直线的倾斜角与斜率（七大题型）（原卷版+解析）

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

时所转的最小正角记为a，则a叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0,所以，倾斜角的范围是。<a<180.

知识点诠释：

1、要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②/轴正向；

③小于180的角.

2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3、倾斜角a的范围是0Ka<180.当a=0时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对•应.

5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直

线的位置.

知识点二：直线的斜率

1、定义：

倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即4=lana.

知识点诠释：

(1)当直线/与x轴平行或直合时，a=0。，A：=tiin0o=0；

(2)直线/与x轴垂直时，a=90。，A•不存在.

由此可知，一条直线/的倾斜角a一定存在，但是斜率&不一定存在.

2、直线的倾斜角a与斜率h之间的关系

由斜率的定义可知，当a在（0,90）范围内时，直线的斜率夭于零；当a在（90,180）范围内时，直线的

斜率小于零；当a=0。时，直线的斜率为零；当。=90。时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜

角（90除外）为一一对应关系，且在［0,90）和（90,180）范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在［0,90）或（90,18（））范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小

即可，反之亦然.

知识点三：斜率公式

已知点《（再,X）、鸟（々,>2），且［6与x轴不垂直，过两点m，y）、鸟（再,必）的直线的斜率公式

斤=9.

工2一西

知识点诠释：

1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：

（I）当玉=々时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，帧斜角a=90。，直线与x轴垂直；

（2）“与e、鸟的顺序无关，即居.为和士.二在公式中的前后次序可以同时交换,仰分子与分母不

能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当x=当时，斜率4=0,直线的倾斜角a=0。，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

（1）由6、鸟点的坐标求&的值；

（2）已知女及％,x,占，月中的三个量可求第四个晟；

（3）已知攵及［、鸟的横坐标（或纵坐标）可求|々巴人

（4）证明三点共线.

知识点四：两直线平行的条件

设两条不重合的直线44的斜率分别为4人.若/J%，则4与4的倾斜角%与见相等.由%=%，可

得tanq=tana2,即4=&.

因此，若/J/1则，=&.

反之,若％=k2,则I"%。

知识点诠释：

1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为K&；②《与4不重合：

2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，'与的倾斜角都是90。，则W.

知识点五：两直线垂直的条件

设两条直线44的斜率分别为刑如若…,则M=T.

知识点诠释：

1公式4±/20仁•内=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为。时，两条直线也垂直.

【典例例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

例I.（2023•山东滨州•高二统考期末）直线3-3），+46=0的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

例2.（2023・高二课时练习）对于下列命题：①若8是直线1的倾斜角，则0。46<180。；②若直线倾斜角

为a,则它斜率左=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有

倾斜角.其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例3.（2023・福建福州・高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为。的直线/与直线

3=0的夹角为60。，则6的值为（）

A.30。或150。B.60。或0。C.90。或30。D.60。或180。

例4.（2023•江苏南京•高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）直线/经过4-1,0）,8（1,2）两点，

则直线/的倾斜角是（）

7Tc4「2乃—3冗

A.-B.-C.—D.—

6434

例5.（2023•新疆乌鲁木齐・高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）己知直线经过点（1,0）,（4,V3|,该直线的

倾斜角为（）.

5兀一兀-2兀

A.—B.-C.—D.—

6363

例6.（2023•湖南郴州•高二校考期中）直线n的倾斜角为150。,则它的斜率k=（）

A.立B.--C.75D.-V3

33

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

例7.（2023•福建宁德•高二统考期中）已知直线过42,3）,8（1,〃?）两点，且倾斜角为45。，则〃?=（）

A.0B.3C.2D.5

例8.（2023・高二课时练习）若如图中的直线的斜率为人出£，则（）

C.k?<k\<£D.h<卜<k、

例9.（2023・上海黄浦•高二上海市敬业中学校考期中）直线（〃+1卜-2@+1=0的倾斜角的取值范围是

（）

nnn3兀

A.B.C.

吟4,24'T

例10.（2023・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点A（3,4）,Q（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数〃的

取值范围为（）

「4_4〜4

B.a<—C.a>—D.a>—

33

例11.（2023•山东青岛•高二统考开学考试）已知直线/的斜率为T,则/的倾斜角为（）

A.30B.45C.60D.135

例12.（2023・湖南湘潭•高二校联考期末）若直线/的斜率为3且公=3,则直线/的倾斜角为（）

A.30或150B.45或135C.60或120D.90或180

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

例13.（2023•青海西宁•高二统考期末）经过点（18.8）,（4,-4）的直线的斜率为（）

A.-B.-C.-D.-

7777

例14.（2023•广西南宁•高二统考开学考试）已知A（3,2）,则直线A3的斜率为（）

A.—B.-C.—7D.7

77

例15.（2023♦浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知直线斜率等于-1,则该直线的倾斜角为

()

A.30°B.45°C.120°D.135°

例16.（2023・广东汕尾•高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若过两点M（3,），），N（0,G）的直

线的倾斜角为150。，则V的值为（）

A.+B.0C.-73D.3

例17.（2023•湖北荆州•高二统考阶段练习）若直线经过两点8（2-3肛2）,且其倾斜角为135。，

则m的值为（）

A.0B.—C.；D.—

224

例18.（2023•江苏连云港•高二统考期末）设〃为实数，已知过两点A（〃,3）,8（5,。）的直线的斜率为1,则

〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

例19.（2023•广东梅州•高二校联考阶段练习）已知点4（-3,4）1（5,10）,直线/过点0（0,0）旦与线段人〃相

交,则直线/的斜率的取值范围是（）

4

A.-p2B._3,一§32,+8)

4

C.[2收)D.-00,------

3

例20.（2023・广东深圳•高二统考期末）已知A（2,-3）、8（2,1）,若直线/经过点尸（0,-1）,且与线段A8有

交点，则/的斜率的取值范围为（）

A.(YO,-2]U[2,XO)B.[-2,2]

D.[-1,1]

例21.（2023.安徽滁州.高二校考期中）已知点A（-1,2）,5（2,-2）,C（0,3）,若点M（。⑼是线段4B上的

一点（。工0）,则直线CM的斜率的取值范围是（）

5B.[-|ojU(O,l]

A.

D.L'D

例22.（2023•广东肇庆•高二校考期中）已知两点A（-3,2）,8（21），过点尸（0,-1）的直线与线段A8有交

点，则直线/的倾斜角的取值范围为（）

71371

B.0,”

\

nn‘九3兀

D.

例23,（2023•江苏连云港•高二校考期末）经过点P（0,-1）作直线/,且直线/与连接点4（1,-2）,。（2,1）的

线段总有公共点，则直线/的倾斜角。的取值范围是（）

7C37cl_7T_/37r、

A.r[—»—1B.r[0,—]v[—,7i）

4444

C.[0,q）u[手,7t）D.|（）,争

244

例24.（2023•江苏盐城•高二盐城中学校考期末）已知A（2,0）、8（2,3）,直线/过定点尸（1,2）,且与线段

相交，则直线/的斜率k的取值范围是（）

A.-2<k<lB.--</:<!C.k*lD.k<-2^k>\

2

题型五：直线平行

例25.（2023•上海浦东新•高二校考期末）已知直线h：x+my-2m—2=0,直线b：mx+y-l-m=0,

当4//4时，m=

例26.（2023•江苏•高一专题练习）已知直线勺的倾斜角为60。，直线经过点A0,右），川-2,-2石），则

直线/.与12的位置关系是______.

例27.（2023・高二课时练习）直线乙的倾斜角为45，直线过山-2,-1）,8（3,4）,则直线：与4的位置关

系为.

例28,（2023•云南临沧•高二校考阶段练习）已知直线4：3x+q，+l=0,3（a+2）x+y+a=0.当//I

时，”.

例29.（2023・高二校考课时练习）已知两条直线y=-jx-l和）=（1-〃）x+l互相平行，则正数a的值为

例30.（2023・上海静安•高二校考期中）已知宜线4：%+@=1,4：⑪+），=1,若/J4，则实数。=.

题型六：直线垂直

例31.（2023・高二课时练习）直线《过点4（〃⑴和点8（-1,〃。，直线〃过点+和点

。（〃+1,〃-〃?），则直线《与6的位置关系是.

例32.（2023・全国•高二期中）已知45,-l）,B（l,l）,C（2,3）三点，则AABC为三角形.

例33.（2023・高二课时练习）已知两条直线/小的斜率是方程货+必-3=0（mwR）的两个根，则人与人的

位置关系是

例34.（2023,山东滨州•高二统考期末）已知直线以-2），-1=0与直线（4-1）工+@-1=。垂直，则实数a的

值为.

例35.（2023•广东广州高二广州市培正中学校考期中）已知经过点人（-2,0）和点3（1,3）的直线L与经过点

。（。,-1）和点。（4，-2〃）的直线/2互相垂直，则实数。=.

例36.（2023・高二课时练习）已知直线）经过点A（3M）,8（4-Z3）,直线4经过点。（2,3）,。（-1,〃-2）,若

3?，则。的值为.

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用

例37.（2023・高二课时练习）在平面直角坐标系My中，设三角形A8C的顶点分别为A（0,a）,8e,0）,

C（c,0）,点P（0,p）是线段AO上的一点（异于端点），设。，力CP均为非零实数，直线分别交

4C,48于点E,尸，若BELAC,求证：CFJ.AB.

例38.(2023・高二课时练习)已知A(l,3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,

求点D的坐标.

例39.(2023・全国•高二专题练习)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是

0(0,0),P(l,r),Q(l-2f,2+z),R(-2/,2),其中fe(0,”)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证

明.

例40.(2023・全国•高二专题练习)已知4(1,2),8(5,0),C(34).

(1)若A,B,C,。可以构成平行四边形，求点。的坐标；

(2)在(1)的条件下，判断A,B,C,。构成的平行四边形是否为菱形.

例41.(2023・全国•高二专题练习)已知四边形ABCD的顶点8(6,1),C(3,3),。(2,5),是否存在点A,

使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标：若不存在，请说明理由.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•江西萍乡•高二统考期末）若直线4：依+3），+2=0与直线/2：工一（。+1万+。=0垂直，则实数。=

（）

A.0B.1C.—D.—

42

2.（2023•高二课时练习）已知直线1的倾斜角为135。，直线4经过点43,2）,33,7）,且《与|垂直，直

2

线/,：丁=-尸+1与直线4平行，则4+6等于（）

b

A.-4B.-2C.0D.2

3.（2023・广东汕头•高二金山中学校考期中）已知两条直线4：如+5-2）），-1=0,6：3x+缈+2=0,则

4%是〃=-1的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023・高二课时练习）以A（-2,-1）,8（4,2）,。（2,6）,"-3,1）为顶点的四边形是（）

A.平行四边形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角

梯形

5.（2023•江西抚州•高二统考期末）已知坐标平面内三点A（Tl）,B（I/），C（2,>/5+l）,。为/8C的边AC

上一动点，则直线80斜率攵的变化范围是（）

B.(F0]U[坐,■Ko

A.。由

C.D.(-OO,0]U[6+8)

6.（2023•安徽六安•高二校考阶段练习）已知4（2,0）,8（4,4）,若Q（〃?,〃）在线段48上，则4〃?一3〃的最

小值为（）

A.-8B.8C.-4D.4

7.（2023・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点八（3,4）,。（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数〃的取值

范围为（）

A.人士4-44

B.a<-C♦a>一D.a>-

3333

8.（2023•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）己知颂斜角为夕的直线/与直线3=0的

夹角为60。，则。的值为（）

A.30。或150。B.60。或0。C.90。或30。D.60。或180。

二、多选题

9.（2023•山东济南•高二校考期中）若乙与4为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是％，%，斜率分别

为《，友,则下列命题正确的是（）

A.若斜率尤=自，则l\〃hB.若攵他=-1,JlilJ/,1/2

C.若倾斜角%=。2，则l\〃kD.若%+%=兀，则/I_LZ,

10.（2023・高二课时练习）若直线/与入轴交于点A,其倾斜角为。，直线/绕点A顺时针旋转45。

后得直线心则直线4的倾斜角可能为（）

A.a+45°B.a+135。C.a-45°D.I35°-a

II.（2023•山西长治・高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知点4（0,6），8（2,1）,若过点（1,0）的

直线/与线段A4相交，则直线/的倾斜角可以是（）

A.30°B.60°C.90°D.150°

12.（2023・高二课时练习）已知点。（0,0）,A（0,b）,网《心.若,.OAB为直角三角形,则可能有（）

A.b=«3B.b="+—

C.ZAOB=90°D.但一步|十%一/一｝=（）

三、填空题

13.（2023・广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中）直线/:后-3.、，-2=0的倾斜角是.

14.（2023・高二课时练习）已知直线4经过点从（3,4）,36-2,3）,直线4经过点。（2,3）,。（-1"；-2）,若

则。的值为.

15.（2023・高二课时练习）直线1的斜率为匕且火乎,则直线1的倾斜角的取值范围是

⑹（2023•全国•高二专题练习,若实数4、），满足尸…3,XE,则代数式冷的取值范围为

四、解答题

17.（2023・广东汕尾•高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）己知A（3,3）,8（-4,2）,C（0,-2）.

（1）求直线A3和AC的斜率；

（2）若点。在线段从4（包括端点）上移动时，求直线CD的斜率的取值范围.

18.（2023•青海海南,高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）根据下列给定的条件，判断两直线的位

置关系.

(1川经过点A(2,1),B(-3,5),12经过点C(3,-3),D(8,-7)；

(2)h的斜率为-10,12经过点A(1D,2),B(20,3).

19.(2023・河南•高二校联考阶段练习)判断下列三点是否在同一条直线上:

⑴A(-3,1)1(2,-4),C(3,0)；

⑵D(5,-l),E(-l,2),F(-5,4).

20.(2023•高二课时练习)己知点41,0),6(0,2),点尸(〃,〃)在线段A6上.

(1)求直线A8的斜率；

(2)求曲的最大值.

21.(2023・高二课时练习)在平面直角坐标系xQy中，设三角形A3C的顶点分别为A(0,a),以上0),

C(c,0),点P(0,p)是线段AO上H勺一点(异于端点),设a,仇c卬均为非零实数,直线。P,CP分别交

AC,A8于点£尸，若跖_LAC,求证：CF1AB.

22.(2023・山西太原•高二山西大附中校考阶段练习)己知坐标平面内三点A(-2,T),网

⑴求直线AB的斜率和倾斜角；

⑵若A4,C,。可以构成平行四边形，且点。在第一象限，求点。的坐标;

⑶若石（利〃）是线段AC上一动点，求一二的取值范围.

〃？一2

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于•条与1轴相交的直线，如果把X地绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

时所转的最小正角记为a,则。叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0,所以，倾斜角的范围是。<«<180.

知识点诠释：

1、要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②x轴正向；

③小于180的角.

2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3、倾斜角a的范围是0Wa<180.当a=0时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直

线的位置.

知识点二：直线的斜率

1、定义：

倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用Z表示，即攵=tana.

知识点诠释：

(1)当直线/与x轴平行或直合时，a=0。，A:=tan0°=0；

(2)直线/与x轴垂直时，-=90。,火不存在.

由此可知，一条直线,的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

2、直线的倾斜角a与斜率&之间的关系

由斜率的定义可知，当a在（0,90）范围内时，直线的斜率天于零：当a在（90,180）范围内时，直线的

斜率小于零；当a=0。时，直线的斜率为零；当2=90。时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜

角（90除外）为一一对应关系，且在［0,90）和（90,180）范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角

越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在［0,90）或（90,18（））范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小

即可,反之亦然.

知识点三：斜率公式

已知点［（西,,）、6（勺，%）：且［鸟与X轴不垂直，过两点q（x，y）、鸟（3,以）的直线的斜率公式

々一苦

知识点诠释：

1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：

（1）当巧-勺时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a-90。，直线与X轴垂直；

（2）k与《、鸟的顺序无关，即力和百，/在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不

能交换：

（3）斜率后可以不通过倾斜角而宜接由直线上两点的坐标求得；

（4）当）1=为时.，斜率左=0,直线的倾斜角a=0。，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

（1）由《、鸟点的坐标求人的值；

（2）已知k及X、,%,々，片中的三个量可求第四个量；

（3）已知攵及《、鸟的横坐标（或纵坐标）可求|片乙|;

（4）证明三点共线.

知识点四：两直线平行的条件

设两条不重合的直线4,的斜率分别为若则4与4的倾斜角%与%相等.由％=%，可

得tanax=taila2,即4=&.

因此，若/J/1则4=&.

反之，若&=右,则4/4.

知识点诠释：

1、公式4/4=£=内成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为K&；②《与4不重合；

2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，4与4的倾斜角都是90。，则W〃2・

知识点五：两直线垂直的条件

设两条直线44的斜率分别为4，七・若则人心2=-1.

知识点诠释：

1、公式4"L，2山2=T成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为。时•，两条直线也垂直.

【典例例题】

题型一；直线的倾斜角与斜率定义

例1.（2023•山东滨州•高二统考期末）直线氐-3），+46=0的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】A

【解析】因为直线Gx-3y+4G=0的斜率为女=立，因此，该直线的倾斜角为30.

3

故选：A.

例2.（2。23•高二课时练习）对于卜列命题：①若"是直线1的倾斜角，则。吃少V180。；②若直线倾斜角

为a,则它斜率&=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有

倾斜角.其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①：若。是直线的倾斜角，则0。工0<180。：满足直线倾斜角的定义，则①正确；

对于②：直线倾斜角为。且。工90。，它的斜率〃=tana；倾斜角为90。时没有斜率，所以②错误；

对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不•定有斜率；因为倾斜角为90。时没有斜率，所以③正确；④错

误；

其中正确说法的个数为2.

故选:B.

例3.（2023・福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为0的直线/与直线

x+6y-3=0的夹角为60。，则6的值为（）

A.30。或】50。B.60。或0。C.90。或30。D.60。或180。

【答案】C

【解析】x+百y-3=0,即）,=_立丹&,

3

设直线的倾斜角为8,℃[0,兀），则03=-咚，9=150。，

夹角为60。，故6=90。或<9=30。.

故选：C.

例4.（2023•江苏南京・高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）直线/经过A（-1,0）,8（1,2）两点，

则直线/的倾斜角是（）

A.工B.工C.二D.亚

6434

【答案】B

【解析】设直线的倾斜角为。，由已知可得直线的斜率％=tana=；^=l,

1+1

又。句0,乃），所以倾斜角是?，

故选：B.

例5.（2023•新疆乌鲁木齐・高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）已知直线经过点（L0）,（4,x/3|,该直线的

倾斜角为（）.

5兀一兀一冗-2兀

A.—B.-C.—D.—

6363

【答案】C

【解析】因为直线过点A0,O）,B（4,⑹,

所以直线的斜率为正於=在，

4-13

设直线的倾斜角为。，则lana=@，

3

因为0«。＜兀，所以。=4，

6

故选：C.

例6.（2023・湖南郴州•高二校考期中）直线n的倾斜角为150。，则它的斜率k=（）

A.2B.一且C.6D.-x/3

33

【答案】B

［解析］它的斜率k=tan150°=-tan30°=--.

3

故选:B

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

例7.（2023•福建宁德•高二统考期中）已知直线过42,3）,3（1网）两点,且倾斜角为45。,则〃?=（）

A.0B.3C.2D.5

【答案】C

【解析】因为直线过42,3）,两点,且倾斜角为45。,

所以央=345。=1,解得〃?=2,

2-1

故选：C.

例8.（2023・高二课时练习）若如图中的直线444的斜率为勺冉，勺，则（）

【解析】设直线的倾斜角分别为显然入（0,3匹信，aw作兀｝且。>八

所以&=tany>0,勺=tana<0,&=lan/<0,

又y=tanx在xe兀）上单调递噌，故仁=tana>tan〃=&,

所以心<%<%.

故选：C

例9.（2023・上海黄浦•高二上海市敬业中学校考期中）直线（〃+1卜-2砂+1=（）的倾斜角的取值范围是

（）

八兀[「冗冗[「九3冗[「八九]「3九、

A.0,-B.C.D.0,-u—,7t

L4j[42」[44」L4jL4J

【答案】C

【解析】由题意知，若〃=0，则倾斜角为。=5，

若”工0,则女=?+

加2

①当。>0时，@+-!-22、口.-!-=1（当且仅当。=1时，取“=”），

22aV22a

②当a<0时，—（三+£卜-2栏.圭=—1（当且仅当a二-1时,取“二”），

Z:G（-OO,-1]U[1,+OO）,故陪考，

7t3兀

综上，

故选：C.

例10.（2023・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点A（3,4）,。（6,3”）的直线的倾斜角为锐角，则实数〃的

取值范围为（）

444

A.aB.ciC.D.a>-

【答案】C

【解析】因为直线A。的斜3率a-4=。-；4，

又因为直线AQ的倾斜角为锐角，

44

所以〃—§>（）,解得。>§.

故选：C

例11.（2023•山东青岛•高二统考开学考试）已知直线/的斜率为-1,则/的倾斜角为（〉

A.30B.45C.60D.135

【答案】D

【解析】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为〃，0<6Z<180,

所以lana=-l,即a=135.

故选:D

例12.（2023•湖南湘潭•高二校联考期末）若直线/的斜率为攵，且公=3,则直线/的倾斜角为（）

A.30或150B.45或135C.60或120D.90或180

【答案】C

【解析】设直线/的倾斜角为。，0<a<180

因为&2=3,所以攵=±JJ,

当£=J5时，即【ana=»则a=60;

当上=-6时，即tana=一G»则a=120,

所以宜.线/的倾斜角为60或120.

故选：C.

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

例13.（2023•青海西宁•高二统考期末）经过点（电8）,（4,-4）的直线的斜率为（）

28

AB.-D.

77c77

【答案】C

8-(-4)126

【解析】k=—=—

18-4147

故选：C.

例14.（2023•广西南宁•高二统考开学考试）已知4（3,2）,8（-4,1）,则直线A3的斜率为（）

A.—B.—C.—7D.7

77

【答案】B

【脩析】因为A（3,2）,WT1），所以线相的斜率为

故选:B.

例15.（2023•浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知直线斜率等于-1,则该直线的倾斜角为

（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】D

【解析】设该直线的倾斜角为。，则

由2=-1,得lana=-l,X0<<180°,所以a=135。.

故选：D.

例16.（2023・广东汕尾•高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若过两点M（3,y）,N（0,£）的直

线的倾斜角为150°,则丁的值为（）

A.V3B.0C.->/3D.3

【答案】R

【解析】因为过两点“（3,#,N（0,G）的直线的倾斜角为150。，

所以直线MN斜率为女="二叵=【anl50,即欠="史=-且，

333

解得产0.

故选：B.

例17.（2023•湖北荆州•高二统考阶段练习）若直线经过两点A（/n,l）,B（2-3m,2）,且其倾斜角为135。,

则m的值为（）

A.0B.—C.；D.—

224

【答案】D

【解析】经过两点4（〃川），4（2-3〃?,2）的百线的斜率为心白匕=了匕，

又直线的倾斜角为135。，・•.一一二7,解得，〃=

2—4加4

故选：D

例18.(2023♦江苏连云港•高二统考期末)设，为实数，已知过两点A(&3),8(5,〃)的直线的斜率为1,则

〃的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为过两点A(a,3),8(5,〃)的直线的斜率为1,

所以T=l，解得。=4.

a-5

故选：C

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

例19.(2023•广东梅州•高二校联考阶段练习)已知点4(-3,4)1(5,10),直线/过点。(0,0)旦与线段/W相

交,则直线/的斜率的取值范围是()

4-14-]

A.--,2B.卜8,一§up")

C.[2,+co)D.18,-g

【答案】B

4

【解析】直线OB,OA的斜率分别为koA=4，k。B=2,

(41

结合图形可知：直线，过点。(0,0)且与线段A8相交时，勺ey,一£U[2,+8),

例20.(2023•广东深圳•高二统考期末)已知4(2,-3)、3(2,1),若直线/经过点尸(0,-1),且与线段A3有

交点，则/的斜率的取值范围为()

A.(f-2]U[2,E)B.[-2,2]

C.(^o,-l]u[l,+oo)D.[-1,1]

【答案】D

【解析】过点P作PC_LA8,垂足为点C,如图所示:

设直线/交线段A8于点例，设直线，的斜率为3且&=

当点M在从点A运动到点。（不包括点C）时，直线/的倾斜角逐渐增大，

此时-1=a4左＜0：

当点M在从点C运动到点8时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时=

综上所述，直线/的斜率的取值范围是卜11].

故选：D.

例21.（2023•安徽滁州•高二校考期中）已知点A（T2）,5（2,-2）,C（0.3）,若点M（。⑼是线段A8上的

一点（。工0）,则直线CM的斜率的取值范围是（）

A.B.-g,0）U（0,l]

【答案】D

【解析】由斜率公式可得砥0=彳2-二3=1，得心c=-£2-r3=-5j

-1—（）2—（）2

当W介于AD之间时，直线斜率的取值范围为[1,”）,

当M介于8。之间时，直线斜率的取值范围为18,-1,

（51

所以直线CM的斜率的取值范围为U[1,-KO）,

故选：D.

例22.（2023•广东肇庆•高二校考期中）已知两点A（-3,2）,8（2,l）,过点。（0,-1）的直线与线段A8有交

点，则直线/的倾斜角的取值范围为（)

n3兀八兀兀3n

A.一B.0,-u

_44_42U

nnn3n

D.

4[42JU4

【答案】A

若直线/的倾斜角夕£[0㈤，则&所以匹日当，

44

故选：A.

例23.（2023•江苏连云港•高二校考期末）经过点P（Ol）作直线/,且直线/与连接点4（1,-2）,8（2,1）的

线段总有公共点，则直线/的倾斜角二的取值范