2026初中数学9年级上(湘教)专题3.3 相似图形、相似三角形的判定(讲义)(原卷版)

专题3.3相似图形、相似三角形的判定（举一反三讲义）





1

........................................................................................................................................3



2!

........................................................................................................................3



3"#$%&'

................................................................................................................................5



4"#()*&'

........................................................................................................................5



5"#(+,-./012)*&'

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6"#3+,-./0&'

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7456789:;(3)

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8<=;(3)

............................................................................................................................9



9>?@;(A3)

..............................................................................................................11



10B3),B

........................................................................................................................12



11CD3)

................................................................................................................................13

知识点1相似图形

1.定义：把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，

或者说是相似形.两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形

叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比.

知识点2相似三角形

1.

'E

3)F*G3+./0(A3)HI3)JABCKA1B1C1LM@ABC

A1B1C1J△△△∽

△2.N*3)O3)/P

N*3)3)

QRSNTU(A3)HIN*33)F*G3+./0(A3)

'E

)HI3)

VWXYZ[\*XY][\^_'*

`a

,-+*./0

,-)**

/1bcd1LebcdfghiB

知识点3三角形相似的判定

jk(A3)FOY_A3)Llmn(A3)eJ

3)op'q

$%r3)_+stufg(+vDst,uw3)Ox3)J

1.'q1

()F,-*(A3)J

yzABCKKA′B′C′KL{A=A′LB=B′L|ABCA′B′C′J

2.'△q2

(+,-△./0Z2)∠∠*(A3)J∠∠△∽△

ABAC

A′B′C′A′A′B′C′

yzABCKKL{A′B′=A′C′LA=L|ABCJ

3.'△q3

3+,-△./0(A3)J∠∠△∽△

ABBCAC

yzABCKKA′B′C′L{L|ABCA′B′C′J

A′B′=B′C′=A′C′

s)△3)△&''q

jk_As)3)}+1_9s)+O~_As)3)}+1_9△∽△

s)+,-./0Llmn(As)3)J

4.3)€

VWv‚9:ƒ„…†

yzDE//BCLvc()F*(A3)

$%t

Y‡)Gˆ‰)*JADEABC



Š)6,‹)L()F*(A3)△∽△

B=AEDJADEACB

}Œ

∽

Š)(+,-.∠∠(+./0LZ2)*(A△△

AB

/0LAC3)JACBAED

AD=AE

△∽△

()F*(A3)

Ž

1=2

JACDABC

∠∠

△∽△

_‘),-*L

Š)’,-)“(+./0LZ2)*(A



(+,-./0L3)JABCA′B′C′

ABAC∠

2L△∽△

1=A′B′=A′C′

∠

【题型1识别相似图形】

01

’24-25”•–—·T˜™š·›œž“—Ÿ4

¡Ldd’“

AJBJCJDJ

¢£1-1

’2025¤•–—·N¥·¦

ž“jL#§[¨©$ª«¬­®¯§[L|§[°±(A

²³´rJ’µ$¶G·,¸GG¡4“

¢£1-2

’24-25¤•–¹·º»¼½·¾¿“ÀÁÂ%…£ÃÄÃÅÆLc—Ç‘¡L^_

‘d’“퐿푂퐺푂

AJBJ

CJDJ

¢£1-3

’24-25¤•–¹·ºšÈÉ·¾¿“—ŸÊ4

¡L$%rxhË+_+st©fF.(Ì

FLf¡ÍÎÌFË+OxË+d’“

AJBJCJDJ

【题型2由相似图形的性质求值】

02

’24-25¤•–¹·N¥·Ï¾@ГD

ÑÒÓÔÕ¡LY

Á;#Ö×ا[ÙJjL\

Ú©_ÛÜÝ5cmLÞÝ3cmßÙ§[Lf¡§[±ßÞÝ9cmLlm§[±ßÜÝ

’“

AJ15cmBJ18cmCJ20cmDJ25cm

¢£2-1

’24-25¤•–¹·àáâã·¾¿“jL#§[¨äåË+OxË+/PL^¢d

’“

AJæ9+ÜçBJæAˆ)çBCJèéDJêÜ

¢£2-2

’24-25¤•–¹·ëì»í·¾¿“jLÇ+KÇ+Lî,-

îFÝL|—Ÿïðhñd’“퐴퐵퐶퐷퐸퐹퐺퐻퐴, 퐵, 퐶, 퐷

퐸, 퐹, 퐺, 퐻

AJ=81°BJ=83°CJ=78°DJ=91°

¢£∠퐷2-3

’2025¤•–—∠퐹·N¥·¦

ž“2024∠퐺•10ò1óLdô[õ¥∠퐻75ê•ö÷LN¥Êøùú

ûüýþÿĀāĂ——¥ĂJ¥Ă†?'

v¥ĂăÝßLD—ŸÇè¥Ă¡Lf¡Ą_è

^ąU¯ĆLnè¥ĂdJ

【题型3利用平行判定相似】

03

jLAB //CD //EFL|¡3),BÝ()

A.4,B.3,C.2,D.1,

¢£3-1

jLABLCDŒrîOLAC//BD.ƒ

OACOBDJ

△∽△

¢£3-2

jLDABC¡LîDGMDAB¹LîEGNFDBCGAC¹LZDE//ACLMN//BCLDEŒMN

rîO.¡OABC3)ËćAĈĉĊÁ`aÂÄLċȄqJ△

△

¢£3-3

jLD$%Ç+ABCD¡LFdADčÜt¹_îLĎïBFŒDCrîEL|¡3)

Š,.

【题型4利用两角相等判定相似】

04

’24-25¤•–¹·ď™Đ½·¾¿“jLDdABC+BC¹_îLBAD=CLABC$Ft

Œ+ACrîELŒADrîFL|D—ŸđÂ3)¡LO△BDFd’∠“∠∠

△

AJBFABJBAECJBECDJAEF

¢£△4-1

’24-25¤•–¹△·ºšĒē·›œž“jL>?@ĔĕbzL—Ÿ(A3)_'△△

d’“

AJBCDACDBJBCDABC

CJ△ACD∽△ABCDJc¹ù^,△∽△

¢£△4-2

’∽24-25△¤•–¹·ĖėĘę·¾¡“jLABBCLBDCDLACD=90°Lƒ

ABCCDBJ

⊥⊥∠△∽△

¢£4-3

’24-25¤•–—·¹Ě·Ï¾@ГjLDABC¡LACB=90°LAC=BCLPdABCˆ_îL

ZAPB=APC=135°Jƒ

CPAAPBJ△∠△

∠∠△∽△

【题型5利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】

05

’24-25¤•–¹·ĖėĘę·›œž“jLDh…ABCD¡LîFdBC+¹_îLĎěAFLc

AFÝ,)t@h…AEFGLĎěACGDGLƒ

AFCAGDJ

△∽△

¢£5-1

’24-25¤•–¹·™Ĝĝ½·¾¡“jLîE,FFDh…ABCD+ADLCD¹LĎěBEK

EFLAB=9LAE=3LDF=2Jƒ

ABEDEFJ

△∽△

¢£5-2

’24-25¤•–¹·Ğ»ğĠ·¾¿“yz

jLîCLDDtœAB¹LPCDd*+3)L

ZAC=1LCD=2LDB=4Jƒ

ACPPDBJ△

△∽△

¢£5-3

’24-25¤•–¹·ġĢģĤ·›œž“Ç+ABCDÝ$%Ç+LîEKîFFÝ+ADLAB

¡îLĎěEFGCFLEFŒ,)tACrîGJ

(1){AC=8LAGÜĥ

(2)jkAB=ACLƒ

AFGACFJ

△∽△

【题型6利用三边对应成比例判定相似】

06

24-25¤•–¹·ĦħĨ»·¾¿“yz

jLABE=90°LZAB=BC=CD=DE=1LĩĪīĬĭ

Ovđ9:LĮ±įÂ_,3)Lċƒ„İıIJJ∠

¢£6-1

’24-25¤•–¹·Ğ»ij·¾¡“yzABCKDEF3+ÜL—Ÿ9:Q&ĴĊÁ

d’“△△

AJAB=4LBC=8LAC=10ĥDE=20LEF=16LDF=8

BJAB=3LBC=4LAC=6ĥDE=6LEF=8LDF=9

CJAB=12LBC=15LAC=24ĥDE=16LEF=30LDF=20

DJAB=3kLBC=4kLAC=5kĥDE=6kLEF=7kLDF=8k(k>0)

¢£6-2

’24-25¤•–—·àáĵĶ·›œž“jD4×1…ķ¡Læ_A\h…‹îHIķîL

cf¡3Aķî݋î3)¸Ýķî3)LABCĸd_Aķî3)LŵķîDGEGFGG¡4

ĺ_AķîOîBGCĎě.ķî3)LQ;Ļķî△ABC3)Oķîd’“

△

AJîDBJîECJîFDJîG

¢£6-3

jL”ASNY\܅ļ._Ah…ĽķL\ľG\ĿG\ŀG\ŁÇ‡Y

#ł

Ńçs>DĽķ¡Êńü_AŅ)3)Lf¡ņ3)d’Ňғ

AJKBJKCJKDJK

①②②③①③①④

【题型7选择或补充条件使两三角形相似】

BCCD

0

jLDABC¡LîDÝ+AC¹_îL45—Ÿ9:

AĥCBAĥĥ

72=1=AC=BC

BCDB△①∠∠②∠∠③

¡_ALQwÂABCKBCDd

’ňʼn“J

AC=AB

④△△

¢£7-1

’24-25¤•–¹·ŊŋŌō·¾¿“jLDÇ+ABCD¡L,)tAC$FBADLAB=9L

AC=6L|Ŏ;ABCACDLĄŎAD=J∠

△∽△

¢£7-2

’24-25¤•–¹·¹Ě·›œž“jLyzDŏABCD¡LADBCLŎ;BADODBC

LՂőŒ_A9:LnA9:bcd’Ą‚ň_A9:“J∥△△

¢£7-3

’2025·ºš·¡œī

“jLDÿ+ABCDE¡LAEBCLčÜBALBCLFŒstDEr

îMLNJ{őŒ—Ÿ_A9:±LŔł†&'MAEDCNL|nA9:d’∥“

△∽△

AJB+4=180°BJCDABCJ1=4DJ2=3

∠∠∥∠∠∠∠

【题型8裁剪使两三角形相似】

08

jLDABCŕÙ¡LA=72°,B=38°L©ABCŕÙŖŗst=íL—ŸÇ؅£¡=—ÍÎ

3)OABCd’△“∠∠△

△

AJBJCJDJ

①②②④③④①③

¢£8-1

’24-25¤•–¹·ĖėĘę·¾¡“jLDABC¡LA=78°LAB=6LAC=9J©ABCŖ

a¡řt=íL=—ÍÎ3)Ox3)^d’△“∠△

AJBJ

CJDJ

¢£8-2

B

iŚÔÕś¹L\„K\ŁF=ü_,3)LgÁŜŝŞşwåBŠLċ¯MD

¹JjL,rgÁ=(‘3)ȆLhñd’“

AJùBJĄCJĄDJù^

¢£8-3

jLD3)ŕÙ①ABC¡LAB=6LAC=4L②BC=8LŖřt=—šŢÌF3)OABC

d’“△

AJBJ

CJDJ

【题型9尺规作图使两个三角形相似】

09

’2025·ď™ţŤ·ťŦ“#“>?@”©_A3)Fŧ._A\3)K_AÇ+L|—Ÿ

¡LFŧÂÄ\3)Ox3)^_'d’“

AJBJ

CJDJ

¢£9-1

’24-25¤•–¹·ď™Đ½·¾¿“jLyz*ŨABC¡LBA=BCLB=108°Lĩ#>?DAC

¹@_îDL;wABDACBJ’ũŪ@ĔĕL^ū@†“△∠

△∽△

¢£9-2

’24-25¤•–¹·ĖėĘę·›œž“jLDÇ+ABCD¡LABCDLĎěBDLĩ#>?

@†DBD¹į_îPL;wABDPCBJ’ũŪ@ĔĕL^ū@†“

△∽△

¢£9-3

DABC¡LABC=90°L#s>KŬ?DAC¹ñ'îDL;BADCBDLŭŠ@Ĕĕ&

ĴLhñd’△“∠△∽△

AJBJ

CJDJ

【题型10数相似三角形的对数】

010

’24-25¤•–¹·ĦħŮ½·¾¡“jLACBCLCDABLDEBCL|¡3)’“

⊥⊥⊥

AJ5,BJ6,CJ10,DJ20,

¢£10-1

jLDh…ABCD¡LEdAD¡îLFdCD¹_îLZCF=3FDJ|¡3)

,Bd’Ňғ

AJ1BJ2CJ3DJ)4

¢£10-2

’24-25¤•–¹·¹ĚůáŰ·›œž“jLyzABCGDEFùd*+3)LîDGE

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