2017-2026年高考数学复习：空间几何体及其表面积和体积

考点01高、棱长

I.（2024•北京・高考真题）如图，在四棱锥P-48CZ）中，底面力8CZ）是边长为4的正方形,

PA=PB=4,PC=PD=2①,该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.④D.G

【答案】D

【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面尸石尸，平面力8co，可知尸°1平面.3CO,利用等体积

法求点到面的距离.

【详解】如图，底面力8co为正方形，

当相邻的棱长相等时，不妨设尸"=P8=Z8=4JC=PO=2直,

分别取"8。的中点及J连接PE,PF,EF,

则P£_L48,M_L/18,nPEcEF=EPE,EFu平面PEF

可知48_L平面夕分\且44u平面48。。，

所以平面PEF±平面ABCD,

过P作所的垂线，垂足为°,即P°_L£尸，

由平面平面彳8co=EE,POu平面尸石尸,

所以PO1平面48CQ,

由题意可得：PE=26,PF=2,EF=4,则P炉+尸尸二«尸，即「七上PF,

1

IPR-PFI-

—PEPF=—POEFP0=-------=V3

则22,可得EF,

所以四棱锥的高为百.

故选：D.

2.（2021・新高考全国【卷•高考真题）已知圆锥的底面半径为6,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的

母线长为（）

A.2B.2立C.4D.4近

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为。根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由r•圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则乃/=2万X0,解得/=2啦.

故选：B.

3.（2020•全国【卷•高考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥,

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥•个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与

底面正方形的边长的比值为（）

布一10-1百+1遥+1

A.4B.2C.4D.2

【答案】C

八八cl,PO?=>CDPE

【分析】设C0=a,0E=力，利用2得到关于0，6的方程，解方程即可■得到答案.

八L,PO=>JPE2-OE2

【详解】如图，设CD=a,PE=b,则

1

-

PO2=-ab524（一）2-2-

由题意2T化简得。

h_\+4s_

解得。一4（负值舍去）.

故选：C.

1

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

4.（2018•全国I卷•高考真题）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点

・“在正视图上的对应点为力，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从“到

N的路径中，最短路径的长度为

A.2aB.2百c.3D.2

【答案】B

【分析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置.，将圆柱的侧面展开图平铺,

点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结

果.

【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

将圆柱的侧面展开图平铺，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角

线的端点处，

所以所求的最短路径的K度为+2?=2下,故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两

个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平

面图形的相关特征求得结果.

5.（2019•全国H卷・高考真题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长

1

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由

两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正

多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面，其棱长为.

图1图2

【答案】共26个面.棱长为应一L

【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在止方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解

决.

【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有

18+8=26个面.

如图，设该半正多面体的棱长为x,则力4==延长8c与房交于点G,延长8c交正方体棱于”,

由半正多面体对称性可知，A3GE为等腰直角三角形,

:.BG=GE=CH=当%,:.GH=2x^x+x=(yf2+\)x=\

即该半正多面体棱长为07.

【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单,

稳中求胜是关键.立体几何平面亿，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.

1

考点02求表面积

1.（2023・全国甲卷・高考真题）已知四棱锥P-488的底面是边长为4的正方形，

PC=PD=3/PCA=45°,则△尸8C的面积为（）

A.2&B.3及c.4&D.6正

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得APOO装尸CO，APDB*PCA,从而得到以=尸8,

再在△力（:中利用余弦定理求得"=折，从而求得依=加，由此在△产小：中利用余弦定理与三角形面

积公式即可得解；

法：：先在A"。中利用余弦定理求得以二后，c°s/PC一从而求得力.定=-3,再利用空间向

量的数量积运算与余弦定理得到关于尸瓦N8PO的方程组，从而求得尸8=折，由此在△P8C中利用余弦

定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结"C,8。交于°,连结尸°,则。为“C，8。的中点，如图，

因为底面48CQ为正方形，4?=4,所以4c=4。=4&,则Z)°=C0=2JJ,

又PC=PD=3,PO=OP,所以&PDO二"CO,则NPOO=NPCO,

又PC=PD=3,JC=5£)=4>/2,所以APDB,则04=，

在A4C中，PC=3.AC=4yf2,ZPCA=45°

PJ2=JC2+PC2-2JC-PCcosZPC^=32+9-2x472x3x—=17

则由余弦定理可得2

故PA=后,贝ij尸8=后，

PC=3,PB=4V7.BC=A

故在△尸6。中,

1

PC2+BC2-PB29+16-171

cosZ.PCB=

所以2PCBC2x3x4-3,

sinZPCB=71-cos2^PCB=—

又0<NPCB<K,所以3

5=-PC-i9CsinZPCB=-x3x4x—=472

所以△P8C的面积为223

法二：

连结交于°,连结P°,则0为/G8Q的中点,如图,

在中，PC=3,ZPO=45°(

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4>/2x3x—

则由余弦定理可得2，故加刀,

cos〃pc-,17+9-32__叵

所以2PApc-2xVnx3-17,则

PAPC=

不妨记PB=MBPD=e,

因为包妒+恒门丽而）所以伊+定户口历）1

即PAPC=PB2+PD2+2PBPD,

则17+9+2x(-3)="/+9+2x3xmcosJ整理得〃/+6,〃cose-ll=0(J),

又在△P8。中，BD?=PB?+PD?-2PB・PDcos/BPD,即32=+9—6〃?cos。，

m2-6〃icos6-23=0②,

1

两式相加得2m2-34=0,故PB=m=后，

故在△P8C中，PC=3,PB=&i,BC=4,

PC2+BC2-PB2_9+\6-\71

cosZ.PCB=

所以2PCBC_2x3x4-3,

sin4PCB=>/l-cos2Z-PCB=—

又0</PCB<n,所以3

5=-PC-5CsinZPC5=-x3x4x—=472

所以△尸BC的面积为223

故选：C.

2.（2018•全国1卷•高考真题）已知圆柱的上、下底面的中心分别为a,°?,过直线002的平面截该圆

柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.120兀B.127rC.80兀D.iOn

【答案】B

【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高,

从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

详解：根据题意，可得截面是边长为2我的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是近的圆，且高为20,

所以其表面积为S=2"伪?+2万•疗2&=12乃，故选B.

点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关

量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面枳

的和.

3.（2018・全国I卷・高考真题）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则

。裁此正方体所得截面面积的最大值为

302-3&立

A.4B.3C.4D.2

【答案】A

【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同

一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置.，截正方体所得的截面为一个正六边形，且

1

边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体彳"8一44GA中，

平面力8a与线四，44,44所成的角是相等的，

所以平面444与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面'片乌与G8O中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为2,

S=6x叵(与=迈

所以其面积为424,故选A.

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位

置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面

积的求法，应用相关的公式求得结果.

4.(2023・新课标II卷•高考真题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,48为底面直径，4PB=120。,

产力=2,点C在底面圆周上，且二面角-0为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.4c=2&D.△尸4c的面积为石

【答案】AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，4PB=120。，PA=2t所以0P=L°力=°8=JJ,

-xnx(V3^xI=7T

A选项，圆锥的体积为3'7,A选项正确：

B选项，圆锥的侧面积为冗x®x2=26几，B选项错误；

C选项，设。是％。的中点，连接

则,4C_LOQ,力。_LP。，所以“DO是二面角尸―/C—O的平面角,

则/PQO=45。，所以OP=OO=1,

1

故4O=CQ=^/n=&,则4C=2&,C选项正确；

厂7>—5„,=—x2V2x-J2=2

D选项，PD3+1-=也所以"r°2,D选项错误.

5.（2022•上海•高考真题）已知某圆锥的高为4,底面积为9兀，则该圆锥的侧面积为

【答案】15北

【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积.

【详解】圆锥底面积为9兀，则底面半径为3,又圆锥的高为4,

则圜锥的母线长为5,则该圆锥的侧面积为3'5冗=15兀

故答案为：15兀

6.（2021・全国甲卷・高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%则该圆锥的侧面积为

【答案】39用

【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

V=—TT62h=30万

【详解】v3

=7trl=4x6x—=394

2

故答案为：391.

1

7.（2021•上海•高考真题）已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为.

【答案】4兀

【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.

【详解】由题意，圆柱的底面半径为1,母线长为2,

根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为S=2“/=2TIX1X2=4，

【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7

8.（2018•全国II卷•高考真题）己知圆锥的顶点为S,母线"，S8所成角的余弦值为G,S/与圆锥底面

所成角为45。，若AS/S的面积为5、后，则该圆锥的侧面积为.

【答案】4g

【分析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公

式求出结果.

7叵

【详解】因为母线弘，S8所成角的余弦值为8,所以母线"，SB所成角的正弦值为8,因为

2

.[―.lx/x—=5>/15.-./=4>/5

△SNA的面积为5J15,设母线长为/，所以28,

/cos—=—/

因为“与圆锥底面所成角为45。，所以底面半径为42

nrl=——nl1=40JLt

因此圆锥的侧面积为2

【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式

求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解.

考点03求体积

1

1.（2026•全国二卷•高考真题）已知楼台的上、下底面均是有一个内角为60。的菱形，上、下底面的边长

分别为2,3,该棱台的高为百，则其体积为（）

19191919

A.12B.6C.4D.2

【答案】D

【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.

1-

2x—x2x2xsin600=2

【详解】由题意，得棱台的.上底面面积为2,

|9-73

2x—x3x3xsin60°=---

下底面面积为22,

I（26+际^+延卜行」X（2036]x"

所以该棱台的体积为3I22J3（2）2

2.（202小天津•高考真题）在如图五面体48C-O四中，棱互相平行，旦两两之间距离均为

1.若4°=1，BE=2CF=3.则该五面体的体积为（）

石且！在3G1

A.6B.42C.2D.42

【答案】C

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌,

使得D,N；重合，

因为40〃的CF,且两两之间距离为1.AD=1、BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱，

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

IjzJ/xlxlx迈“4=3

1V

ABC-DEF2ABC-HU2222

故选：C.

1

B

3.（2023•全国甲卷・高考真题）在三棱锥P-力AC中，是边长为2的等边三角形,

PA=PB=2、PC=&,则该棱锥为体积为（）

A.1B.6C.2D.3

【答案】A

【分析】证明48,平面产/0，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为48得解.

【详解】取力8中点E,连接尸及CE,如图，

;.PE上AB,CE工AB工尸石,。£<=平面尸ECPEcCE=E,

■幺旦上平面PEC,

PE=CE=2x=y/3（-

又2,PC=限,

故PC?=PE2+CE2,即PE_LCE,

）,/=Vn-PEC+yA-PEc={s^PEc，48=!X：X6X6X2=1

所以332

故选：A

4.（2023•全国乙卷•高考真题）已知圆锥。。的底面半径为百，O为底面圆心，PA,。4为圆锥的母线,

9G

N408=120。，若△44的面积等于丁，则该圆锥的体枳为（）

A.汽B.瓜兀C.34D.3而r

【答案】B

1

【分析［根据给定条件，利川三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在中，乙衣用=120°,而OA=OB=5取力8中点C,连接℃，PC,有

OC_LAB,PC_LABh'；＜|

9G

由△48的面积为丁，得

V=-7txOA2xPO=-nx(y/3)2xy/6=y/6Ti

所以圆锥的体积33

故选：B

PM=-PC

5.（2023•大津•高考真题）在三校锥产一月3C中，点MN分别在棱PCP8上，且3,

PN=-PB

3，则三棱锥尸-4MN和三棱锥尸-48c的体积之比为（）

24

A.§B.§C.3D.9

【答案】B

【分析】分别过作”“3尸4，。。'_1力1,垂足分别为知',。'过8作88'_1平面产40,垂足为4’,连接

产夕,过N作NNU尸8',垂足为M,先证AW,1平面力C,则可得到8B'〃NN',再证MW//CC'.由三角形相

MM'1NN'_2Vp-AMN=—N-PdM

似得到CC3,BB'3,再由Vp-ABCVB-PAC即可求出体积比.

【详解】如图，分别过作M才1"，。。’1",垂足分别为"'，厂.过8作88」平面4C,垂足为4,

连接P8,,过N作MV'1P*.垂足为M.

1

因为88」平面/MC,BB'u平面PBB',所以平面_L平面P/iC.

乂因为平面尸88'n平面4C=P8',NN'iPB',NN'u平面FBB',所以AW'J.平面P/C,且BB'HNN.

PM_MM1_1

在APCC'中，因为MW'_L尸4"'J.",所以MH7/CC',所以尸。CC'3

PN_NN'_2

在△P88'中，奥为BB'HNN'、所以尸8BB‘3

-SNN'LpAMM'

r/.NM

Vp-AMN1/cArAM

VN-PAA4_5_r(、2,_2

Vp-ABCi|1PA-CC'-9

*”^ACBB'・BB'

3,

所以12)

故选：B

6.(2022•全国甲卷・高考真题)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积

S甲%―

分别为S甲和S乙，体枳分别为%和%.若S乙，则巳()

5后

A.百B.2夜C.布D.4

【答案】C

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为3乙圆锥底面圆半径为d根据圆锥的侧面积公式可得'；二2乐

再结合圆心角之和可将不弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式

即可得解.

【详解】解：设母线长为乙甲圆锥底面半径为1,乙圆锥底面圆半径为“，

r

则S乙仃Ji

1

所以耳=2々,

2乃《24居_

——-+——-=2-T

又/

则/

Ai=-/,/2=-/

所以323.

所以甲圆锥的高"一

故选:C.

7.（2022・全国乙卷・高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1i昱旦

A.3R.2C.3D.2

【答案】C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面N8C。所在小圆距离一定时，底面面积最大值

为2/,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的

体积最大时其高的值.

【详解】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,

设四边形ABCD对角线夹角为二,

S=—■AC•BDsina<—AC-BD<--2r-2r=2r'

则由isr“n222

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2，

1

又设四棱锥的高为〃，则/+/=1,

心正

当且仅当〃=2始即-3时等号成立.

故选：C

［方法二］:统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，・，则

一七人

2",所以该四棱锥的高-Fl,

3/后塌;（唱）

a2_j_«：a2=-

（当且仅当4=-2,即“一3时，等号成立）

h=Jl--=fl^=—

所以该四棱锥的体积最大时，其高'2'33.

故选：C.［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为人则

2

r=^-a/i=11--V=-aJl~—2

2,所以该四棱锥的高I2,3Y2,令i-=«0<f<2)

为）=y,则3号

44

0</<-单调递增，3<Z<单调递减,

3

二:v仁户立

所以当?时，P最大，此时V23.

故选：C.

【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.

8.（2022・新高考全国【卷•高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积

1

为36兀，且3W/436,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.nR.L7不c.D.[1&27]

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为上由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四校锥体枳的取值范围.

设正四棱锥的底面边长为2。，高为人,

则-=2/+/,32=2/+(3-〃匕

所以劭=产,2aH2

“1E142』2“2厂、1if,4/6

V=-Sh=-x4u'x//=-x(/'---)x-----/-----

所以正四棱锥的体积3333669136

所以

当34/42指时，r>o,当2c</43百时，r<o,

64

所以当/=2石时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为丁,

r=27r=81

又，=3时，~4,/=3仃时，-4,

27

所以正四棱锥的体积P的最小值为4,

'2164一

所以该正四棱锥体积的取值范围是I4’3一

故选：C.

［方法二］：基本不等式法

1

P=g/〃=g(6，L〃2»=；(12_2〃)"Y；x「02—2〃)+〃+"

y（

由方法•故所以3J当且仅当〃=4取到）,

.34..I,1,3>/3，327

h=—a=-f=-K=-a2//=-(—=-)x-=—;

当2时，得0,则in330，24'

//=3+3=9

当/=36时，球心在正四棱锥高线上，此时‘-5+-2,

413733丛..12,l/W5\298164

22&，正四棱锥体积33后243,故该正四棱锥体积的取值范围是

[红-]

L4'3」.

9.（2022・新高考全国I卷•高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水

蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140km」：水位为海拔157.5m时，相应水

面的面积为180km」将该水库在这两个水位间的形状看作•个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到

157.5m时，增加的水量约为（⑺“2.65）（）

9393

A.LOxIO9mB.L2xl00m3C,1.4xl0mD.l.6xl0m

【答案】C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为“'=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水晶即为棱台的体积>.

楂台下底面积S=140knf=140x1012,上底面积S'=ISOkn?=出乂及由？，

r=i//（54-S,+VS57）=1x9x^40xl06+180xl06+V140xl80xl012^

=3x^20+60>/7）xl06«（96+18x2.65）xl07=1.437xl09^1.4xl09（m3）

H

故选：C.

1

IO.(202I・新高考全国n卷•高考真题)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为

()

56280

A.20+12石B.28&c.3D.3

【答案】D

【分析】由四校台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面枳，再由校台的体枳公式即可得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高〃="-(2后0;立

下底面面积1=16,上底面面积$2=4,

r=-//(5+S,+Js^7)=-xV2x(i6+4+V64)=—V2

所以该棱台的体积331—一3«73.

故选：D.

11.(2021・北京・高考真题)某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平

面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量(单位：mm).24h降雨量的等级划分如下：

1

................

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25g9.9

暴雨50.0-99.9

...............

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过

程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，-个半径为2'的圆面内的降雨充满一个底面半径为2300

高为150（mm）的圆锥，

-x502x150

（1=---------——=12.5（mm）

所以积水厚度"X100-，,属于中雨.

故选：B.

12.（2018・全国【卷・高考真题）在长方体""8一"SGA中，AB=BC=2,'G与平面所成的角

为30",则该长方体的体积为

A.8B.6&C.8&D.8百

【答案】C

【分析】首先画出长方体"88-44G",利用题中条件，得到/"G8=30；根据/B=2,求得

%=26,可以确定华=2五，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.

【详解】在长方体-44GR中，连接8G,

1

根据线面角的定义可知40/=初°,

因为"=2,所以3二26，从而求得CG=2近,

所以该长方体的体积为P=2X2X2&=80,故选c.

【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高

的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要

明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.

13.（2017・全国III卷•高考真题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面

上，则该圆柱的体积为

3兀

A.兀B.4

nn

C.2D.4

【答案】B

【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC=iM=2,

结合勾股定理，底面半径邛，

/=兀,人=兀x［立］X1=2H

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是12J4

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一

般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何

1

体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的

半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

14.（2022•新高考全国II卷•高考真题）如图，四边形48co为正方形，ED工平面4BCD,

FB〃ED"B=ED=2FB,记三棱锥七-力。。，F-ABCyE―CE的体积分别为味匕，匕，则（）

A.匕=2%B.匕=匕

C,匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算几修，连接6。交40于点连接尸由匕=匕+'C-EFM计算出

匕，依次判断选项即可.

111/、24?

设,48=ED=2q=2"，因为瓦）1平面”。，心||即，则।3'…3’3,

-332V73，连接8。交力C于点M,连接EM,我“，易得80147,

又EZ）JL平面48CO,4Cu平面48CZ）,则EQ14C,又£。08。=。，ED,BDu平面BDEF,则

/0，平面4。£产，

BM=DM、BD=E

乂2,过E作尸G_LQf丁G,易得四边形8DG广为矩形，则

1

FG=BD=2y[2a,EG=a

=y/(2a)2+(72aj=疯,FM={a2+&aj=®EF=卜+@而)=3a

222

EM+FM=EF1则EW1EM,'

22,AC=2y/2af

，&EFM厂।一W1/—31/w、r一一

则ri*3=A-£FM+I'C-EFM二，3AC'S=20,,则“3-必，匕一"2,々V一~八V十-\〃-V2,故A、B错误：C、D正确.

故选：CD.

15.（2025•上海・高考真题）如图，在正四棱柱"88-48GA中，BD=44l,DB、=9则该工四棱柱的

体积为.

【答案】H2

【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.

【详解】因为8。=4及且四边形48。为正方形，故历1=4,

而期=9,故研+g=81,故网=7,

故所求体积为7x16=112,

故答案为：112.

16.（2024・北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是俞、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升

量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径

依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为

115

【答案】2357.5/2

【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程沮，求出其解后可得前两个圆柱的高度.

1

325、325、

7tx230

2)2>

2-二一——=10

1325

7t71

【详解】设升量器的高为1％斗量器的高为生（单位都是mm),则

,115

.”It=-mm

故力2=23mm,'2

2「3mm,U5mm

故答案为：2.

17.（2024・全国甲卷•高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为4,下底面半径均为圆台的母线长分

别为2（弓F）,36F）,则圆台甲与乙的体积之比为.

逅

【答案】7

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

［详解】由题可得两个圆台的高分别为膈==66-G）,

屹==2也6-a）

h6«-《）_#

厂2可_幻一7

所以3「v»

76

故答案为：4

18.（2023・新课标I卷高考真题）在正四棱台/88-48GA中，"8=2,4£=1,44=也，则该棱台的

体积为

【答案】吟评

【分析】结合图像，依次求得4G，力。，4历