2026初中数学9年级上(湘教)第二章 一元二次方程(讲义)(解析版)

第二章一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳







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67

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78()-0109:

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88()9;:<=

..................................................................................................27

9$>?@A

..............................................................................................................31

10-BCDE

..................................................................................................................36

知识点1一元二次方程的定义

1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做

一元二次方程.

2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.

1

FG

+=2H+1H+=0H+8=0H=IJK.













知识点2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是++=0(0)，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，



是一次项系数；是常数项.







2.L1M是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；L2M任何一个一元二次方程都可

以化成一般

形式；L3M一元二次方程的各项都包含它前面的符号.

3.一元二次方程的特殊形式.

（1)当b=0时，得+=()；



（2)当c=0时，得

+=

(

)；







（3)当b=0且c=0时,得=().







知识点3一元二次方程的解（根）

1.定义：NOPQRSTU1:VKWX$H$YZ[

).

2.\]^_41)H\]_QXS41)HY\]_QXJS41).`HK

++=0(0)QX41)HabcQXS,deHf\8(WQXS,9$TUg



1

++=0(

0)，

++=0(0).











知识点4直接开平方法解一元二次方程

1.hi1ajkl)mHl)m±n

FG

144jkl)m144=12Hl)m±144=±12n

2.)ol)pqrstlu$%HZ[rstl%n

FG=25H$v=±5n



#wHxy=pn





>0方程有两个不等的实数根=，=

""

=0方程有两个相等的实数根==



<0方程z41)

3.rs{$|}

(1)~m=p€(+)=(0,0)E,



L2)rstlmQX$%&$

L3)$QXv‚ƒ$n

知识点5配方法解一元二次方程

1.$„H…†‡1ˆ‰‚PRHŠ†‹OR&dŒ_TU1Žl,H~m

(+)=E,HGPRKXhi1H‘’V\“8(rstl%9$nW”•–&dŽ



lE,u$%HZ[&%n

2.&%$#|}(—F)

#|}%4F=0)



~‡1ˆ‰‚PRHŒ

(





‰‰ˆ=4

TU1ˆ‰‚OR



(



O˜PQR™„š“4

ˆ01m1=

ˆ019





4

+1=+1

O˜PQR™„œ9

›&&

ˆ01žl



=13

9





8(l)pqrstl13

Ÿttl=±

3

)

13

$v¡QX)‰ˆH3f™¢ˆy=1+Hy=13

33



£¤

¥R&d¦yTU1Žl,§HG¨RK©1H‘’WXV_QXJS

41)G¨RKªH‘’WXV_QXS41)G¨RKi1H‘’WXV

^_41)n

3.$«o

±=±+H†

,¬­®TU1Hf(¯°Ha±=±+



n









知识点6一元二次方程根的判别式

xyH•–&\v+)Ha)./±

1.++=0)=





²>³n





#wH,´Z[++=0)*+,H•‡(µ¶·¸“”¹—‹H=



n*



++

2.*

)*+,²-)./

L1M>_QX+JS41)

L2M+=

,_QXS41)

L3M+<

,z41)n

3.'(+

,

L1MJ$*º)./

L2M)o)./9·¸01;:<=n

知识点7公式法解一元二次方程

±

1.¥„H•–&H»41)\¼mE,HWX,´

0++=0)=

*



Z[+&++=

09)

,n~½01rs¯¾9)

,HW”$%







Z[

,%n

>0_QXJS41)=±





+

=0_QXS41)==



+

<0z41)

2.8+(

,%$#|}

L1M†m#E,H¿³aHbHc:

L2M9¡=:



+

±

L3M`Ha~aHbHc:¯À9)

,9¡)H`Haz41)n

0=<0

*



+&

+

知识点8因式分解法解一元二次方程

1.…Á,Â$HNmQX,ÃÄSy0E,HŠNWQX,Â+Sy0HÅ

Æ4Ç{HW”$%Z[Á,Â$%n

2.È3(Á,Â$%9$E,

3.8(Á,Â$%$#|}

一移使方程的右边为0

二分将方程的左边因式分解

三化将方程化为两个一元一次方程

Ÿ$¼¡QX$

知识点9一元二次方程根与系数的关系

1.±9)

,\v¥„HQ)Â+mH

++=0)==

-*



+&







,a+=H=n



*







FG



++=0Q)mHHa+=H=n



2.)-0.10'("/

L1MJ$H9yQ)¯1,:n

L2MÉU)H9¨)ʬ·¸:n

L3MÉUQ)0H9¬·¸:n

L4M-)*+,Ë3H$>Ì23n

知识点10实际问题中常见的数量关系及表示方法

1.lIÍÎL{ÏMÐA

ÑÍÎL{ÏMÒ1maHÓlIÍÎÐL{ÏÐMmxHÍÎL{ÏMn§1ÔmbHaÍÎ

Ð

,m+=H{ÏÐ

,m=n

00

2.ÕÖ8

×A



L1M8×=ÖØÙÚ؁

8×ÖØÚØ

L2M8×Ð=×100%=×100%

ÚØÚØ



L3MÖØ=ÚØ×(1+利润率)

L4MÛ8×=ÓÜÝÞ8×ßÕÖÔ=Ûà¾ÙÛá¡n

3.BCA

L1MâÄ

,

=H=H=H=1

长方形正方形圆三角形2



ãä

åaHbÂ+mÎEΘæ3334536

çam©ER΁

èrméžê

ëam›ìERÎHhmRÎmaRín

L2MîÄ

,

=H=H=H=1n

长方体正方体圆柱圆锥3



ãä

åaHbHh7Â+mÎîΘæ˜í6774867486

çam©îï΁

èRméðñâéžêHhméðí

ëRméòñâéžêHhméòín

4.óôA

óõö+øùúóõ+øùúóõ=ùóõ§úóõÛ1n

5.ü1A

`gýþÿ1mHaĀāĂý¬ÓþăýĄ1mĄHăýÛĄ1mĄ.ĆāĂý¬ÓþăýĄ

n(2

%

%

1m2(ĄHăýÛĄ1m(Ąn%

6.1·%A%%

两位数十位数字个位数字三位数百位数字十位数字个位数字

10+100+10+

7.Ĉĉ8

ĊA





ċĊČ=ċč+8Ċ8Ċ=ċč×8Ð×ĈĎn

8.ďLĐMA

ď®ÛÔ=ď®đÐ×ﮄĒē=ĔĕׄĒn

9.?@A

$>BCDE¬?@AH•‡KĖ@ė?ʬHc¡ęĚ¯1,HŠ8(âÄ

,˜ěĜ

³ĝSc¡$>n

知识点2列一元二次方程解应用题的一般步骤

\ĞĀwÂmğ˜Ñ˜c˜$˜Ġ˜ġĢX|}n

L1Mğ

ģĤğHÂĥpHä¿ÉUԘTUÔʋĦħĒ0

L2MÑ

(·¸LGxM¹—Ĩ¬XTUԁ

L3Mc

)oSÔ0Hc¡ĩĪ¯1,HÚÆc¡

L4M$

$H9¡TU1:

L5MĠ

īĠ$KĬ²345pqHJ²345pqĭĮ

L6Mġ

¼¡ġįLİıĀIJijĴ)n

【培优篇】

【题型1一元二次方程的相关概念】

F1

L24-25ĵĶķ·ĸĹĺĻ·ļĚĽľMÉUaK+1=0$Ha¯1,+



:mn



ġį

2024

Âĥ

ċĿŀ¦$H9¯1,:HŁĽłŃUń@K$Ņn)op\

v+1=0Hņĝv‚=HŠņ¯1,ÚĐüj\n



Ň$

$

aK+1=0$H



+1=90H



:=H



:+=()=()=2024n



ňġįm

:

2024n





Ę,1-1

L24-25ʼnĶķb·ŊĸŋŌ·ļĚĽľMbcKKLM

1

An+3=Bn=0Cn=Dn+=1



ġį

B



Âĥ

ċĿŀ¦³qHōŎ“ŏŒ_XTU1HfŐTU1őí1K2ņ,

Z”K$Ņn)o³qHŒ¡Kœˆ\n

Ň$

$

A˜ŔœˆŒ_Â,HJKHňŔœˆJ²3p

B˜Ŕœˆ_XTU1Őőí1m2HKHňŔœˆ²3p

C˜ŔœˆKHňŔœˆJ²3p

D˜Ŕœˆ_QXTU1HJKHňŔœˆJ²3pn

ňœ

Bn

Ę,1-2

L24-25ĵĶķ·ŕŖ3ŗ·ļĚĽľM~=3d#E,H¥



ˆ01m3„Hˆ01ȇ1ˆÂ+mLM

An4HBn4H1CnHDnH1

ġį

D

Âĥ

ċĿŀ¦#,n~m#,H9¡ˆ01Hˆ01H

‡1ˆ\n

Ň$

$

~=3ĘEm

3+1=0H



؄ˆ01m3Hˆ01mH‡1ˆm1n

ňġįm

Dn

Ę,1-3

L24-25ĵĶķ·ŕŖřŚ·ļĚĽľM`()||+=0KyH

<

a=n

ġį



Âĥ

ċĿŀK³qHŁUŏŒ_XTU1HfŐTU1őí1K2ņ,

ZK$ġŘŅnoŘ9$\n

Ň$

$

()||+=0KyH

<

||=2Ő90Ha=±2Ő2H

:=H



:ňġįm

n



【题型2一元二次方程的一般解法】

F2

L24-25ʼnĶķb·śŜŝŞ·Ď¬MÉU41şŠ(+)()+6=0Ha+:



Kn

ġį

3

Âĥ

ċĿŀ¦$Hš=+Haƒ,m()+6=0H$\$ġHp



z41)./K$Ņn>>>

Ň$

$

š=+H



aƒ,m()>+6=0H

$v=>3,>=H



¥>+=3>„H=1+4×1×3=13>0H_41)H



¥+=„H?=1×1×2=<0H^_41)H



+=3H?@



ňġįm

:3n

Ę,2-1

L24-25ʼnĶķb·ŢţĸŤťŦ·ļĚĽľM$bc

(1)(+5)=25



(2)+=0



(3)++21=0







(4)3+=0



ġį

=(1)=0H=



(2)=0H=



(3)=H=



21@21

H

(4)=+3=3



Âĥ

ċŧŨĿŀ¦$H$ŅKłŃ$|}n

L1M8(tl)%\9$

L2M8(Á,Â$%\9$

L3M8(ũ·Ã%\9$

L4M8(9)

,\9$n

Ň$

L1M$

(+5)=25



+5=±5

=0H=



L:2M$

+

=0



(+2)=0

=0H=



L:3M$

++21=0



(+3)(+7)

=0

=H=



:L4M$

3+@=0



====H==36+48=84



9'±='

±221A±

21

H

==2×3=3

A=



:2121

=+3H=3n



Ę,:2-2

L24-25ʼnĶķb·ŊĸŪū·Ď¬My()=3()HbcŸ”J™$%¬HŽ

©¿KLŬŬM

①QR™„š“()v=3.



ĞņĝvHHHHH4±28

②==1===28=2=2±7.





③ņĝv=H&v9++2=

H()

=H:=±1H=1H=3.



:::

④‰ˆv

=0H=0€=0H=1H=3.



An①



Bn②:Cn④:Dn③④

ġį

C

Âĥ

ċĿŀ¦$-Á,Â$%Hrst%H

,%H“Ê&%H)o$

%ŭ*º\n

Ň$

$

An①J²3$%Hň①Ůů

Bn=3JKHň②Ůů

Cn&„HS,QR'Ŕœ

4Hň③Ůů

Dn()=3()H

()()=0H

()()=0H

=0€=0H

:=1H=3nň④©¿n

ňœ

:Cn

Ę,2-3

L24-25ʼnĶķb·ŰĹűŲ·ĎųMGDHĖÎE¬H“@méŴHmžê®ŵ-

Ŷy@H“@méŴHmžê®ŵ-Ŷy@nÑ=BCDE=HaB+BE=X©)BD



KLŬŬMFDDEBDGBC'BE

AnÎBnÎCnÎDnÎ

ġį

BGADFGFBD

Âĥ

ċĿŀ¦

,%$HěĜ³ĝHŷEŸŹHłŃ“Uń@K$ġċŅn

…j¡+=©)m+HŠ)op(˜¹—¡ÎH\$ġn



Ň$

$

+=HBG



++9=+H



:+=+H



:



=±+H



:

+>H



9

+=X©)K+H



:ŸREKÎEH

9=BCDE90°H==H

Ė:RtHCBE¬HCD=BEH=H

LBCEBCBE

±ěĜ³ĝv

=+=+H



±®D–UBD=HBC=HCD

BFDG

==+H



:BGBDDG+=X©)KÎH



ňœ

:AnBG

【题型3配方法的应用】

F3

L24-25źĶķb·ŰĹŻż·ļĚĽľMŽžſĖƀÃ%

,±=±+Ɓ”ė(



§HŨ9™

Ħė(ĩ

Uń9¯1,++5őƂ:n™

Ħƃ–ŶƄƅƆHő§ÛË¡Gb$ġ





%



++5



=++4+1



=+2)+1



Ám

+2)0Hĩ“¥=„H+2)őƂ:K0n



ĩ“

+2)+&11n





ĩ“¥

+2)=&0„H+2)+1:őƂHőƂ:K1n



ĩ“

++5őƂ:K

1n



«oƇ%H$>bcA



(1)¥=______„H+5)+7_őƂ:K______



(2)Ɓˆ,+18

_ő______(ƈ“Ɖ”€“Ƃ”):Hf9¡ŔƁˆ,ő:



(3)ÉU›RȘƊK©ņ1HŐşŠ+=H9¥=4„HƋÎn



ġį

L(1)BCDH7



@

LBCD

(2)ƉHő:m22

(3)9

Âĥ

L1M)oF$ġ%$ġ\

L2M†Ɓˆ,ƌm+18=+2)+22HÚƱ+2)0v+2)0Hv‚



+18=+2)+2222H\9$



&

M



L3M±+

=Mv+=0Hv=1H=4HÚÆ9¡›ìEƋΏ\



ċĿŀ¦&%'(Hhi1ŸŹHŁĽłŃ&%K$Ņn

@





Ň$

L1M$

xyƍp41Ɗ_+5)0H



¥=„H+95)őƂ:K0H

&



:+5)+7

7H



:

¥=„H&+5)+7_őƂ:K7H



ňġįm

:

7

L2M$

+18=+22



=+2)+22H



xyƍp41

Ɗ_+2)0H



9+2)0H

&



:

+M18=+2)+2222H



:¥=„HƁˆ,

+M18_őƉ:HőƉ:m22H



ňġįm

Ɖ:

L3M$

+=H



+91++16

@=0H



:+

=0H



:

=0H

=0H

:=1H=4H

:=4H

9

ƋÎ=1+4+4=9n

Ę,:LBCD3-1

L2025·ŕŖĢŕ·ƎMÉUHHm41HŐ+=+3H=+Ha



HHħĒƉƂ0KLM

N

NN





AnN<Bn<Cn<Dn<

ġį

A

MN

MN

MNNM

Âĥ

ċĿŀ¦Žl

,'(H&%'(n…)oÉUS,9¡=+2H=2



+3HŠ8(Žl

,*º¡>HH±Ř\v¡ġįn

N

Ň$

$

+=+3H

=N&

+H



$v=9+

2HN=2+3HN





=+N=+2=()+1>0H



:

>

:

=+=()0H



9N

H&

:N&<

H

:ňœ



AMnN

Ę,3-2

L2025·ŕŖƏŌ·ƎƐƑƒMÉU41aHbşŠ+=>0Habc*º©¿KLM

An+>2,++<4Bn+<2,++'<4



Cn+>2,++>4Dn+<2,++>4



ġį

C

Âĥ

ċĿŀ¦JS,ŸŹÊ&%'(H$>ċŅKŁĽłŃJS,ŸŹÊ&%

444

'(H±\vH\v\v¡Hx

+=4=2+=+2=2=2.2>2=2+>2

---

ĩ_>0den~=¯¾++v

++=++=++4=+2)



.\v+2)>2=4HŠ*º\n









Ň$

$

±+=4\v=2H



4

+=+2=2=2.

--

:>0H

9+4>4H

44

:H

2>2=2

-

:+>2xĩ_>0den

~=¯¾++v



++=++=++4=+2).



>0H





9+2>2H

:

+2)>2=4H



:

++>4xĩ_>0den



ňœ

Cn

Ę,3-3

L2025·ŊĸŚŌ·ƎM1

ƓƔƕ?¬HžſƖ¡¦QXƁˆ,2++H



++L»¬pHqHcIKJmª‡1MÊWQX¯1,ÌĊHGb¹ĩ—





Ɓˆ,.

xƁˆ,ÚĐÁ,Â$xƁˆ,N(&%

2++++2+









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+++++



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mH

nHHIm‡1M

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①`+=12Ha+6=②`==2Ha=3③`_Őŏ

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