湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.与向量反向的单位向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，则与反向的单位向量为．3.下列函数中，图像关于原点对称的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为的定义域为，且，为偶函数，故A错误；因为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误；因为的定义域为，且，函数为奇函数，故C正确；因为的定义域为，且，函数为偶函数，故D错误.4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，所以，所以．5.如图所示，三个边长为5的正方形相连，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知，，，所以.6.粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，，在上的投影向量为：.7.若在是减函数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以由得因此，从而的最大值为，故选：A.8.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图，延长，过点做交的延长线于点.因为，，,所以.由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1，当在点处时，在上的投影有最小值，又因为，所以的取值范围是.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知，，则下列说法正确的是（）A.必为钝角 B.C. D.【答案】ABD【解析】由平方可得：，所以，结合，则，故正确，，故错误；又因为，因为，所以，所以，又因为，解得：，所以，故正确；因为，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，则，故正确.10.已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（）A.的最小值为1 B.的最小值为C.的最大值为2 D.的最大值为8【答案】AB【解析】对于AC，设AB中点为，因为，，且，所以，所以，由题意可知，因为，所以，即，当，即、同向时取得最小值1，当，即、反向时取得最大值3，故A正确，C错误；对于BD，，因为，即，所以当，即、反向时，取得最小值，当，即、同向时，取得最大值，所以，由图可知，当、、三点共线且、在的两侧时，取得最大值为，所以，即最小值为，此时、在的两侧时，且、反向，并有C、B两点重合，，即最大值为，此时、在的两侧时，且、同向，并有C、A两点重合，故B正确，D错误．11.已知，下列说法正确的是（）A.当时，最小正周期为B.当时，图象关于对称C.当时，最小值为D.当时，是偶函数【答案】CD【解析】对于A，当时，fx=1-12sin22x=对于B，当时，，fπ而-fx=-sin对于C，当时，fx==1-3所以的最小值是，故C正确；对于D，当时，fx=f-x=sin三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三角求值：______.【答案】【解析】.13.已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____.【答案】【解析】设向量，的夹角为，不存在实数，使得成立，等价于对恒成立，所以，则，即恒成立.所以，解得，因为，所以，故，的夹角的取值范围是.14.已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的最大值是____.【答案】【解析】∵，∴，故，所以，即，.由题不妨可设，，，由，知,由可得，同理可得，可得，所以，所以，而，当时，的最大值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在平行四边形中，．（1）用向量，表示，；（2）若，且A，E，F三点共线，求x的值．解：（1）由平行四边形，可得，∵，∴，∴，即．（2）由题意知，AF=∴，，解得．16.函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围．解：（1）由函数的图象，得，的最小正周期T=435π由，，得，由，得2⋅5π12+φ=π2所以函数的解析式为．（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得y=2sin再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得，由已知方程2sinx+π3故方程m=-2sinx+π因为x+π3∈π所以m的范围为．17.如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上.设，矩形的面积为S平方米.（1）求S关于的函数表达式；（2）当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值.解：（1）过P作，垂足为E，由题意得：，，故，.所以矩形的面积，.（2）由（1）及题设知，故，令，，所以，且，，在区间上严格递减，在区间上严格递增，当，即时，S取得最小值.此时，则，故.18.如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足.（1）判断的形状；（2）当时，求的值；（3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.解：（1），，则，即，故为等边三角形.（2）当时，、为边的三等分点，设为中点，且，所以，故.（3）设，当时，、、为边的四等分点，，设，其中，则，，所以，当且仅当即时，取最小值.19.已知函数.（1）求的图象的对称中心坐标；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）设，方程在区间上的根从小到大依次为，求的值.解：（1）.令，故对称中心坐标为.（2）因为，，又因为