与平面向量有关的最值、范围问题

微专题17与平面向量有关的最值、范围问题

高考定位i.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查,

难度中档；2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.

【真题体验】

1.(2017•全国HI卷)在矩形A8CO中，AB=i,AO=2,动点P在以点。为圆心且

与相切的圆上.若祚=派+〃屐)，贝的最大值为()

B.26

C.小

答案A

解析如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则8(1,0),0(0,2),C(l,

2),直线8。的方程为y=-2r+2,

ABx

QC方程为(X—1)2+0-2)2=户,

又病=(1,0),屐)=(0,2),

则#=1油+4Ab=«,2〃)，

因为P点坐标可表示为x=l+rcos0=入,

y=2+rsin9=2",

则Z+〃=2+；sin夕+rcos0

=2+^^sin(9+9),

2.（2023•全国乙卷）已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点A,直线尸8与

。。交于8,C两点，D为的中点，若|PO|=JL则成•用的最大值为（）

1±^2J+2加

/A>.2D.2

C.1+V2D.2+啦

答案A

解析连接04,由题可知|O4|=l,OA±PA.

因为|02|=也，所以由勾股定理可得|%|=1,

7T

则/尸04=不

设直线OP绕点、P按逆时针旋转o后与直线PD重合，则一

NAPD=；+0,且|PD|=d^cos〃.

所以顼•而=|函||①|85。+。)=啦COS0-

cos(；+0)=也cos。(乎cos夕一半sin0)

=cos2^—sin9cos^=^+1cos2^—^sin29

=；+乎cos(2〃+：)W：+乎，故选A.

3.（2024・天津卷）在边长为1的正方形A8C。中，E为线段CO的三等分点，CE=1

DE,BE=XBA+fiBCf则2+M=；尸为线段BE上的动点，G为AR的中

点，则布•虎的最小值为.

4

3

解析以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),8(1,0),C(l,1),D(0,1),庭，1

所以还=（一/1）,放=（一1,0）,於=（0,1）,

因为诙=2旗+〃於，

所以（一/1）=4-1，。）+〃（。,1）,

14

所以"=1,所以/+〃=§.

由8（1,0）,《|,1）可得直线BE的方程为

y=-3（x-l）,

设尸3,3-3从沁司，则醇与，，

所以#=（小3-3^7）,历=（$

］一3«3（3V3

所以A?7•虎=〃£+（3_3Q>-^=5〃2—6〃+孑=5Q―1—T77

nc

所以当时，彳穴比取得最小值，为一言.

J1O

4.（2022.浙江卷）设点尸在单位圆的内接正八边形A加…48的边4A2上，则两彳十或

夕+…+或"的取值范围是_______,

答案[12+2^2,16]

解析以圆心为原点，A泊3所在直线为X轴，44所在直线为），轴建立平面直角

坐标系，如图所示,

则Ai（0,1）,4（乎,竽）,

—1)，

4一坐,一坐）,A7（-l,

设P(x,y),

于是成彳+/3+…+/&=8(f+V)+8,

因为cos22.5°W|OP|W1,

”,、J+cos45°）一〜

所以---------Wf+y<1,

故成?+庆2+・・・+庆弼取值范围是[12+2啦，16].

【热点突破】

热点一向量模的最值、范围

I核心归纳

向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合

平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.

例1(1)已知单位向量a,b满足|〃一"+25。0=0,则|m+A|(/£R)的最小值为

()

A半B雪

JL

C.半D半

(2)(2024•长沙质检)已知a,b,c都是平面向量,且|。|=|4〃一"=1,若〈q,c)=

,则仍一c|的最小值为()

A.lB.小

C.2D.3

答案(1)B(2)A

解析(1)由|a一"+24。6=0,

得|a一例=一2而〃功，

两边平方,得。2—2。•6+从=12(0仍)2,

即6(a・b)2+a+—1=0,

解得〃.〃=—；或ab=g.

因为|〃一臼=一25a仍20,

所以oAWO,

所以4仍=一看

所以阳+臼=yl\ta-\~b\2

=［尸+1-h2ta-b=yJt2—t-\-1

T时，

表达式取得最小直

(2)依题意可设。=为=(1,0),b=OB=(x,y),c=OCt则4°-6=(4一右一y),

又|4〃一创=1,所以4(4—x)2+(―>,)2=1,

即(X—4)2+)，2=1,

则点8在以0(4,0)为圆心，半径厂=1的圆上运动，

因为(a,c)=/，所以点。在)，=工甲於>0)上运动，

V-*J

根据对称性不妨令点。在)，=号"r>0)上，

则由一cl表示圆。上的点8与尸拳gO)上的点C连线段的长度|8C],

、行4

因为圆心D到)，=拳乩>0)的距离d=7点2+]2=2,

所以g一c|二|8C|的最小值为18clmin=d-r=1,

即|b-c|的最小值为1.

规律方法模的范围或最值常见方法

⑴通过|肝=/转化为实数问题；

⑵数形结合；

(3)坐标法.

训练1(1)已知e为单位向量，向量。满足(a—e)・(a-5e)=0,则|〃+e|的最大值为

()

A.4B.5

C.6D.7

(2)己知直角梯形ABCQ中，AD//BC,N4OC=90。，40=2,BC=1,P是腰QC

上的动点，则I成+3标I的最小值为

答案(1)C(2)5

解析(1)可设e=(l,0),a=(xty),

则(〃-5e)=(x-I,y)-(x—5,y)=1一6x+5+)N=O,

即(X-3)2+)，2=4,

则0W5,—2WyW2,

\a-\-c\=«(%+])2+)2=yfSx—4,

当x=5时，寸8工一4取得最大值6,

即|a+e|的最大值为6.

(2)如图，以DA,QC所在直线分别为居)，轴建立平面直角坐标系.

则A(2,0),B(l,a),C(0,a),D(0,0),

设P(0,与(OWbWa),

则戌=(2,一b),丽=(1,a-b),

・••成+3丽=(5,3a~4b),

・•・|/+3两|=#25+(3。-46)225,

即当3a=4b时,取得最小值5.

热点二向量数量积的最值、范围

I核心归纳

数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解;

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量

积的两个向量用基底表示后，再运算.

例2(1)(2024•北京朝阳区模拟)在△A8C中，AB=AC=2,BC=2，5,点P在线段

上.当前•丽取得最小值时，|两=()

A坐B兴

37

C--

4D.4

（2）如图，已知正方形ABCD的边长为4,若动点户在以AB为直径的半圆上（含边

界），则正•用的取值范围为（）

A.(0,B.[(),161

C.(0,4)D.[0,4]

答案⑴B(2)B

解析（1）如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线建立y轴，建立平

面直角坐标系,

由A8=AC=2,BC=20

贝I」OA=722一(")2=葭

所以A(0,1),B(f,0),C(V§,0),

设P（x,0）,则或=（一羽1）,而=（一小一x,0）,

此时两=惇，"，阚=［图2+1=挈

⑵取。。的中点E,连接PE,如图所示,

所以尸E的取值范围是可，AE,即[2,2小],

又由无•用=（无+的•（走+曲）=亦一丁=亦一4,

所以正•用£[0,16].

规律方法结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转

化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.

训练2⑴已知四边形ABC。是边长为1的正方形,P为对角线AC上一点，则防（而

+尸£＞）的最小值是（）

A.OBL；

C.—；D.—2

（2）（2024・福州调研）在△A3C中，4=90。，AB=AC=4,点M为边A5的中点，点

P在边BC上，则称•通的最小值为.

9

答案

⑴用-

2

解析（1）作出如图所示的图形，PA\PB^Pb）=PA-2P0.

令懑=沆，则2£[0,1],

(2)以4为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知8(4,0),C(0,

4),M(2,0),

设P(x,4—x),OWxW4,

所以证=(工一2,4-x),CP=(x,-X),

3

-

由二次函数的性质知,2而•0取最小鱼一弓.

热点三向量夹角的最值、范围

核心归纳

求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表

示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.

例3(2024・安庆模拟)己知点P(l,()),C((),5),O是坐标原点，点3满足|病|

=1,则称与两夹角的最大值为()

571「2兀

ATBT

球D3

答案A

解析设点8(x,y),可得BC=(—x,小一y),

因为|的=1,可得何+。一#)2=1,

即点〃的轨迹是以C(O,小)为圆心，半径厂=1的圆.

如图所示，当直线8。与圆C相切且切线在圆心下方时，直线8P的倾斜角最大,

即称与丽的夹角最大.

设过点「与圆。相切的直线P8的方程为），=k（x—1）,即日一y—&=0/<0）,

则圆心到直线的距离等于圆的半径，

可得j解得Q一里

设切线的倾斜角为Q（0W〃V7T）,

则tana=­W，可得。=华，

30

即次与而夹角的最大值为卷

规律方法解答本题的关键是确定动点8的轨迹后，数形结合求解，把两向量夹

角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题.

训练3（2024•石家庄质检）在平行四边形4BCO中，"+幺巴附小,2],

\AB\\AD\\AC\

则cos/BAD的取值范围是________.

Mg「311

答案[_『-4

解析因为四边形A8CQ是平行四边形，

所以危=福+启,

两边同乘以一

\AC\

遗=逊+逊

可得

\AC\\AC\\AC\

,AB,2AD

结z合A---+----=---,

\AB\\AD\\AC\

不妨设|德|=1,则|通）|=2,\AC\=h2e[V2,2],

则在△ABC中，|反]=而|=2,

.A4+8C2—AC25一乃「[3-|

可付cos8=2ABBC=4气7

因为在平行四边形ABC。中，/BAD=LB,

31

---

所以cosN8A£>=—cos8W甲4

热点四向量系数的最值、范围

核心归纳

此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然

后利用函数的性质或基本不等式求解.

例4(1)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,

^AP=xAB+yACf则2x+2y的最大值为()

8

-

3

4

AC.-

3

(2)(2024•兰州调研)设点P在以A为圆心，1为半径的圆弧8c上运动(包含氏C两

个端点)，且崩府，则x+y的取值范围为.

AB

答案(1)A(2)[1,2]

解析(1)作BC的平行线与圆相交于点P,与直线相交于点E,与直线AC相

交于点F,

IE

设成=/1^后+〃彳齐，贝|2+〃=1,

因为等边三角形边长为2,所以外接圆半径为苧,

Q

当点P为切点时，AE=AF=y

4/7AT

因为所以设力=五A二C=鼠

■4"

则此［o,升

当点P为切点时，A有最大值

则施=由，AF=kAC,崩=施+〃病=乂筋+〃商t,

4

所以工=独，丫=冰,贝ijx+y=M+〃Z=(2+〃)A=RWg,

4X

所以x+)的最大值为小故2x+2y的最大值为京

(2)建立如图所示的直僚坐标系，

则A(0,0),B(l,0),叫

设"(cos仇sin⑺0,亨］),

所以病=(1,0),AC=

因此有乂而+)尼=x-5,阳,

因为AP=(cos。，sinG),AP=xAB-\-yACt

cos夕=x一5,

所以有

.口正

sin0=2y»

贝4x+y=cos夕+小sin9=2sin(0+§,

因为夕£0,与，所以伊吟£y

所以sin(<9+£1,1,

故x+），£[l,2J,

所以x+）的取值范围为[1,2].

规律方法解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论

⑴。〃从=＞。=助（斤0）.

（2）醇=2协+〃沆（九，〃为实数），则A,B,。三点共线=4+〃=1,进行转化，

列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.

训练4（2024.青岛模拟）己知点P是△ABC所在平面内的一点，且/=昴一/公

（reR）,若点尸在△A8C的内部（不包含边界），则实数，的取值范围是.

答案（0,|）

解析在AB上取一点。，使得病=抑，

过点D作DP//AC交BC于点P,过点P作PE//AD交AC于点E,

由平面几何知识易知篇1=]危，

由向量加法的平行四边形法则，得力=严+1危.

2

若点。落在△A8C的内部，贝iJOvq.

【精准强化练】

一、单选题

1.已知向量。=（4，1）,6=（1,小）,则依一例QWR）的最小值为（）

A.2B.乎

C.lD#

答案C

解析由题意可得痴一b=2（S，1）—（1,小）=（小，—1,1一小）,

2.设向量万1=(1,-2),OB=(at-1),OC=(-b,0),其中O为坐标原点，〃>0,

I2

b>0,若A,B,C三点共线，则打烹的最小值为()

A.4B.6

C.8D.9

答案C

解析由题意得，AB=OB-OA=(a-\,1),Ac=(7C-04=(-/?-1,2),

♦「A,B,C三点共线，

・・・施=庆且/l£R,

以一1=-2(b+1),

则匕一可得2〃+。=1,

、2419

/(2〃+/?)=4+々+华24+2、巧手=8,

ab\abp7abab

当且仅当〃=2〃=；时，等号成立，

乙

12

的最小值为&

3.已知P：向量4=(—1,1)与5=(加，2)的夹角为锐角.若〃是假命题，则实数〃2

的取值范围是()

A.(-2,2)B.(—8,-2)U(-2,2)

C.{-2)U[2,+m)D」2,+m)

答案C

解析当向量〃=(—1,1)与》=(/〃，2)的夹角为锐角时，

有ab>0且a与方方向不相同，

—w+2>0,

即，,解得m<2且机W—2,

〔〃zW—2,

因为〃是假命题，

所以实数机的取值范围是{-2}U[2,+8).

4.(2024•呼和浩特模拟)在△ABC中，Q为线段AC的一个三等分点，\AD\=2\DC\.

连接8。，在线段8。上任取一点£,连接AE,若屈=〃危+鬲&,则/+序的

最小值为()

A於口5

A彳B，2

*Dt

答案C

解析・・・£在线段8。上,

：.AE=2AD-\-(\-X)ABtxG[(),1],

:。为线段AC的一个三等分点，\AD\=2\DC\f

.*.AD=1AC,

2.；

：

.AE=^JXAC+(\-A)AB=aAC-\-bAB,

2

由平面向量基本定理得。=[2,b=i—/.i

/.«2+Z?2=^A2+(l—z)2=-^A2—2x+1=^(%一爸+*

・,•当）=工9时,层+加取得最小值记4.

5.已知“，力满足同=1,回=2,〃6=0.若向量c满足M+b—2cl=1,则|c|的取值

范围是（）

A.[l,y[5-\]B

5

D

，2

解析设。=(1,0),b=(0,2),c=(x,y),

得a+方-2c=(l,0)+(0,2)—2(x,y)=(l—2x,2~2y).

♦・・|a+b—2d=1,/.(l-2x)2+(2-2y)2=1,

2

+(厂

..\X1)2=",

为圆心，半径为；的圆.

该方程表示的是以

则|c|表示圆上的点到原点的距离d,

圆心到原点的距离为

2，

故叩＜|c|W毕

，|c|的取值范围是下

6.(2024.杭州模拟)在平面直角坐标系xO)；中，己知尸(3,4),长度为2的线段AB

的端点分别落在人轴和尸轴上，则成•瓦的取值范围是()

A.[2,的B.[3,5]

C.[4,6]D.[15,35]

答案D

解析如图所示，建立直角坐标系.

由题意设A（〃，0）,B（0,b）,

其中0W|a|W2,0W|b|W2,

由|43|=2,得〃2+及=4,

令a=2cos仇Z?=2sin9,

所以A（2cos。0）,B（0,2sin0,

所以中=(2cos8—3,-4),两=(-3,2sin<9-4),

所以丽•丽=(—3)X(2cosJ—3)+(—4)X(2sin夕-4)=-6cos。+9—8sin8+16

3

=-10sin(6+p)+25,1an9=不

所以(成•丽)max=35,(或两nin=15,

所以成•访的取值范围是[15,35],故选D.

7.(2024•郑州模拟)在平面直角坐标系X。〉中，设A(2,4),B(—2,一4),动点P

满足协•庆=一1,则tanNPBO的最大值为()

组R也

则用=(—x,—y),庆=(2—x,4—y),

则POPA=—x(2—x)—v(4—y)=—1,

即/-21・+9-4)，+1=0,

化为(x—1)2+。-2户=4,则点P的轨迹为以。(1,2)为圆心，半径为2的圆,

又k0B===2=k0D,所以B,。，。三点共线，显然当直线P8与此圆相切时,

-2

tanZPBO的值最大.

又8。=、32+62=3小,PD=2,

则PBKB1)2-尸。2=：-4=旧,

则tanNP8°=缁=亩=邛¥,

8.(2024.广州调研)单位圆。：f+)2=l上有两定点41，0),8(0,1)及两动点C,

D,且无db=g,则如为+应.历的最大值是()

A.2+&B.2+2/

C乖一2D.2V5-2

答案A

解析取AB的中点E,C。的中点E

则以+砺=2无，OC-\-db=2OF.

由沆历=3,

知|dt||db|cosZCOD=cosZCOD=^

所以NCOO=?所以也。。。为等边三角形，

所以。尸=坐，易得OE=¥.

^^+DADB=（dA-dc）（dB-dc）-h（dA-ob）（dB-ob）

=2殖.油+交+历2—@+两•(沆+①)

=-4OEdr+2.

如图，当场，声方向相反时，一4丽•标+2有最大值，最大值为一4|的.|函cos

兀+2=4X乎X乎+2=2+福，

即以•访+3.所的最大值是2+,.故选A.

二、多选题

9.已知向量a,b,单位向量e,若a♦e=l,be=2,ab=3,则|。+"的可能取值为

()

A.3B.V10

C.VBD.6

答案CD

解析设e=(l,0),a=(x\yyi),b=gp),

由ae=l得xi=l,

由be=2得JQ=2,

由ab=x\X2-\~y\y2=3,可得y\y2=1,

则|a+例=«(a+〃)2=(xi+xz)24-(>?i+yz)2

=qii+)*+12、ii+2)"/=3"§,

当且仅当yi=)12=l时取等号.

10.(2024・厦门、福州等市质检)平面向量相，〃满足|列=|〃|=1,对任意的实数3

m-\n<加+词恒成立，贝U()

A.机与〃的夹角为60。

B.(m+m)2+(rn-m)2为定值

C.|〃一制的最小值为百

D.w在加+〃上的投影向量为玄机+〃)

答案AD

解析设平面向量m与n的夹角为仇

因为对任意的实数m—^n+恒成立，即帆2一加+2"兀•〃+

fill1恒成立，又|/〃|=|川=1,所以户+23s0+cos。对任意的实数，恒成立，

所以J=4cos2^—4cos®+1=(2cos<9—1)2^0,

则cos。总所以0=60。，故A正确.

对于B,(m^-tfi)2+(m-tn)2=1+2rcos60。+产+1+-一2fcos60。=2+2产，随t

的变化而变化，故B错误.

对于C,因为|〃一tm\=巾〃一"7Z|2=H1+产一2/cos60°="产-f+1,结合二次函数

的性质可知当时，1〃一〃川取最小值故C错误.

m-\-nm~\-n

对于向量ni+ii的一个单位向量e=由向量夹角公式可得

D,\m-\-n\小cos

_（，〃+〃）_।+2_近

〈，〃，)〃+〃〉则m在m+n上的投影向量为|刈・cos

\m\\m-\-n\一小一2

...小m-\~n1

\m,m\n）e=1XX小=］（，〃'〃），故D正确.

11.(2024.重庆诊断)重庆荣昌折扇是中国名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女,

深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环

并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COO,其中NC。/）

27r

=亍，。。=3。4=3,动点。在。上（含端点），连接。。交扇形048的弧叁于点

Q,且诙=袁它+），历，则下列说法正确的是（）

2..

A.若）=x,则x+y=QB.若y=2x,则万1•舁=0

C.ABPQ^-2D.成.丽瑞

答案ABD

解析如图，作OEJ_。。交弧CO于点区分别以OC,0E所在直线为x,），轴

由丽=工沆+），而可得cos0=3x—1y,sin且x20,y20.

对于A,若y=x,则cos汨+sin%=（3x—%）=1,

i?

解得尤=），=］（负值舍去），故x+y=g,A正确.

3

-

2sin6^=1,所以OP=(0,3),所以两•律

(o

对于油•的=（一/（仇

C,2J•-2cos—2sin0)=—y[3sin9+3cos0=-2y[3

5亩（。-

由于夕£0,专，故夕一招一1,

故一3W—2小sin（。一：）W3,故C错误.

对于D,由于a=（1—3cos。，—3sin6）,两=（—3cos仇坐一3sin。），

故防丽=（1—3cos。