苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式复习 学案 含答案

第十一章二次根式（复习讲义）1.理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式有意义的字母取值范围；2.掌握二次根式的性质，理解最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数/因式），能利用二次根式的性质熟练化简二次根式，会进行分母有理化。3.理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法则，能正确进行加减运算。掌握二次根式乘、除运算法则，能进行乘除运算及混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算，保证运算准确、规范。知识点重点归纳常见易错点二次根式的概念1.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a可以是一个数,也可以是一个代数式.当a是一个非负数时,a表示a的算术平方根.2.（1）二次根式有意义条件：当时，有意义；（2）二次根式值为0条件：当时，的值为0.一个式子要成为二次根式要满足两个条件，一是含有二次根号，二是根号下的被开方数要是非负数，即。所以要注明，才能说是一个二次根式。不过在课本上或者练习中一般默认被开方数是非负的，通常都会省略掉这个注明。二次根式的性质1.二次根式性质1：2.二次根式性质2：3.二次根式性质3：4.二次根式性质4：.二次根式的性质1与性质2非常容易混淆，这两个性质有三点不同，一是运算顺序不同；二是运算结果不同；三是条件不同，即a的取值范围不同，要注意区分，这是一个常考易错的问题。二次根式的运算1.二次根式的乘法：2.二次根式的除法：3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式.二次根式的运算的依据是运算的性质，运算的法则，运算律，还有乘法公式，灵活使用运算律和性质和公式，可以大大简化运算难度，提高正确率。二次根式的分母有理化当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母.当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号。上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化.二次根式化简的结果通常要满足以下几个要求：（1）根号下不能含有能开的尽方的数或式子；（2）根号下不能含有分数或分式；（3）如果结果中含有分母，分母中不能有根号。二次根式的运算和化简问题一定要注意检查。题型一题型一二次根式的识别【例1】下列是二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】下列式子一定是二次根式的为（

）A． B． C． D．题型二题型二二次根式有意义的条件【例2】二次根式中字母a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-1】二次根式中字母x的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-2】要使二次根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三题型三利用二次根式性质化简【例3】（

）A． B． C．3 D．【变式3-1】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A． B． C． D．【变式3-2】下列各式计算错误的是（

）A． B． C． D．题型四题型四求二次根式中的参数【例4】已知是整数，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【变式4-1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（）A．0 B．3 C． D．【变式4-2】已知是正整数，则整数的最大值为（

）A．2025 B．2024 C．2 D．1题型五题型五最简二次根式的概念与判断【例5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式5-1】下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．题型六题型六根据最简二次根式求参数【例6】若是最简二次根式，则的值可以是（

）A．6 B． C．2 D．0.5【变式6-1】若最简二次根式能与合并，则a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【变式6-2】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（

）A．1 B． C． D．5题型七题型七二次根式的乘除运算【例7】计算：(1)； (2)．【变式7-1】计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【变式7-2】计算：(1)； (2)；(3)； (4)．题型八题型八二次根式的分母有理化【例8】将分母有理化的结果为（

）A． B． C． D．【变式8-1】计算的结果为（

）A． B． C． D．【变式8-2】下列分母有理化过程正确的是（

）A． B． C． D．题型九题型九同类二次根式【例9】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式9-1】若与最简二次根式可以合并，则（

）A．24 B．25 C．7 D．6【变式9-2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与题型十题型十二次根式的加减运算【例10】计算(1)； (2)．【变式10-1】计算：(1)； (2)．【变式10-2】计算：(1)； (2)．题型十一二次根式的加减乘除混合运算题型十一二次根式的加减乘除混合运算【例11】计算：(1) (2)【变式11-1】计算：(1)； (2)．【变式11-2】计算：(1)； (2)．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题1．下列式子一定是二次根式的为（

）A． B． C． D．2．当时，二次根式的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．若代数式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．对于式子，计算结果正确的是（

）A．5 B． C．25 D．5．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．6．下列选项中，运算正确的是（

）A． B．C． D．7．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（

）A． B． C． D．8．下列各式正确的是（

）A． B． C． D．9．估计的值应在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间10．已知，，则的值（

）A．4 B．8 C．6 D．二、填空题11．若，则的值是______．12．计算：___________．13．计算的结果是________．14．若与最简二次根式能合并，则的值为________．15．已知，，则的值为______．16．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________三、解答题17．计算：(1)； (2)．18．计算：(1) (2)19．已知，．求：(1)的值；(2)求的值．20．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．∵，，，∴．素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴．根据以上素材，解决下面问题：(1)比较大小：______8；(2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法：①从“数”的角度：利用平方法，证明“”；②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题1．下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（

）A． B． C． D．4．若，则代数式的值是（

）A．2019 B．2025 C．2026 D．20335．下列根式中是最简二次根式的为（）A． B． C． D．6．下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．7．估算的结果（

）A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间8．比较大小：，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（

）A． B． C．2 D．10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（

）A．30 B．40 C．50 D．60二、填空题11．若有意义，则_____．12．化简：____．13．计算：______．14．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______．15．已知，代数式的值是_____．16．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______．三、解答题17．计算：(1)； (2)．18．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：，．，即．．．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：(1)计算：；(2)计算：；(3)若，求的值．19．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：，…计算：(2)观察归纳，写出结论（且n为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，计算的值．20．先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里，，由于，，即，，所以．请根据材料解答下列问题：(1)填空：；(2)填空：；(3)化简：．

第十一章二次根式（复习讲义）1.理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式有意义的字母取值范围；2.掌握二次根式的性质，理解最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数/因式），能利用二次根式的性质熟练化简二次根式，会进行分母有理化。3.理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法则，能正确进行加减运算。掌握二次根式乘、除运算法则，能进行乘除运算及混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算，保证运算准确、规范。知识点重点归纳常见易错点二次根式的概念1.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a可以是一个数,也可以是一个代数式.当a是一个非负数时,a表示a的算术平方根.2.（1）二次根式有意义条件：当时，有意义；（2）二次根式值为0条件：当时，的值为0.一个式子要成为二次根式要满足两个条件，一是含有二次根号，二是根号下的被开方数要是非负数，即。所以要注明，才能说是一个二次根式。不过在课本上或者练习中一般默认被开方数是非负的，通常都会省略掉这个注明。二次根式的性质1.二次根式性质1：2.二次根式性质2：3.二次根式性质3：4.二次根式性质4：.二次根式的性质1与性质2非常容易混淆，这两个性质有三点不同，一是运算顺序不同；二是运算结果不同；三是条件不同，即a的取值范围不同，要注意区分，这是一个常考易错的问题。二次根式的运算1.二次根式的乘法：2.二次根式的除法：3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式.二次根式的运算的依据是运算的性质，运算的法则，运算律，还有乘法公式，灵活使用运算律和性质和公式，可以大大简化运算难度，提高正确率。二次根式的分母有理化当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母.当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号。上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化.二次根式化简的结果通常要满足以下几个要求：（1）根号下不能含有能开的尽方的数或式子；（2）根号下不能含有分数或分式；（3）如果结果中含有分母，分母中不能有根号。二次根式的运算和化简问题一定要注意检查。题型题型一二次根式的识别【例1】下列是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果．【详解】解：∵选项A中被开方数，∴不是二次根式；∵选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴不一定是二次根式；∵，∴，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴选项C是二次根式；∵选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式．【变式1-1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可．【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式；∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式；∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；综上，符合条件的二次根式共3个．【变式1-2】下列式子一定是二次根式的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可．【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确．题型二题型二二次根式有意义的条件【例2】二次根式中字母a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义，∴，解得．【变式2-1】二次根式中字母x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得．【变式2-2】要使二次根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴被开方数满足，解不等式，即．题型三题型三利用二次根式性质化简【例3】（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的定义化简即可．【详解】解：∵，∴，又∵二次根式表示的算术平方根，结果为非负数，，∴．【变式3-1】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由数轴知：，∴．【变式3-2】下列各式计算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A．∵，∴，计算正确．B．，计算错误．C．根据二次根式性质，得，计算正确．D．，计算正确．题型四题型四求二次根式中的参数【例4】已知是整数，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了求二次根式中的参数．根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为．【详解】解：∵是整数，∴是平方数，∴，∴，∴实数n最大值为，故选：A．【变式4-1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（）A．0 B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意；B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意；C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【变式4-2】已知是正整数，则整数的最大值为（

）A．2025 B．2024 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数．【详解】解：要使是正整数，即当时，．故整数的最大值为2024．故选：B．题型五题型五最简二次根式的概念与判断【例5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A选项：=，被开方数含分母，不是最简二次根式，B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式，D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式．【变式5-1】下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可．【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意；B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意；C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意；D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意；故选：D．【变式5-2】下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．，故不是最简二次根式；

B．，故不是最简二次根式；

C．，故不是最简二次根式；D．是最简二次根式．．题型六题型六根据最简二次根式求参数【例6】若是最简二次根式，则的值可以是（

）A．6 B． C．2 D．0.5【答案】C【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式．【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意；B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意；C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意；D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意．【变式6-1】若最简二次根式能与合并，则a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解．【详解】解：，∵最简二次根式能与合并，∴．【变式6-2】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（

）A．1 B． C． D．5【答案】A【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键．由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：∵，且与是同类二次根式，∴化简后被开方数也为，又∵是最简二次根式，∴，解得：.故选：A．题型七题型七二次根式的乘除运算【例7】计算：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可；（）利用平方差公式即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式7-1】计算：(1)； (2)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式．（2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果．（3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简．（4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．(3)； (4)．【变式7-2】计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)(2)15(3)1(4)【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可；（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可；（3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可；（4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．题型八题型八二次根式的分母有理化【例8】将分母有理化的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：对进行分母有理化，需给分子分母同乘，．【变式8-1】计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果．【详解】解：原式．【变式8-2】下列分母有理化过程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的二次根式，去掉分母中的根号，即可判断正误．【详解】解：A选项：，该选项不符合题意；B选项：，该选项符合题意；C选项：，该选项不符合题意；D选项：，该选项不符合题意．题型九题型九同类二次根式【例9】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，观察选项，只有的被开方数为，故选：B．【变式9-1】若与最简二次根式可以合并，则（

）A．24 B．25 C．7 D．6【答案】C【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可．【详解】解：，又与最简二次根式可以合并，二者是同类二次根式，化简后被开方数相等，得，解得．【变式9-2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误；，则与不是同类二次根式，故B错误；，则与是同类二次根式，故C正确；，则与不是同类二次根式，故D错误．题型十题型十二次根式的加减运算【例10】计算(1)； (2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．【变式10-1】计算：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式10-2】计算：(1)； (2)．【答案】(1)4(2)【详解】（1）解：原式；（2）解：原式.题型十一二次根式的加减乘除混合运算题型十一二次根式的加减乘除混合运算【例11】计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类二次根式即可；（2）结合平方差公式、完全平方公式展开计算，最后进行加减计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式11-1】计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)2【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式11-2】计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】根据二次根式的混合运算法则分别计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题1．下列式子一定是二次根式的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可．【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误；D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确．2．当时，二次根式的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．【详解】当时，，故选：C．3．若代数式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵代数式有意义，∴，解得．4．对于式子，计算结果正确的是（

）A．5 B． C．25 D．【答案】A【详解】解：．5．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算性质逐项计算判断即可．【详解】解：A、，该选项不符合题意；B、，该选项符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，该选项不符合题意．6．下列选项中，运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则，分别计算各选项即可得到正确结果．【详解】解：选项A：∵，∴选项A错误．选项B：∵，∴选项B错误．选项C：∵，∴选项C错误．选项D：∵，∴选项D正确，符合题意．7．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可.【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式，∴，解得：.8．下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可．【详解】解：A、∵，∴，选项错误，不符合题意；B、∵，∴,∴，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、∵，∴，∴，∴，选项正确，符合题意；故选：D．9．估计的值应在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【答案】C【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后结果的大小范围，即可得到答案．【详解】解：，，，，，在2和3之间．即的值应在2和3之间．10．已知，，则的值（

）A．4 B．8 C．6 D．【答案】B【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴．二、填空题11．若，则的值是______．【答案】5【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可．【详解】解：∵式子有意义，∴，解得，∴，∴．12．计算：___________．【答案】【详解】解：原式．13．计算的结果是________．【答案】【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解．【详解】解：．14．若与最简二次根式能合并，则的值为________．【答案】1【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果．【详解】解：，∴被开方数为2，∵与最简二次根式能合并，又∵是最简二次根式，∴的被开方数与2相同，即，解得，故答案为：1．15．已知，，则的值为______．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案．【详解】解：∵，，∴∴，故答案为：．16．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________【答案】【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可．【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为，设，∴，∵，∴，解得：，即．三、解答题17．计算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．18．计算：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．19．已知，．求：(1)的值；(2)求的值．【答案】(1)8(2)20【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）将、的值代入所求代数式计算即可得解；（2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．20．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．∵，，，∴．素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴．根据以上素材，解决下面问题：(1)比较大小：______8；(2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法：①从“数”的角度：利用平方法，证明“”；②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”．【答案】(1)＞；(2)①见解析；②见解析．【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．（1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可；（2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可．【详解】（1）解：∵，∴．故答案为：>．（2）解：①证明：∵，，而，∴，∴．②如图，，，．∵，∴．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题1．下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；D．是二次根式，故本选项符合题意．故选：D．2．已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数需满足，又∵2025是正数，不等号两边同除以正数，不等号方向不变，∴可得．3．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号．由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可．【详解】解：由数轴可得∴，故选：C．4．若，则代数式的值是（

）A．2019 B．2025 C．2026 D．2033【答案】A【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质．由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．5．下列根式中是最简二次根式的为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐项分析判断即可．【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，A、，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式，不符合题意；B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、的被开方数10不含分母，且10分解为，无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意．故选：D．6．下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可．【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式．∴对各选项化简：A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式．B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式．C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式．D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式．故选：B．7．估算的结果（

）A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间【答案】D【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴的结果在和之间．故选：D．8．比较大小：，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．【详解】解：，，，∵，∴；故选D．9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可．【详解】解：输入，第一步运算：，，，选择“是”的分支进行运算，输出值为：．10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（

）A．30 B．40 C