菱形488沿对角线4c折起成直二面角，则所得三棱

锥D-ABC外接球的表面积等于.

任务二:中立模式（中档）上50题

一、单选题

1.已知球O是正三棱锥小8。（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球,803,48=2方,

点E在线段8。上，旦8ZA38E.过点£作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

A.2TTB.37rC.44D.54

2.在三棱锥尸—中，平面平面力水？，ABA.BC,PA=BC=2,AB=4,的面积为2石，

则三棱锥P-48C的外接球体积为（）

A4乃32乃20石）

D.4e乃

333

3.球。的表面积为324，三棱柱加?。-的顶点在球面上，且三角形/8C是边长为2方的正三角形,

则AB1所在直线与平面BBg所成角的正弦值为（）

A.且B.旦C.迎D.”

147147

4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖晡（bienao）.已知在鳖需M-4次?中，

超_1_平面力8C,M4=X8=8C=4,则该鳖嚅的内切球的表面积为（）

A.（48—32&）万B.（48—16夜）万C.48万D.（2476五）万

5.已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为

（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:27

6.已知三棱锥S-48C的外接球。的表面积为81，S/1=2,S/1J■平面48C,。是以4C为斜边的直角三

角形，点P在球。的表面上运动，则三棱锥PT8C体积的最大值为（）

A1+5/21+\[2

A・-----DR・--------

36

c1+V2n1+V2

912

7.已知A,B,C,。在球。的表面上，△/BC为等边三角形且其面积为迪，4。_1,平面/8。，40=2,

4

则球O的表面积为（）

A.乃B.2乃C.44D.8产

8.在四面体S-48C中，541平面力8。，4BAC=jSB=141»SC=4,S4=2,则该四面体的外接球

6

的表面积是（）

A."B.100乃C.之。fD.20兀

33

9.已知四棱锥P-力8c。，底面48CZ）为矩形，侧面尸CO1平面/8C。，4。=2百，CD=PC=PD=2瓜.

若点"为PC的中点，则下列说法正确的为（）

A.BM±平面PCDD.PAU面MBD

C.四棱锥外接球的表面积为18不D.四棱锥."-48C。的体积为6

10.已知四棱锥P-力灰?。的侧棱均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC,NABC=9（f,AD=26,

32,三棱锥尸-加的体积为印则球。的表面积为（）

11.三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的表面上，且“8C是等边三角形，SA1底面ABC,SA=4,AB=6.

若点。在线段S4上，且4）=3SQ,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为（）

A.3乃B.4乃C.84D.134

12.如图，三棱台/I8C■一力向G中，AB±AC,RC=6,月行i=/iG=4夜，AA\=5五，平面/。。1囱_1_平

面，%C,则该三楼台外接球的体积为（）

AC

500乃400万

A.--------B.100乃C.150乃D.--------

33

13.已知正三棱锥的底面边长为2方,高为G，则三棱锥的内力球的表面积为（）

4

A.4不B.一不C.一冗D.3万

33

14.已知正三棱锥P-ABC的外接球的球心O满足OA+OB+OC=0，则二面角A-PB-C的正弦值为（）

A.-B.包C.巫D.国

6853

15.蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内

实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今口的足球.2006年5月20口，蹴鞠己

作为非物质文化遗产经国务院批准列入第•批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表

面上有四个点S、A、4、C,满足为正三棱锥，加是SC的中点，且力M_LS8,侧棱S/i=l,则

该蹴鞠的表面积为（）

A.3%B.6乃C.12非D.16万

16.如图，在四棱锥中，己知a_L底面力8C。,4且

ZBAD=\20\PA=AB=AD=2t则该四棱锥外接球的表面积为（）

p

D.雪

c.20后兀

3

17.已知球。是止三棱锥（底面为王三角形，顶点在底面的射影为底面中心）4-8。的外接球，8c=3,

”=2方，点E在线段8加上，且BD=3BE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）

A.[肛2乃]B.［町3句C.[2E4句D.[3肛6句

18.已知边长为2行的菱形48CZ）中，4=60。，现沿对角线坑）折起，使得力。=3百，此时点4&C,。在

同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.20万B.24乃C.28〃D.32%

19.正方体力8CQ-4B£"的棱长为2,48,44的中点分别是RQ,直线夕。与正方体的外接球。相交

于M,N两点点G是球O上的动点则aGMN面积的最大值为（）

A石+同R2X/2+A/3R3N/2+X/6NN/62

2224

20.已知四棱锥S-/8CO,S/_L平面4?CZ）,AB工BC,NBCD+ND4B=兀,SA=2,/^C=—，二面角

3

5-8。-力的大小为。.若四面体5-4。。的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

o32

A.味万B.4&C.10乃D.

第H卷（非选择题）

二、填空题

21.已知菱形力8co的边长为26,/BAD=3,若沿对角线8。将△AC。折起，所得的二面角C-BQ-4

为钝二面角，且4，B,C,。四点所在球的表面积为28乃，则四面体力8CQ的体积为.

22.己知三楂锥4—8CO中，4底面8CO,AB=BC=3,ZBDC=\20°,则三棱锥/一8。。外接球的

表面积为.

23.如图，三棱锥尸一月8。的四个顶点都在球。的球面上，PALPC,△ABC是边长为6的正三角形，二面

角户-4。-4的大小为120。，则球。的体积为.

24.已知四面体力8C。中△48。和△台。。是等边三角形，二面角力一4。一。为直二面角.若＜8=4,则四

面体//C。外接球的体积为.

25.已知矩形力8cZ）中，48=2,BC=5E是CO边的中点.现以为折痕将力。E折起，当三楂锥

D-ABE的体积最大时，该三棱椎外接球的体积为.

26.在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面48co为矩

形，AB=4g,BC=4,半圆面力PQ_L底面力8co.经研究发现，当点P在半圆弧力。上（不含4D点）

运动时，四棱锥Q-/AC。的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为一.

B

28.四棱锥4-8CDE的各顶点都在同一球面上，力夕底面8CDE,底面8CQE为梯形，Z5CD=60°,且

AB=CB=BE=ED=2,则此球的体积等于.

29.空间四面体/BC。中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=M，则该四面体的外接球的表面积

为_________

30.在三棱锥尸—44。中，AB=AC=2g，ZZ?JC=120°,PR=PC=2R,PA=2后,则该三棱锥外接

球的半径为.

31.如图，在底面边长为4,高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且

与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为.

32.已知三棱锥。一/80的四个顶点都在球。的表面上，P/_L平面4AC,PA=6,AB-密AC=2,RC=4,

若。为BC的中点，过点力作球。的截面，则截面面枳的最小值是.

33.在三棱锥中，"8C和△尸8c都是边长为2G的正三角形，"=3上.若“为三棱锥尸-力8。

外接球上的动点，则点"到平面距离的最大值为.

34.球O的球面上有四点S、A、8、C,其中。、A、8、C四点共面，A48c是边长为2道的正三角形，

平面SAB1平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为

35.己知球。为三棱锥P-48C外接球，△力8c为边长为1的等边三角形，PA=2,PC=y5，且PAtBC,

则球。的表面积为

36.在正三棱锥S-48C中，M、N分别是棱SC、8c的中点，且力“LWN,若侧棱1=2上，则该正三

棱锥外接球的体积是.

37.在菱形48CO中，ZJ=60,，AB=2,将△48。沿6。折起到△尸4。的位置，若二面角尸-5。-。的

大小为120,，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为.

38.已知长方体力8c中，A'B'=6,BC=I,彳6与平面/CCW所成角的正弦值为立，则

4

该长方体的外接球的表面积为.

39.已知三棱锥S-/BC,S41平面48C,NABC=jSA=3,8c=1,直线S8和平面48C所成的角大

6

小为2.若三棱锥S-/也c的四个顶点都在同一球面，，则该球的表面积为.

27r

40.在四棱锥尸一49CO中，若PA=AB=AD=亚，/BCD=2NPAB=2NPAD=2NBAD=三,四棱锥

P-ABCD外接球表面积为.

任务三:邪恶模式（困难）1-20题

一、单选题

1.三知点A、A、C、O都在球。的球面上，=△8CO是：a长为1的等边三角形，力。与平面8C。所

成角的正弦值为逅，若力力=2,则球。的表面积为（）

3

A.乃B.4乃C.8万D.16〃

2.在三棱锥S-48c中，NSAC=/SBC=J,ZACB=—tAC=4C=1.若三棱锥S-48c的体积为1,

23

则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.13笈B.卫工C.49乃D.52%

3

3.已知四棱锥4—8COE中，侧的48C_L底面8CQE,BC//DE,RAB=AC=BC=CD=BE=-DE=2,

2

则此四棱锥外接球的表面积等于（）

327r407r124兀52兀

A.——B.——C.-------D.——

4.己知直四棱柱48CO-4坊CQ,其底面48co是平行四边形，外接球体积为36乃，若4cJBD,则其

外接球被平面力用Q截得图形面积的最小值为（）

A.8乃B.------7TC.—兀D.6兀

1010

5.已知边长为2G的菱形力BCO,4=60°，沿对角线4。把△力8。折起，二面角4-8。-。的平面角是120",

则三棱锥力-8。的外接球的表面积是（）

A.20乃B.28乃C.364D.547r

6.在三楂锥P-4?C中，AB=AC=2g，ZBAC=120^PB=PC=276,PA=2亚,则该三棱锥的外

接球的表面枳为（）

A.40乃B.20乃C.80乃D.60乃

7.在菱形45CO中，力=5,力8=4百，将△48。沿8。折起到△尸6。的位置，二面角P-8D-C的大小

为半，则三棱锥尸-AC。的外接球的表面积为（）

A.2&B.2出兀C.727rD.112不

8.已知三棱锥的四个顶点在球。的球面上，21_L平面4?C,PA=AB=BC=2,PA与平面。力C

所成的角为30。，则球。的表面积为（）

A.6兀B.12乃C.16万D.43乃

9.已知三棱锥Z)-48c中，O/_L平面49C,AB=AD=2,BC=&C，则三楂锥。-48。体积最大时,

其外接球的体积为（）

A20五兀D64及不4x/5n20后兀

33—

10.已知球O内接正四面体尸-48C,E为棱产力的中点，尸是棱尸8上的一点，且产。=2所，则球。与四

面体尸-EFC的体积比为（）

A.54百笈B.27百笈C.18X/LTD.9月乃

第H卷（非选择题）

二、填空题

11.在梯形力8C。中，/4BC=/BAD=90'，44=8。=?力。=I,M为4C的中点，将△力台。沿直线力。

2

翻折成V48C，当三棱锥用-力。。的体积最大时，过点〃的平面截三棱锥4-4。力的外接球所得截面面

积的最小值为.

12.已知在平面四边形/J8CEH，，AB=AD=2,=（JD=HD=2>A，将△力6。沿对角线BD折起，使点

A到达点H的位置，当©C=J历时，三棱锥4-8CQ的外接球的体积为.

B已知球。的表面积为3点48C。均在球。的表面上，且4圆号则四面体相。体

积的最大值为.

14.体积为8的四棱锥P-48CQ的底面是边长为2及的正方形，底面力8CO的中心为0,四棱锥P-48CQ

的外接球球心。到底面ABCD的距离为1,则点P的轨迹长度为.

15.在棱长为4的正方体力8。-48cA中，E,尸分别为44,BC的中点，点〃在棱片£上，=!用4，

若平面FEW交44于点N,四棱锥N-8。。4的五个顶点都在球。的球面上，则球0半径为

16.在四面体/出CQ中，AB=AC=BC=AD=CD=2,二面角8-力。一。为120。，则四面体N5C。的外接

球的表面积为.

17.已知在圆柱。02内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线。。2的平面截圆柱得到四

边彩4BCD,其面积为8.若P为圆柱底面圆弧①的中点，则平面产48与球。的交线长为.

18.在四棱锥~-45。。中，2i_L平面A8CD,底面488是直角梯形，AB"CD,AB1AD,

CD=AD=6AB=2,若动点。在平面阳。内运动，使得NC。。与/8。力相等，则三棱锥Q-ACD的体

积最大时的外接球的体积为.

19.已知菱形48co中，对角线6。=2百，将△490沿着8。折叠，使得二面角力一8。-。为120。，

AC=36，则三棱锥力-8CO的外接球的表面积为.

20.球。的内接正四面体/-8CO中，P、Q分别为被AC、A。上的点，过PQ作平面a,使得八8、CD与a

平行，且人8、CD到0的距离分另!为1,2,则球。被平面a所截得的圆的面积是.

专题17立体几何外接球与内切球必刷100题

任务一:善良模式（基础）1-30题

一、单选题

1.已知正四棱锥P-48。的所有顶点都在球。的球面上，且正四棱锥P-48c。的底面面

积为6,侧面积为6不，则球。的体积为（）

△32285/7125125"

A.—nB.----JiCr.---兀D.-----Ji

3344

【答案】A

【分析】

根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积

【详解】

设底面边长为。，侧棱长为人

因为底面面积为6,所以/=6,得4=迷，

因为侧面积为6/，

所以4x；xj1倍、xA=6币，解得b=2百,

连接4cBD交于点Q,连接尸Q,则可得尸。JL平面ABCD,,

所以四棱锥P-ABCD的高PO.=J12-3=3,

点。在PQ上,连接。4,设球的半径为R,则

/?2=（3-/?）2+（V3）2,解得R=2,

AA%）

所以球。的体积为:不朋=；"X23=¥7r,

333

故选：A

B

2.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈，若三棱锥P-48。为鳖

腌，"_1平面川?。，PA=BC=4,4?=3,AB1BC,若三棱锥P—48C的所有顶点都

在球。上，则球。的半径为（）

333

B.-c.D*2

Ag48

【答案】A

【分析】

将鳖膈补形为长方体，求出长方体的外接球的半径即可.

【详解】

由题意，将鳖膈补形为长方体如图，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球.

外接球的半径为

R=-PC=-X/42+32+42=L标

222

故选：A

3.已知\ABC是以8c为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC1平面ABC,

BC=3,PB=26,PC=M,则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

A.10^B.叵C.D.巫

333

【答案】D

【分析】

由△/8C为直角三角形，可知4。中点M为“8c外接圆的圆心，又平面尸8C_L平面川?C,

所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为APBC的外心.利用正余弦定理求出

△PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体枳.

【详解】

解：取中点过点M做直线/垂直8C,因为“8。为直角三角形，所以点"为"8C

外接圆的圆心，又平面P8C_L平面76C,所以/u平面76C,根据球的性质，球心一定在

垂线/上，且球心为△P8C的外心.

在DD厂由PB?+BC2-PC241

仕△产8c中，cosZ.PBC=---------------=——，

2PBBC2

r~

所以sin/P8C=L，则AP8C外接圆的半径为于屹一行一

2—

2

印外接球的半径为业■，所以体枳为p=W22.

23

故选：D

4.三棱锥4—8CQ中，NABC=NCBD=NDBA=60。,BC=BD=\,△4C。的面积为业

则此三棱锥外接球的表面积为（)

16

A.4冗B.16乃C.一乃D.g

33

【答案】A

【分析】

利用三角形全等和三角形的面积公式求出高ZE,求解直角三角形得4c,力。，利用余弦定

理得出乙!C6=N/lQ8=9（r，可得力〃为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.

【详解】

:BC=BD=1,ZCBD=60°,：.CD=\,

又AB=AB,像BC=DBA=60\BC=BD,ABCABD,则4c=40,

取CZ）中点K,连接4E,

又由的面积为巫，可得ZUC。的高力£=叁1,

42

则可得力。=%。=

在A/BC中，由余弦定理4。2=482+8。2-2485C-COS601，

:.3=AB:+l-2xJZ?xlxl,解得*8=2,

2

则AC2+BC2=AB2，可得NACB=90，NADB=90°，

:.AC1BC,AD1BD,

根据球的性质可得力4为三棱锥外接球的直径，则半径为1，

故外接球的表面积为4/TX12=4乃.

故选：A.

A

5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈(bien^o).已知在

鳖牌M-44C中，平面力8C,M4=44=3C=4,则该鳖搞的外接球的表面积为

()

A.12”B.24乃C.48乃D.96乃

【答案】C

【分析】

将问题转化为棱长为4的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长

一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.

【详解】

如图所示，鳖瞄的外接球即为棱长为4的正方体的外接球，

•・・该鳖膈的外接球半径K=；"+4?+42=2行,

该外接球表面积S=4TTR2=48万.

故选：C.

6.已知三棱锥中，AB=BC=AC=2fCD=BD=6,8c的中点为E,0七的

中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为()

142515

A.C.D.

1577TT

【答案】D

【分析】

如图，设点力在面BCD上的射影为点R根据题意和勾股定理求出8足AF,

设球心到平面AC。的距离为爪利用勾股定理求出爪进而可得出结果.

【详解】

由题意知，如图，△8CO为等腰更角三角形，£是外接圆的圆心,

设点/在面BCD上的射影为点F,则点/为。E的中点,

所以8卜"Bd+Ed

所以AF=dAB，-BF?

设球心到平面BCD的距阳为h,由BO=AO,在RABOE和R/△力0M中,

可得］+力2」+（姮一万）2,解得/?二冬叵，所以产=1+方2=3

42IIH

故选：D

7.如图，把两个完全相同的直三角尺S8C,S4C斜边重合，沿其斜边SC折叠形成一个120。

的二面角，其中S/i=S8=2,且48=6,则空间四边形S45C外接球的表面积为（）

16乃20万

A.4%B.C.3乃D.

33

【答案】B

【分析】

过点8作8O_LSC于。，连接。力，证得N8D4为二面角3—SC—力的平面角，进而求出SC

的长度，然后取SC的中点O,证得O为空间四边形S43C外接球的球心，从而可知SC为球

直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.

【详解】

过点8作8。_LSC于。，连接IM,由于RZBC和Rt/\SAC全等，所以ADISC,AD=BD,

所以/8D4为二面角8-SC-/1的平面角，即N8D4=120‘，在△49。中，结合余弦定理得

AB-=BD2+AD2-2BD-ADCOSABDA，即3=8。?+8加-28。・8。•1,因此3=3BD?，

因为8。>0,所以87)=1,

在RtASBD中,sin/8SZ)=],从而N8SO=1,在^aSBC中，cosZBSD=—=—>

262SC

又因为34=2,所以SC=±Y5,取SC的中点。，连接。8,04,由于SC是氏△S4C和

3

次△WC的斜边，所以O8=6M=OS=OC,故O为空间四边形S49C外接球的球心，SC为

球直径，所以空间四边形S/18C外接球的半径为毡，所以空间四边形外接球的表面

2x/316%

积为4;rx

故选：B.

8.已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球。的表面

积为28〃，则该三棱柱的体积为()

A.6B.18C.12gD.16x/3

【答案】B

【分析】

根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出

方程，解之即可求出结果.

【详解】

设球。的半径为，则4乃『=28乃，则尸=行，

设三棱柱ABC-A^C.的棱长为。,

连接的外心Q，3，则QG的中点。即为球心，

B

且0。—a,00.=-,

’3■2

则1=r2.则a=2百.

V=^-a'xa=^-a3=18-

44

故选：B.

9.已知边长为2的等边三角形48C,。为8c的中点，以力。为折痕进行折叠，使折后的

^BDC=1,则过A,B,C,。四点的球的表面积为（）

A.3万B.4乃C.5〃D.67r

【答案】C

【分析】

首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.

【详解】

边长为2的等边三角形加C,。为8c的中点，以力。为折痕进行折叠，使折后的4Q。=£,

2

构成以。为顶点的二棱锥，且二条侧棱互相垂直，可构造以其为K宽高的反方体，其对角

线即为球的直径，三条棱长分别为1,1,石，所以2R=7F7币*=6,球面积

S=4元（^~）2=5乃,

故选:D.

10.已知正四面体48CZ）的表面积为2百，且A、B、C,。四点都在球。的球面上，则

球。的体积为（）

A.26兀B.—7TC.—7tD.加

42

【答案】C

【分析】

由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设止四面体的棱长为。，则

根据正四面体458的表面积即可得出。=应,从而得出对应的正方体的