微积分期末复习题

掌握等价(高阶，低阶，同阶)无穷小的概念和判别

1.x->0时，与sin2x等价的无穷小量是_____。

A.ln(l+x)B.-^tan2.rC.2(1-cosx)D.ex-1

J

2.若x->0时，2sin.r-sin2x-X3则k=«

A.1B.2C.3D.4

3.当xfO时，与x等价的无穷小量是。

A.jrsinxB.Y+sinxC.tan>/xD.2x

4.当x->0时，/?=x2+5皿2*与。=》的关系是______o

A.夕与a是同阶但不等价无力小量B.夕与a是等价的无穷小量

C.夕是比a较高阶的无穷小量D.夕是比a较低价的无穷小量

5.当x->0时，21n(l+五)五是x的无穷小量。

求极限的一般方法：

(1)利用极限的四则运算法则(注意前提条件)_及■复令函数的运兜法则-(-相等丁变量替

(2)利用无穷小的运算法则(无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小)；利用无穷小与无穷

大的关系：

limfl1>1=e

(3)利用两个重要极限；x"

(4)_利用夹逼定理，利用单调在界布则：

：带格式的：字体一色：红色

品利用等价无穷小代换；(当x->0时，l-cosx:+，(l+x)"-1:ax

42

x-sinx-arcsin.v-lanx:arctanx:Inil+x):1)

(注意什么时候能等价无穷小代换)

@单边极“3制效法于lim/(.v)=Aolini/(A)-limf(x)=A—

A%

(85)洛比达法则(9,阴且1im£广义存在)

0oog1

求未定式2巴.0。,8-8的极限

000

求吊指函数小的极限的方法：（1）若为「型，可利用第二个重要极限或者求=

则（2]通用的方法:恒等变形“丫=右加"

掌握lim匹旦的计算（关键看分子分母的最百次塞和最高次事前的系数）

5q（x）

6.设函数="N3,已知存在，则,=______

[a+xx<3e

7.设函数/（幻=凶，则lim/（x）______。（若改/“）=封=二呢）

x…x

A.-1B.0C.1D.不存在

8.若1加工+产_”=2,则°=.

IA-I

A.等于2B.等于3C.可取任意整数D.不能判断

-sin-——--sin.rj^nlim.11.

9.求极限iimAxsin-----sinx

人TOA-x

10.求极限limxi（或形式为lin?法）

sin3x-5x

11.求极限lini

ln(l+5x)

12.求极限Iim

13.求极限求极限lim:—nx

『（e-1）

14.求极限Iim®」（方法：根式有理化，变量替换，罗比达法则）

Ix-I

3

X~

icInn-----

o+2r

16设』f8时，无穷小量一7——J-----------'----,求a,b,c,d

ax+x-+x+bcx+dx+\

函数的连续：若lim/（x）=/（%）,则称函数〃x）在点小处连续.

掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类（补充函数在可去间断点的足义使之连续）

（找法：无定义的点，极限不存在的点，极限值与函数值不等的点）

（分类：左右极限都存在的为第一类一一可去间断点，跳跃间断点，否则为第二类一-无穷间

断点，震荡间断点）

（可去间断点可修改或补充函数在间断点小的函数值为/（x0）=lim/（x）使之连续）

kx=0

17.函数/（灯=卜］（1+工）中，若在x=0处连续，常数n_________-

.situ

18.设/（x）=卜侬*在x=0处连续，则人=_______.

''［Ax<0

19.设/*）=〃当xxM,则为f⑶的一间断点。

0当x=Ol时

讨论函数/（x）=当xX）时在此点的左右连续性。

o当xwon寸

函数小）=舟'

20.点X=-1是f（x）的____间断点:点％=0是/5)间断点，点

x=l是/*）的间断点。

21.函数/（幻=。3的可去间断点为一，要使函数在此点连续，则需补充定义

x-1

/（!）=_____。

初等函数在定义区间上都是连续的

困区间上连续困数的性质：函数/（x）在闭区间［4句上连续，贝h（1）/（x）在句上有界；

（2）f（x）在［a.例上取到最大值和最小值（最值定理）；（3）若/（a）•/（A）v0,则存在

&e（a,b）,使得/Q）=O（零点定理）。（可证明方程有根）

第二三章导数及其应用（也包含简单的抽象函数的导数计算）

导数的四则运算

复合函数的导数（由外到内，逐层求导）

隐函数的导数（方程两边分别对变量x求导，整理得y',注意碰到），的时候把）看作x的函数）

（注意：y'中可能含有y,若求y'k与怎么弋值）

对数求导法（针对于某指函数的导数和多个因式连乘，除，开方这样的函数的导数）（做法：

先取对数，再按照隐函数的导数做）

由

力力

区=加

-力

阶导数

的2

函数

会求

r

=），〃

法dy

的求

微分

件和

要条

的充

可微

数

高阶导

函数的

特殊

第二章

分。

与微

导数

1］，的

28悟

求），=

1.

x

，

，小

山

分及

和微

导数

（1）的

），=/

函数

的隐

确定

6=0所

+%），-

方程，

求由

2.

1

-x=

=1

dxx

。

数也

的导

f（x）

数y=

隐函

定的

所确

e-2

+y+

*=x

方程

求由

3.

dx

相同）

的方法

此题

法与

数求

的导

函数

（露指

数。

的导

）

卜T

+*

（2x

数y=

求函

4.

）

）（A-4

V（X-3

dv

小、▼

z

cos,l

x=a

丝O

丝•和

，求

dx«_

（b:

int

y=Os

{

t=

求一

nx\

=si

设y

6.

dx'

。

______

），'

%求

e'/

设k

7.

呢

）"”

（sinx

y=/

。若改

微分

-）的

，=/（

函数）

微，求

设了可

8.

点定理

意与零

根，注

程有

明方

可证

定理

（罗尔

求法

J的

用，

其应

论及

件，结

的条

定理

中值

三个

别）

的区

观

，再

左边

号的

到等

都挪

有项

含J所

推，把

果逆

从结

题，

值问

明中

以证