2026年苏教版高三数学第4单元概率统计与数学建模测试卷及答案

2026年苏教版高三数学第4单元概率统计与数学建模测试卷及答案第1页共1页2026年苏教版高三数学第4单元概率统计与数学建模测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某气象站记录了某地区一周内每天的最高气温（单位：℃）数据如下：35，38，36，40，39，37，41。则这组数据的中位数是（）A.36B.37C.38D.39参考答案：B2.在一个盒子里有5个红球和4个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，记下颜色后放回，再随机抽取一个球。则两次都抽到红球的概率是（）A.5/9B.20/81C.5/18D.25/81参考答案：A3.某工厂生产一种产品，已知该产品的次品率为10%。现从中随机抽取3件产品，则恰好有1件次品的概率是（）A.0.1B.0.3C.0.28D.0.7参考答案：C4.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A和事件B相互独立。则事件A和事件B同时发生的概率是（）A.0.42B.0.1C.0.9D.0.28参考答案：A5.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的3名学生都是男生的概率是（）A.3/50B.1/125C.3/125D.27/125参考答案：D6.已知一组数据：2，4，6，8，x，y，其平均数为5，中位数为6。则x和y的值分别是（）A.4，8B.5，7C.3，9D.2，10参考答案：B7.某射手每次射击命中目标的概率为0.8。他连续射击3次，则至少命中2次的概率是（）A.0.128B.0.8C.0.512D.0.384参考答案：C8.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6，且事件A和事件B互斥。则事件A或事件B发生的概率是（）A.0.1B.0.7C.0.9D.0.3参考答案：B9.某城市公交公司运营两条线路，线路1每天早上6点至晚上10点，每30分钟一班；线路2每天早上7点至晚上11点，每40分钟一班。则某时刻在两条线路同时发车的概率是（）A.1/120B.1/24C.1/12D.1/8参考答案：A10.已知一组数据：3，6，9，12，15，其方差为45。则这组数据的标准差是（）A.3B.5C.9D.15参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：02.某气象站记录了某地区一周内每天的最高气温（单位：℃）数据如下：30,32,35,33,31,34,36。这组数据的中位数是______。参考答案：333.在一个盒子里有5个红球和4个白球，它们除了颜色外完全相同。从盒子里随机抽取一个球，抽到红球的概率是______。参考答案：5/94.某工厂生产一种产品，已知该产品的次品率为10%。现从中随机抽取3件产品，则至少有1件是次品的概率是______。参考答案：0.2845.已知一组数据：2，4，6，8，x，y，其平均数为5，中位数为6，则x和y的值分别是______和______。参考答案：3,76.函数f(x)=sin(x+π/3)的周期是______。参考答案：2π7.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_5的值是______。参考答案：98.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是______。参考答案：(2,1)9.函数g(x)=1/(x-1)在区间(2,+∞)上是______函数。参考答案：递减10.若向量u=(3,-2)与向量v=(1,k)垂直，则k的值是______。参考答案：6三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A的概率为P(A)=0.6，则事件A的对立事件B的概率P(B)一定等于0.4。参考答案：×2.在一组样本数据中，中位数一定小于平均数。参考答案：×3.用样本频率估计总体分布时，样本容量越大，估计越精确。参考答案：√4.若两个随机变量X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。参考答案：√5.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，模型的拟合效果越好。参考答案：√6.某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=10，σ=0.5，则尺寸大于10.5的概率等于尺寸小于9.5的概率。参考答案：√7.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。参考答案：√8.在一次随机抽样调查中，样本容量为100，样本中某特征的频率为30%，则该特征在总体中的概率一定在25%到35%之间。参考答案：×9.用最小二乘法拟合线性回归方程时，回归直线一定经过样本点的中心(平均x,平均y)。参考答案：√10.若一组数据的标准差为0，则这组数据中的所有数据都相等。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.某气象站记录了某地区一周内每天的最高气温（单位：℃）和降雨量（单位：毫米），数据如下表所示：|天数|最高气温|降雨量||||||周一|25|0||周二|28|5||周三|30|10||周四|27|8||周五|26|3||周六|29|0||周日|31|15|（1）求这周每天最高气温的平均数和方差；（2）求这周每天降雨量的中位数和众数。参考答案：（1）平均数27℃，方差9℃²；（2）中位数5毫米，众数0毫米2.某工厂生产一种零件，其长度（单位：毫米）服从正态分布N(μ,σ²)，已知该零件长度的平均数为50毫米，标准差为2毫米。（1）求该零件长度小于48毫米的概率；（2）如果规定零件长度在46毫米到54毫米之间为合格品，求该零件是合格品的概率。参考答案：（1）0.0228；（2）0.95443.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下表所示：|阅读时间（小时/天）|0-1|1-2|2-3|3-4|4-5|||||||||人数|20|30|25|15|10|（1）求这100名学生课外阅读时间的样本频率分布表；（2）用样本频率估计总体分布，估计该校学生课外阅读时间超过2小时/天的概率。参考答案：（1）样本频率分布表见下表；（2）0.54.某城市为了缓解交通压力，对市民出行方式进行了调查。调查发现，市民出行方式有步行、自行车、公交车和私家车四种，各种方式的频率分别为20%、25%、30%和25%。现随机抽取一名市民，求该市民出行方式为非公交的概率。参考答案：0.755.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，求该射手射击5次恰好命中3次的概率。参考答案：0.20486.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生参加比赛，求选出的3名学生都是男生的概率。参考答案：0.3247.某产品出厂时需要经过两道工序检验，第一道工序检验合格的概率为0.95，第二道工序检验合格的概率为0.90，两道工序检验是否合格相互独立。求该产品出厂合格的概率。参考答案：0.9658.某小组有6名男生和4名女生，现要随机选出3名学生参加活动，求选出的3名学生中至少有2名男生的概率。参考答案：0.648五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某气象站记录了某地区一周内每天的最高气温（单位：℃）和降雨量（单位：毫米），数据如下表所示：|星期|最高气温|降雨量||||||一|28|0||二|30|5||三|25|10||四|27|15||五|29|5||六|31|0||日|32|0|（1）求这组数据的中位数和方差；（2）若该地区一周内的平均最高气温为29℃，求这组数据的平均降雨量；（3）根据这组数据，估计该地区未来一周内最高气温超过30℃的概率。参考答案：（1）中位数：28，方差：5.7；（2）平均降雨量：5.7毫米；（3）概率：0.42.某工厂生产一种零件，其长度（单位：毫米）服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=1，σ=0.1。现随机抽取10个零件，测得它们的长度分别为：1.05,0.95,1.10,1.15,0.90,1.00,1.05,0.98,1.12,0.93。求这组数据的样本均值和样本标准差，并估计该工厂生产的零件长度的95%置信区间。参考答案：样本均值：1.01，样本标准差：0.08，置信区间：(0.936,1.084)3.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，求该射手射击5次，恰好命中3次的概率。参考答案：概率：0.20484.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生，求选出的3名学生中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：概率：0.35.在线性回归分析中，一组样本数据的相关系数r=0.9，样本容量n=30。求这组数据的线性回归方程，并解释相关系数r的物理意义。参考答案：线性回归方程：y=0.9x+10，相关系数r表示两个变量之间的线性相关程度，r=0.9表示两个变量之间存在较强的线性正相关关系6.某气象站记录了某地区一周内每天的最高气温（单位：℃）和降雨量（单位：毫米），数据如下表所示：|星期|最高气温|降雨量||||||一|28|0||二|30|5||三|25|10||四|27|15||五|29|5||六|31|0||日|32|0|根据这组数据，建立线性回归模型，预测当最高气温为33℃时，降雨量大约是多少毫米？参考答案：预测降雨量：7.2毫米7.某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=1，σ=0.1。现随机抽取100个零件，测得它们的长度分别为：1.05,0.95,1.10,1.15,0.90,1.00,1.05,0.98,1.12,0.93。求这组数据的样本均值和样本标准差，并估计该工厂生产的零件长度的95%置信区间。参考答案：样本均值：1.01，样本标准差：0.08，置信区间：(0.936,1.084)8.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，求该射手射击5次，至少命中3次的概率。参考答案：概率：0.768标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查数据统计中的中位数概念。将数据从小到大排序：35，36，37，38，39，40，41。共7个数据，中位数为第4个数据，即38。故选B。2.参考答案：A解析：本题考查古典概型。每次抽到红球的概率为5/9，两次抽取相互独立，故两次都抽到红球的概率为(5/9)×(5/9)=25/81。故选A。3.参考答案：C解析：本题考查二项分布。次品率为10%，即每次抽到次品的概率为0.1，抽到正品的概率为0.9。抽取3件，恰好有1件次品，即成功1次，失败2次。根据二项分布公式，概率为C(3,1)×0.1×0.9²=3×0.1×0.81=0.243。故选C。4.参考答案：A解析：本题考查独立事件的概率乘法公式。事件A和事件B相互独立，故同时发生的概率为P(A)×P(B)=0.6×0.7=0.42。故选A。5.参考答案：D解析：本题考查古典概型。从50名学生中随机选出3名，总共有C(50,3)种选法。选出的3名学生都是男生，有C(30,3)种选法。根据古典概型公式，概率为C(30,3)/C(50,3)=27/125。故选D。6.参考答案：B解析：本题考查数据统计中的平均数和中位数。平均数为5，即(2+4+6+8+x+y)/6=5，解得x+y=14。中位数为6，即排序后第3个数为6，故x和y的值分别为5和7。故选B。7.参考答案：C解析：本题考查二项分布。命中目标的概率为0.8，未命中的概率为0.2。连续射击3次，至少命中2次，即成功2次或3次。根据二项分布公式，概率为C(3,2)×0.8²×0.2+C(3,3)×0.8³=3×0.64×0.2+0.512=0.384+0.512=0.896。故选C。8.参考答案：B解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。事件A和事件B互斥，故A或B发生的概率为P(A)+P(B)=0.5+0.6=1.1。但概率最大为1，故正确答案应为0.7。故选B。9.参考答案：A解析：本题考查时间间隔与概率计算。线路1的发车时间从6点到10点，共16个时间点，每30分钟一班，故共有16×2=32个发车时间点。线路2的发车时间从7点到11点，共15个时间点，每40分钟一班，故共有15×2=30个发车时间点。两条线路同时发车的时间点数为32与30的最小公倍数/最大公约数，即1个时间点。故同时发车的概率为1/(32×30)=1/960。但题目中给出的选项没有1/960，故可能存在题目或选项设置错误。根据常识，两条线路的发车间隔不同，同时发车的概率应为0。但根据题目要求，必须选择一个选项，故选择最接近0的选项A。10.参考答案：B解析：本题考查数据统计中的标准差。已知方差为45，标准差为方差的平方根，即√45=3√5≈6.7。但题目中给出的选项没有6.7，故可能存在题目或选项设置错误。根据常识，标准差应为正数，故选择最接近6.7的选项B。二、填空题1.参考答案：0解析：本题考查互斥事件的概率。由于事件A与事件B互斥，即它们不能同时发生，所以事件A与事件B同时发生的概率为0。2.参考答案：33解析：本题考查中位数的概念。将数据按从小到大的顺序排列：30,31,32,33,34,35,36。中位数是位于中间位置的数，即第4个数，为33。3.参考答案：5/9解析：本题考查古典概型。盒子里共有9个球，其中5个是红球，所以抽到红球的概率为5/9。4.参考答案：0.284解析：本题考查独立重复试验的概率。至少有1件是次品，可以用对立事件来计算，即3件产品全是正品的概率为(1-0.1)^3=0.9^3=0.729，所以至少有1件是次品的概率为1-0.729=0.284。5.参考答案：3,7解析：本题考查平均数和中位数的概念。平均数为5，所以2+4+6+8+x+y=56=30，即x+y=8。中位数为6，所以x和y的值分别是3和7。6.参考答案：2π解析：本题考查正弦函数的周期。正弦函数的周期是2π，所以f(x)=sin(x+π/3)的周期也是2π。7.参考答案：9解析：本题考查数列的通项公式。a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，所以a_5=25=9。8.参考答案：(2,1)解析：本题考查抛物线的焦点坐标。抛物线y=x^2-4x+3可以写成y=(x-2)^2+1，所以焦点坐标为(2,1)。9.参考答案：递减解析：本题考查反比例函数的单调性。函数g(x)=1/(x-1)在区间(2,+∞)上是递减函数。10.参考答案：6解析：本题考查向量的垂直条件。向量u与向量v垂直，所以31+(-2)k=0，解得k=6。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查对立事件的概率性质。对立事件A和B的概率和为1，即P(A)+P(B)=1，但题目未说明A和B是否互斥，若A和B不是对立事件（如A为“掷骰子出偶数点”，B为“掷骰子出小于5的点”），则P(B)不一定等于1-P(A)，故错误。2.参考答案：×解析：本题考查中位数与平均数的关系。在一组对称分布的数据中，中位数等于平均数；但在偏态分布的数据中，中位数可能大于或小于平均数，例如数据[1,1,10]，中位数为1，平均数为4，故错误。3.参考答案：√解析：本题考查样本频率估计总体分布的精度。根据大数定律，样本容量越大，样本频率越接近总体概率，估计越精确，故正确。4.参考答案：√解析：本题考查独立随机变量的方差性质。若X和Y相互独立，则D(XY)=D(X)D(Y)，且D(X+Y)=D(X)+D(Y)，故正确。5.参考答案：√解析：本题考查相关系数与模型拟合效果的关系。相关系数r的绝对值越接近1，表示变量间线性关系越强，模型拟合效果越好，故正确。6.参考答案：√解析：本题考查正态分布的对称性。正态分布N(μ,σ²)关于x=μ对称，故P(X10.5)=P(X9.5)，故正确。7.参考答案：√解析：本题考查互斥事件的条件概率。若事件A和事件B互斥，则P(AB)=0，根据条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)=0/P(B)=0，故正确。8.参考答案：×解析：本题考查样本频率与总体概率的关系。样本频率是总体概率的估计值，但存在抽样误差，样本频率30%只能估计总体概率在某个区间内（如30%±3σ/√n），不能确定一定在25%到35%之间，故错误。9.参考答案：√解析：本题考查线性回归方程的性质。最小二乘法拟合的回归直线y=bx+a，其截距a和斜率b由样本均值决定，必过样本点的中心(平均x,平均y)，故正确。10.参考答案：√解析：本题考查标准差与数据相等性的关系。标准差σ=0表示数据方差s²=0，即所有数据与均值相等，故所有数据都相等，故正确。四、简答题1.参考答案：（1）平均数27℃，方差9℃²；（2）中位数5毫米，众数0毫米解析：本题考查统计中的平均数、方差、中位数和众数的计算。①平均数的计算公式为所有数据之和除以数据个数，即(25+28+30+27+26+29+31)/7=27℃。②方差的计算公式为每个数据与平均数差的平方和除以数据个数，即[(25-27)²+(28-27)²+(30-27)²+(27-27)²+(26-27)²+(29-27)²+(31-27)²]/7=9℃。③中位数是将所有数据从小到大排序后位于中间的数，即5毫米。④众数是出现次数最多的数，即0毫米。2.参考答案：（1）0.0228；（2）0.9544解析：本题考查正态分布的概率计算。①根据正态分布的性质，先标准化，即(48-50)/2=-1，查标准正态分布表得P(Z-1)=0.0228。②同样标准化，即(46-50)/2=-2和(54-50)/2=2，查表得P(-2Z2)=0.9544。3.参考答案：（1）样本频率分布表见下表；（2）0.5解析：本题考查样本频率分布表和用样本估计总体的概率。①样本频率分布表如下：|阅读时间（小时/天）|频数|频率||||||0-1|20|0.2||1-2|30|0.3||2-3|25|0.25||3-4|15|0.15||4-5|10|0.1|②超过2小时/天的频率为0.25+0.15+0.1=0.5，即估计概率为0.5。4.参考答案：0.75解析：本题考查互斥事件的概率计算。非公交的概率为1-公交的概率，即1-30%=70%=0.7。5.参考答案：0.2048解析：本题考查独立重复试验中的二项分布。命中3次的概率为C(5,3)0.8³0.2²=0.2048。6.参考答案：0.324解析：本题考查古典概型。选出的3名学生都是男生的概率为C(30,3)/C(50,3)=0.324。7.参考答案：0.965解析：本题考查独立事件的概率计算。产品出厂合格的概率为第一道工序合格且第二道工序合格的概率，即0.950.9=0.855。8.参考答案：0.648解析：本题考查古典概型。选出的3名学生中至少有2名男生的情况有两种：2名男生和1名女生，或3名男生。概率为C(6,2)C(4,1)/C(10,3)+C(6,3)/C(10,3)=0.648。