苏科版数学七年级下册 （无锡专用） 期末考试模拟练习卷（范围：第7-12章） 含答案

2025-2026学年无锡市七年级数学下册期末考试模拟练习卷考试时间：100分钟试卷满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．C． D．2．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒=1000毫秒，1毫秒=109皮秒，则10秒等于（A．1012皮秒 B．1013皮秒 C．1014皮秒 3．下列命题中是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．若实数a，b满足a2=b24．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（）A．2a+b2a−3b B．C．x−2yx+2y D．5．下列命题是真命题的有（）①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l的距离是2cm；④∠β与∠α的两边分别平行；∠β比∠α的3倍少A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．不等式组4−2x>−6x−m>−1无解，则m的取值范围是（

A．m≥5 B．m≥6 C．m>6 D．m≤67．《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（

）A．x+9=2y−9y+9=x−9 B．C．x+9=2(y−9)y+9=x−9 D．8．按如图所示的方法折纸，下列说法不正确的是（

）A．∠1与∠3互余 B．∠2=C．EA平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补9．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形ABCD中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为S1图2重叠部分的面积为S2．若a−b=3，则S1A．3 B．6 C．9 D．1210．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和①18°；②36°；③72°；④108°A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．已知不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a的取值范围是_______．12．说明命题“如果n<1，那么n2<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n=13．计算：−1214．若关于x和y的方程组x−2y=43kx+k−1y=6的解互为相反数，则15．如图，一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'，C'的位置，若∠AE16．如图所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG=7，两正方形的面积和S117．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程x−3=0的解为x=3，不等式组x−1>0x<4的解集为1<x<4，因为1<3<4，所以方程x−3=0为不等式组x−1>0x<4的关联方程．若方程2x+1=x+2与3x−1=x+1都是关于x的不等式组x−5<m2x≥x+m18．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC=30°，∠BOE=90°，OF平分∠AOD．射线OE以每秒10°的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF也以每秒4°的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时，射线OE、OF也停止转动．在射线OE转动一周的过程中．当OE⊥OF时，射线OE转动的时间为_____秒．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：(1)−3÷−12026×π−320．（本题4分）先化简，再求值：−2x24xy3（本题8分）（1）解方程组：3x−2y=84x+2y=6；（2）解不等式：3x−122．（本题8分）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都在格点上，利用网格画图．(1)画出△A1B1C1，使(2)画出△A2B2C2，使(3)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后的图形△A23．（本题8分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动．【动手实践】（1）如图1，三角尺OAB和三角尺OCD的边OB，OD重合，求∠AOC的度数；【深入探究】如图2，三角尺OAB从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺OCD的位置不变，设运动时间为t秒0<t<45．（2）当OA平分∠BOD时，求t的值；（3）若∠AOD与∠BOC满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值．24．（本题8分）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元．(1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？(3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？25．（本题10分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB,CD上两点(AM>DN)，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P.(1)【问题解决】若∠NMA=35°，求∠CPM的度数．(2)如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H.①【初步探究】若∠CPM=78°，求∠1和∠2的度数．②【深入探究】若∠2=m∠1+5°，请直接写出∠CPM的度数(用含m的代数式表示26．（本题12分）【项目式学习】项目主题：数学智慧拼图项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．任务一：观察建模如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（x<y），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组5x=30x+y=16，则：x=，y=任务二：推理分析第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；任务三：设计方案第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中a<b<c且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．

2025-2026学年无锡市七年级数学下册期末考试模拟练习卷考试时间：100分钟试卷满分：100分【全解全析】一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【思路引导】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【规范解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意．2．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒=1000毫秒，1毫秒=109皮秒，则10秒等于（A．1012皮秒 B．1013皮秒 C．1014皮秒 【答案】B【思路引导】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，【规范解答】解：1秒=1000毫秒，1毫秒=10∴1秒=10∴10秒=10故选：B．3．下列命题中是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．若实数a，b满足a2=b2【答案】D【思路引导】结合对顶角、垂线、平方、平行线的相关性质，逐一判断每个选项即可.【规范解答】解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如两平行线截出的同位角相等但不是对顶角，故A是假命题；对于选项B，只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少“同一平面内”的前提，故B是假命题；对于选项C，若a2=b2，则a=b或a=−b，例如a=2,b=−2满足对于选项D，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题.4．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（）A．2a+b2a−3b B．C．x−2yx+2y D．【答案】C【思路引导】根据平方差公式形式为(a+b)(a−b)=a【规范解答】解：A、(2a+b)(2a−3b)不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算；B、(x+1)(1+x)=(x+1)C、(x−2y)(x+2y)，相同项为x，−2y和2y互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算；D、(−x−y)(x+y)=−x+y5．下列命题是真命题的有（）①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l的距离是2cm；④∠β与∠α的两边分别平行；∠β比∠α的3倍少A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【思路引导】本题考查了命题“真”“假”判定，根据垂线公理判断①；根据平行线的判定和性质判断②；根据点到直线的距离的定义判断③；根据平行线的性质判断，当∠α与∠β的两边分别平行时，有两种可能α=β或α+β=180°求出∠β即可判断④．【规范解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，故①是假命题；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，正确，故②是真命题；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，那么点P到直线l④∠α与∠β的两边分别平行，∠β比∠α的3倍少40°，则有∠α=∠β或∠α+∠β=180°，即∠α=3∠α−40°或∠α+3∠α−40°=180°，解得∠α=20°或∠α=55°，所以∠β=20°或∠β=125°，故④是假命题；∴是真命题的只有②，共1个．故选：A．6．不等式组4−2x>−6x−m>−1无解，则m的取值范围是（

A．m≥5 B．m≥6 C．m>6 D．m≤6【答案】B【思路引导】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组无解的条件建立关于m的不等式，即可求出m的取值范围．【规范解答】解不等式4−2x>−6∵−2x>−10∴x<5解不等式x−m>−1得到x>m−1∵不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分，∴m−1≥5解得m≥6．7．《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（

）A．x+9=2y−9y+9=x−9 B．C．x+9=2(y−9)y+9=x−9 D．【答案】C【思路引导】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组.【规范解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为x+9，乙剩余羊数为y−9，∴可得方程x+9=2y−9∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为y+9，甲剩余羊数为x−9，∴可得方程y+9=x−9；因此列出的二元一次方程组为x+9=2y−98．按如图所示的方法折纸，下列说法不正确的是（

）A．∠1与∠3互余 B．∠2=C．EA平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补【答案】C【思路引导】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断．【规范解答】解：A、由折叠的性质可得2∠1+∠3∴∠1+∠3=90∴∠1与∠3互余，故A选项正确，不符合题意．B、∠2=180C、∵∠1≠∠2，∴EA不平分∠BEF，故C选项错误，符合题意．D、∵∠1+∠AEC=180∴∠1与∠AEC互补，故D选项正确，不符合题意．9．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形ABCD中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为S1图2重叠部分的面积为S2．若a−b=3，则S1A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【思路引导】正方形ABCD的边长为x，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解．【规范解答】解：令正方形ABCD的边长为x，∵a−b=3，∴a=b+3，则S1=a+b−x令2b−x=t，则S1=t+3∴S110．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和①18°；②36°；③72°；④108°A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④【答案】D【思路引导】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点B′在BC上时，当点B′在BC延长线上时，两种情况中又分为①当∠ACA′=2∠CA′B′时，当∠C【规范解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB∵△A′B∴AB∥A∵CG∥AB，∴CG∥A∴∠ACG=∠BAC=54°，①当∠ACA设∠CA′B∴∠A∵∠ACG=∠ACA∴2x+x=54°，解得：x=18°，∴∠ACA②当∠CA∴设∠CA′B∴∠A∵∠ACG=∠ACA∴x+1解得：x=36°，∴∠ACA第二种情况：当点B′在BC延长线上时，过点C作CG∥AB同理可得CG∥A∴∠ACG=∠BAC=54°①当∠ACA设∠CA′B∴∠A∵∠ACG=∠ACA∴2x−x=54°，解得：x=54°，∴∠ACA②由于∠ACA′>∠C综上所述，∠ACA′的度数可以为18°或36°或故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．已知不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a的取值范围是_______．【答案】a<−1【思路引导】根据不等式(a+1)x>a+1两边同时除以a+1不等号的方向发生了改变，可知a+1<0，解不等式即可求出a的取值范围．【规范解答】解：∵不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，∴a+1<0，∴a<−1．12．说明命题“如果n<1，那么n2<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n=【答案】0（答案不唯一）【思路引导】只需要满足n<1，n【规范解答】解：当n=0时，满足n<1，此时n2=0，不满足故反例可以是n=0．13．计算：−12【答案】5【规范解答】解：−114．若关于x和y的方程组x−2y=43kx+k−1y=6的解互为相反数，则【答案】7【思路引导】根据相反数的定义，可得x+y=0，即y=−x，先将y=−x代入第一个方程求出x与y的值，再代入第二个方程求解k即可．【规范解答】解：∵方程组的解x，y互为相反数，∴x+y=0，即y=−x，将y=−x代入方程x−2y=4得，x−2(−x)=4，解得x=4∴y=−x=−4把x=43，y=−43代入方程化简得，8k=14，解得k=715．如图，一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'，C'的位置，若∠AE【答案】72°/72度【思路引导】先由折叠可知，∠DEF=72°，再根据平行线的性质进行计算即可．【规范解答】解：∵∠AED∴∠DED由折叠可知，∠DEF=∠D∵AD∥BC，∴∠EFB=∠DEF=72°．16．如图所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG=7，两正方形的面积和S1【答案】12【思路引导】设两个正方形的边长分别为a和b，根据题意可得a+b=7，a2+b2=25【规范解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，由题意可知，C为线段BG上的一点，且BG=7，∴a+b=7，∵两正方形的面积和S1∴a∵(a+b)∴7∴49=25+2ab，∴2ab=24，∴ab=12，如图，延长AD与FG交于点M，延长AB与FE交于点N，则AN=AM=a+b,NE=GM=a，∴阴影部分的面积=a+b==ab=12．17．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程x−3=0的解为x=3，不等式组x−1>0x<4的解集为1<x<4，因为1<3<4，所以方程x−3=0为不等式组x−1>0x<4的关联方程．若方程2x+1=x+2与3x−1=x+1都是关于x的不等式组x−5<m2x≥x+m【答案】−3<m≤1【思路引导】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出方程和不等式组的解集，再根据关联方程的定义列出不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解题的关键．【规范解答】解：解方程2x+1=x+2，得x=1，解方程3x−1=x+1，得解不等式组x−5<m2x≥x+m，得m≤x<m+5∵方程2x+1=x+2与3x−1=x+1都是关于x的不等式组∴m≤1m+5>2解得−3<m≤1，故答案为：−3<m≤1．18．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC=30°，∠BOE=90°，OF平分∠AOD．射线OE以每秒10°的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF也以每秒4°的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时，射线OE、OF也停止转动．在射线OE转动一周的过程中．当OE⊥OF时，射线OE转动的时间为_____秒．【答案】7514或25514【思路引导】先依次求得∠AOD，∠AOF，∠EOF，再“OE′与OF′重合前，∠F′OE′=90°”、“OE′与OF′重合后，∠F【规范解答】解：∵直线AB和CD交于点O，∠AOC=30°，∴∠AOD=180°−∠AOC=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=1∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=165°，当OE′与OF10t+4t+90=165，解得：t=75当OE′与OF10t+4t=165+90，解得：t=255当OE′与OF′重合后，OF′在∠BOE内，且此时10t+4t=270+165，解得：t=435综上所述，射线OE转动的时间为7514秒或25514秒或故答案为：7514或25514或【考点剖析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，垂线的定义理解，旋转中的规律性问题，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：(1)−3÷(2)a2【答案】(1)−5(2)0【思路引导】（1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可.【规范解答】（1）解：原式=3÷1×1−8=3−8=−5；（2）解：原式===0.20．（本题4分）先化简，再求值：−2x24xy3【答案】2x2【思路引导】先利用单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则化简原式，再将x和y的值代入化简后的式子计算结果即可．【规范解答】解：原式=−8=2x当x=−1，y=2时原式=2×(−1)21．（本题8分）（1）解方程组：3x−2y=84x+2y=6（2）解不等式：3x−12【答案】（1）x=2y=−1（2）【思路引导】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法与一元一次不等式的解法是解题的关键．（1）运用加减消元法进行求解即可；（2）先去分母，再移项、合并同类项，最后将系数化为1进行计算求解即可．【规范解答】（1）解：3x−2y=8两个方程相加得：7x=14将系数化为1得：x=2将x=2代入方程3x−2y=8解得y=−1所以方程组的解为：x=2y=−1（2）解：3x−1去分母得：3x−1≥2移项、合并同类项得：3x≥3将系数化为1得：x≥1．22．（本题8分）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都在格点上，利用网格画图．(1)画出△A1B1C1，使(2)画出△A2B2C2，使(3)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后的图形△A【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【思路引导】（1）根据轴对称的性质画图即可；（2）根据中心对称的性质画图即可；（3）根据旋转的性质画图即可．【规范解答】（1）解：如图，△A（2）解：如图，△A（3）解：如图，△A23．（本题8分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．某节数学活动课上，同学们用一副三角尺开展如下探究活动．【动手实践】（1）如图1，三角尺OAB和三角尺OCD的边OB，OD重合，求∠AOC的度数；【深入探究】如图2，三角尺OAB从图1的位置出发，绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，三角尺OCD的位置不变，设运动时间为t秒0<t<45．（2）当OA平分∠BOD时，求t的值；（3）若∠AOD与∠BOC满足：其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，求t的值．【答案】（1）75°，（2）t=30，（3）t=30或15【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角尺的角度特征，角的和差运算及分类讨论．（1）根据题意利用三角尺的角度特征可得∠AOC的度数；（2）根据角平分线的定义求得∠BOD=2∠AOB=60°，再根据题中的信息可设∠BOD=2°t，进而求得t的值；（3）先设∠BOD=2°t，再利用三角尺的角度特征分别求得∠AOD和∠BOC的度数，最后分类讨论即可求得t的值．【规范解答】解：（1）∵OB，OD重合，∠AOB=30°，∠DOC=45°，∴∠AOC=∠AOB+∠DOC=75°，即∠AOC为75°；（2）∵OA平分∠BOD，∴∠BOD=2∠AOB=60°，又∵△OAB绕点O顺时针以每秒2度的速度旋转，∴∠BOD=2°t，∴2t=60，解得t=30，即t的值为30；（3）由（2）知，∠BOD=2°t，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=2t−30°，①当∠AOD=2∠BOC时，2t−30=22t−45，解得t=30②当∠BOC=2∠AOD时，2t−45=22t−30，解得t=综上所述，t的值为30或15224．（本题8分）2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元．(1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？(3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？【答案】(1)A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元(2)共有3种购买方案(3)为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析【思路引导】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于x,y的二元一次方程组求解即可；(2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球50−m个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可；(3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案．【规范解答】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元，根据题意，得20x+30y=2100y−x=20，解得x=30答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元；（2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球50−m个，根据题意，得30−5m+50×0.8×50−m≤155050−m≥18，解得又∵m为整数，∴m的值为30，31，32，∴共有3种购买方案；（3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下：由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为30−5×30+50×0.8×20=1550方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为30−5×31+50×0.8×19=1535方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为30−5×32+50×0.8×18=1520∵1520<1535<1550，∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．25．（本题10分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB,CD上两点(AM>DN)，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P.(1)【问题解决】若∠NMA=35°，求∠CPM的度数．(2)如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H.①【初步探究】若∠CPM=78°，求∠1和∠2的度数．②【深入探究】若∠2=m∠1+5°，请直接写出∠CPM的度数(用含m的代数式表示【答案】(1)70°(2)①∠1=39°，∠2=24°；②∠CPM=【思路引导】（1）根据折叠的性质得到∠NMA=∠NME=35°，求得∠AME=70°，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到（2）①根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠CPM=∠AME=78°,∠CPM+∠BMP=180°,∠1=∠AMN，求得②根据上述过程可得：∠AMP=2∠1=∠CPM，求得∠2=180°−4∠1，得到m∠1+5°【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，∴∠NMA=∠NME=35°，∴∠AME=70°．∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∴∠CPM=∠AME=70°；（2）解：①∵四边形ABCD∴AB∥CD，∴∠CPM=∠AME=78°,∠CPM+∠BMP=180°,∠1=∠AMN，∴∠BMP=180°−∠CPM=180°−78°=102°．∵继续沿PM进行第二次折叠，点