湖南省永州市2026届高三下学期第三次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省永州市2026届高三下学期第三次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以.2.已知函数，则的一个对称中心为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，得；当时，，此时对称中心为；的一个对称中心为.3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.3【答案】D【解析】因为，所以，又因为，且，所以.4.某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（）A.12 B.24 C.30 D.36【答案】C【解析】符合要求的选派方法可分为两步完成，第一步，将名同学分成人数分别为的三组，该步有种完成方法，又甲、乙两位同学不能参加同一场次，则有种第二步，将组同学分派到3个场次，此步有种完成方法，由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为．5.已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为数列是公比为的等比数列，若，则，即，由于，即，解得：或，若，则，由于，，则，即成立，综上“”是“”的必要不充分条件6.已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】D【解析】由抛物线得焦点，设，因为是的中点，所以的坐标为，因为在抛物线上，将坐标代入得：

，再由两点间距离公式：

.7.已知，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，两边同除以，得，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最大值为．8.已知数列满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】已知，化简递推右侧得：，令（显然所有，故），将上式改写为：，下构建辅助不等式：证明：，对任意，，设，求导得，故在单调递增，，不等式得证，令，代入得：，移项得：；证明：对任意，，设，求导得：，故在单调递增，，不等式得证，令，代入不等式得：两边取倒数，不等号反向得：移项得：，对所有，可得：左侧累加得：，代入，得：右侧累加得：代入，得：，综上可得：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.为方程的一个根【答案】AD【解析】解：，，故A正确；的虚部为，故B错误；在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误；方程的根为，是方程的一个根，故D正确．10.已知函数，则（）A.的图象关于轴对称B.有两个零点C.不等式的解集为D.若，则的最小值为【答案】ABD【解析】对于A选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，A对；对于B选项，当时，，因为函数、、在上均为增函数，故函数在上为增函数，且，故函数在上为减函数，且，故函数有且只有两个零点，B对；对于C选项，因为函数是定义域为上的偶函数，且该函数在上为增函数，由可得，所以，解得且，所以不等式的解集为，C错；对于D选项，因为，所以，由可得，即，因为函数在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对.11.在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（）A.平面B.C.三棱锥体积的最小值为D.三棱锥外接球表面积的最小值为【答案】ABC【解析】解：选项，由为的垂心可知，，又平面，平面，所以，又因为，因此平面，平面，所以.同理，，又，，所以平面，平面，所以，又因为，，所以平面，选项正确；选项，由易知，，两两垂直，平面，点为的垂心，，由海伦公式知，代入上式，两边平方，取倒数，化简可得，代入，，，得，，化简得，因此正确；选项，由，，两两垂直，，，，根据勾股定理，可得，，，在中，由余弦定理可得，代入各边长，化简得，所以，所以，因此，两边同时平方得，由选项知，设，，则，可得，，所以.代入，化简得，令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以当时，取最小值，为，即的最小值为，因此的最小值为，正确；选项，因为，，两两垂直，所以三棱锥的外接球球心与以，，为长宽高的长方体外接球的球心相同，则外接球直接，所以，所以外接球表面积为，由，则,由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，此时外接球表面积的最小值为，因此错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则__________．【答案】2【解析】设，.，，即..13.已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________.【答案】【解析】已知，求导得，则，所以曲线在点处的切线为，即.又切线与圆相切，所以，整理得，解得.14.已知椭圆，，为的左、右焦点，过的直线交于，两点，的面积为，的内切圆与相切于点，若，则的离心率为__________．【答案】【解析】由的面积，代入椭圆方程得，即为椭圆短轴端点，不妨取，由椭圆的定义可得​的周长为，根据内切圆切线长性质：，由椭圆的定义得：，，，则，由得，即，直线过)和，方程为，联立椭圆方程，代入可得：，解得点横坐标，由椭圆右焦半径公式，再代入可得：，所以解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，，，，与相交于点，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：在四边形中，，所以，所以.因为，所以，即，则.又，所以.在中，因为，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面，平面，所以，又，以点为原点，过点且平行于的直线为轴，，为轴、轴建立空间直角坐标系，设，则.所以，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的内切圆半径为1，求的面积．解：（1）因为，所以由正弦定理得：，即，因为，所以，所以，因为，故，故．（2）因为，所以，因为，由余弦定理可知，即，因为的内切圆半径为1，得，即，故，所以联立：，解得，或（舍去），所以的面积为．17.在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程：（2）已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求．解：（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线，实半轴长，半焦距，虚半轴长，因此点的轨迹方程为，设，由，得，于是，即，所以曲线的方程为.（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，，由消去得，，则，，，由，，成等差数列，得，即，则，即，所以.18.甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为．（1）若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；（2）若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望；（3）若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记.写出与的递推关系，并求数列的前项和．解：（1）设事件：甲第次投篮合中，则则甲投篮4次即停止投篮的概率，则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为．（2）依题意可得，随机变量的可能取值为：，，局结束时，甲胜概率，局结束时，乙胜概率，，，分布列：数学期望：.（3）当时，，则，当时，，则，即则，故为首项为，公比为的等比数列故，即，故．19.已知函数有唯一的极值点．（1）求的取值范围；（2）设是的两个零点，记，，．（i）证明：；（ii）判断是否可能为直角三角形，并说明理由．（1）解：当时，是增函数，无极值点当时，，又因为有唯一的极值点等价于有唯一的变号零点，令，则，令，则，则在区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，时，，则当时，直线与的图象有一个交点，有唯一的极值点，所以的取值范围为．（2）（i）证明：由①知，因为为极值点，所以，即，因为，所以，所以，因为为增函数，且，所以，，所以在单调递减，在单调递增，又因为，所以，又因为，所以，所以，要证：，只需证：，只需证：只需证：