机械制图 课件 项目2 投影作图基础

“机械制图”课程团队项目二投影作图基础项目导读本项目聚焦投影作图基础，包含四个关键任务。任务一讲解简单物体的三视图的绘制方法。任务二讲解点、直线、平面的投影，帮助学习者筑牢投影理论根基。任务三讲解基本几何体的三视图，包括平面体、曲面体的三视图绘制及尺寸标注技巧。任务四讲解轴测图的绘制，包括正等轴测图与斜二轴测图。本项目有助于学习者系统掌握投影作图的基础理论与实操方法，提升空间几何思维能力，为复杂物体制图提供核心支撑。达成目标（1）掌握投影法的核心概念，包括中心投影法与平行投影法的区别；理解正投影法的三大性质，即显实性、积聚性、类似性；明确机械图样采用正投影法的原因。（2）理解三面投影体系的构成；掌握三视图的形成原理，牢记“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律及方位对应关系。（3）熟悉点、直线、平面的投影规律，包括点的三面投影特性、坐标表示及重影点可见性判断；熟悉直线的三种位置及其投影特点；熟悉平面的三种位置及其投影特性。（4）了解基本几何体的三视图画法；掌握表面取点的方法；明确平面体与曲面体尺寸标注的规范。（5）知晓轴测图的分类；理解正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数；掌握平面体、曲面体及组合体轴测图的绘制方法。知识目标达成目标（1）能根据简单物体的立体图或实物，按1∶1比例绘制三视图，严格遵守“长对正、高平齐、宽相等”原则，做到视图布局合理、图线清晰、尺寸标注完整。（2）能根据点的坐标或两面投影，准确求作第三面投影，判断两点的相对位置及重影点的可见性；能区分不同位置直线、平面的投影特性，完成其三面投影绘制。（3）能独立绘制棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等基本几何体的三视图；熟练运用积聚性法、辅助直线法或辅助圆法求作几何体表面上点的三面投影，并判断可见性。（4）能按要求绘制正等轴测图，包括长方体、正六棱柱、圆柱等基本几何体，以及简单组合体的轴测图；掌握椭圆、圆角的近似画法，做到轴测图立体感强、线条流畅。（5）能根据已知的两面视图补画第三面视图，补画视图中的缺线，具备初步的读图和补图能力。技能目标达成目标（1）培养空间想象与逻辑思维能力，通过投影规律的应用，建立“空间物体—投影图—空间物体”的双向思维模式，提升通过二维视图还原三维形体的能力。（2）强化严谨细致的职业素养，严格遵循投影规则和绘图规范，在尺寸标注、可见性判断、图线绘制等环节做到精准无误，养成“按规则作图、按标准表达”的习惯。（3）提升实操应用与问题解决能力，通过基本几何体及组合体的投影作图训练，熟练掌握各类作图方法，能独立分析并解决作图中遇到的投影关系、表面取点等问题。（4）树立系统思维与协作意识，认识三视图、轴测图作为技术交流工具的作用，理解投影作图的规范性对后续读图、生产加工的影响，培养为下游环节负责的职业责任感。（5）激发学习主动性与探索精神，通过对复杂形体的投影分析与作图，体会投影理论的实用性，增强对机械制图学科的认同感，为后续组合体、零件图的学习奠定基础。素养目标任务一任务二任务三任务三学习目标画简单物体的三视图画基本几何体的三视图作点、直线、平面的投影画轴测图任务一

学习制图国家标准的基本规定任务描述根据图2-1所示的立体图画物体的三视图并标注尺寸，比例1∶1。图2-1立体图任务分析要正确绘制物体的三视图，必须掌握“知识链接”中讲解的投影法和三视图。任务实施的方法和步骤：分析物体、确定画图顺序→选择主视图的投影方向→放置物体→画三视图→检查、修正和修饰全图。知识链接在日常生活中，物体被光照射，会在墙上或地面产生影子，这就是投影现象。投影法是指利用投影原理在平面上表达物体形状和大小的方法。如图2-2所示，我们把光源S称为投影中心，光线SA称为投影线，平面H称为投影面，空间点A是物体，投影线SA与投影面H的交点a，称为物体在投影面H上的投影。空间点用大写字母表示，如A，其投影用相应的小写字母表示，如a。一、投影法1．投影法的概念图2-2投影法的概念知识链接投影法分为中心投影法和平行投影法两类。（1）中心投影法。中心投影法是指投影线汇交于一点的投影法。由中心投影法得到的投影称为中心投影，2．投影法的分类图2-3中心投影法知识链接（2）平行投影法。平行投影法是指投影线相互平行的投影法。根据投影线与投影面的相对位置，平行投影法分为斜投影法和正投影法两种。斜投影法是指投影线与投影面相倾斜的平行投影法。由斜投影法得到的投影称为斜投影，如图2-4（a）所示。正投影法是指投影线与投影面相垂直的平行投影法。由正投影法得到的投影称为正投影，简称投影，如图2-4（b）所示。机械图样主要采用正投影法绘制。（a）斜投影法

（b）正投影法图2-4正投影法知识链接3．正投影的性质积聚性：当直线或平面与投影面垂直时，则直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一条直线，这种性质称为积聚性。类似性：当直线或平面与投影面倾斜时，其直线的投影长度变短，平面的投影面积变小，但投影的形状仍与原来的形状相似，这种性质称为类似性。显实性：当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长、平面的投影反映实形，这种性质称为显实性。

物体上的直线段或平面图形与投影面有平行、垂直和倾斜三种位置关系，它们的投影分别具有以下性质。知识链接

正投影由于能真实地表示出物体的形状和大小，且作图也较方便，因此在绘制机械图样中得到了广泛应用。本书主要介绍正投影，如无特殊说明，所述投影均视为正投影。知识链接

用正投影法将物体向投影面投影所得的图形称为视图。

如图所示，设一正立投影面，把物体放在观察者与投影面之间，将观察者的视线视为一组互相平行、并且与投影面垂直的投影线，对物体进行投影，所得的投影即为物体在该投影面上的视图。二、三视图的形成及投影规律图2-6视图物体在一个投影面上得到一个视图，只能反映物体一个方向的形状。因此，要反映物体的完整形状，就必须从多个方向进行投影，画出多个视图。通常用三个视图来表示物体的完整形状。1．视图的概念知识链接

三面投影体系由三个相互垂直的投影面组成。它们的名称分别是正立投影面，简称正面，用V表示；水平投影面，简称水平面，用H表示；侧立投影面，简称侧面，用W表示。相邻两投影面的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三投影轴交于一点O称为原点。以原点O为基准，可以沿X轴度量长度方向上的尺寸和确定物体的左右位置；沿Y轴度量宽度方向上的尺寸和确定物体的前后位置；沿Z轴度量高度方向上的尺寸和确定物体的上下位置。2．三面投影体系图2-7三面投影体系知识链接

首先把物体放在三面投影体系中。要求“放正、不动”，放正就是使物体表面上尽可能多的平面和线段平行或垂直于某一投影面，这样，所得的投影便具有显实性或积聚性，便于度量和画图；不动就是物体的位置一经确定，画各个视图时就不许再变动。然后，按正投影法分别向三个投影面投影，就可以得到物体的三个视图，称为物体的三视图。它们的名称如下：

从前向后投影，在V面上得到的视图称为主视图；

从上向下投影，在H面上得到的视图称为俯视图；

从左向右投影，在W面上得到的视图称为左视图。3．三视图的形成知识链接展开方法为了方便画图，国家标准规定，V面保持不动，将H面绕X轴向下旋转90º与V面共面，将W面绕Z轴向右旋转90º，也与V面共面，这样就得到一个平面上的三面视图，如图（b）、图（c）所示。投影面展开后Y轴被一分为二，H面上的Y轴用YH表示，W面上的Y轴用YW表示，如图（c）所示。画三视图时不必画出投影面的边框，如图（d）所示。知识链接

（1）物体与三视图的关系。物体有长、宽、高三个方向，左右、前后、上下三对方位。每一个视图表达物体一个方向的形状、两个方向的尺寸和两对方位。主视图表达物体从前向后投影的形状、长度和高度方向的尺寸，反映物体的左右和上下方位。俯视图表达物体从上向下投影的形状、长度和宽度方向的尺寸，反映物体的左右和前后方位。左视图表达物体从左向右投影的形状、宽度和高度方向的尺寸，反映物体的前后和上下方位。4．三视图的投影规律知识链接（2）“三等”关系。国家标准规定，以主视图为主，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。“三等”关系是指每对相邻的视图在同一方向对应的尺寸相等、位置对正。即：主视图与俯视图反映了物体的长度——主俯视图“长对正”；主视图与左视图反映了物体的高度——主左视图“高平齐”；俯视图与左视图反映了物体的宽度——俯左视图“宽相等”。“长对正”“高平齐”“宽相等”是三视图的重要特征，也是画图和读图的依据。（3）方位关系。物体有左右、前后、上下三对方位，它与三视图之间的关系是：主视图反映物体的左右和上下；俯视图反映物体的左右和前后；左视图反映物体的前后和上下。任务实施分析物体、确定画图顺序→选择主视图的投影方向→放置物体→画三视图→检查、修正和修饰全图。在画三视图的过程中，必须保持物体不动，必须确保“长对正、高平齐、宽相等”。一、分析物体物体由L形结构和筋板组成。物体的总体尺寸为32×20×26，L形结构的厚度为10，筋板的宽度为6。二、放置物体，投影作图物体突出的形状特点是L形，把物体呈现该特点的方向作为主视图的投影方向，把物体放在三面投影体系中，放正、不动。在画物体的三视图时，先画长方体的三面视图，再用切割的方法画出L形结构的三面视图，然后画筋板的三面视图。三、画三视图（1）固定图纸，比例1∶1。（2）布图，画定位线。（3）打底图。长方体→L形→筋板。（4）检查修正，擦掉辅助线。（5）描深。任务实施任务达标完成练习完成《机械制图技能达标手册》中相应的练习。本节结束“机械制图”课程团队项目二投影作图基础任务一任务二任务三任务三学习目标画简单物体的三视图画基本几何体的三视图作点、直线、平面的投影画轴测图

任务二作点、直线、平面的投影任务描述已知点A（30，8，5）、点B（10，2，30）、点C（5，30，10），求作平面ABC的三面投影。图2-11求作平面ABC的三面投影任务分析根据点的坐标求作点的三面投影，再依次连接即可完成任务。完成任务的前提是掌握“知识链接”中讲解的点、直线、平面的投影知识。任务实施的方法和步骤：分别求作点A、B、C的三面投影→依次连接三点的同面投影。知识链接

点的投影仍然是点。点A是长方体的一个顶点。将长方体放在三面投影体系中分别向三个投影面投影，得到长方体的三视图，同时也得到点A的三面投影。假设从三面投影体系中取走长方体，只保留点A及其投影，则这个图称为点A的直观图。将H面和W面展开后，即得点A的三面投影。一、点的投影1．点的三面投影通常规定空间点用大写字母标记，如A、B、C等；H面投影用相应的小写字母标记，如a、b、c等；V面投影用相应的小写字母加一撇标记，如a′、b′、c′等；W面投影用相应的小写字母加两撇标记，如a″、b″、c″等。为了便于进行投影分析，用细实线将点的相邻两面投影连接起来，称为投影连线，a和a″不能直接连接，可以通过45°的辅助线实现连接。知识链接点的三面投影规律如下：（1）点的两面投影的连线，垂直于相应的投影轴，即a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。（2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离，即aaY=a′aZ=Aa″，aaX=a″aZ=Aa′，a′aX=a″aY=Aa。知识链接点的空间位置也可以用其直角坐标值来确定，空间点A的坐标用A（x，y，z）形式表示。点的坐标值的意义如下：点A到W面的距离为Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。点A到V面的距离为Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。点A到H面的距离为Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。空间点的位置由该点的坐标（x，y，z）确定，其投影的位置也可由坐标来确定。点A的三面投影的坐标分别为a（x，y）、a′（x，z）、a″（y，z）。已知点A的坐标为（20，10，18），求作点A的三面投影，并画出点A的直观图。2．点的坐标知识链接知识链接3．两点的相对位置

两点的相对位置是指两点在空间的左右、前后、上下三个方向上的相对位置。判断两点的相对位置，就是以一个点为基准，判断另一个点相对于这个点的左右、前后、上下位置关系。判断两点的相对位置的方法如下：（1）在H或V面上可以判断左右相对位置，OX轴的坐标值大的在左，小的在右。（2）在H或W面上可以判断前后相对位置，OY轴的坐标值大的在前，小的在后。（3）在V或W面上可以判断上下相对位置，OZ轴的坐标值大的在上，小的在下。如图2-14所示，点A在点B左、前和下方。知识链接4．重影点的投影

若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两个坐标值相同。当两点的投影重合时，就需要判断其可见性。判断可见性的方法如下：对H面的重影点，从上向下观察，OZ轴坐标值大的可见。对W面的重影点，从左向右观察，OX轴坐标值大的可见。对V面的重影点，从前向后观察，OY轴坐标值大的可见。

在投影图上，不可见的投影加括号表示，例如（a′）。点C、D对H面重影，因此点C、D的x和y两坐标值相同，OZ轴坐标值大者为可见，故点C为可见，点D为不可见，记为c（d）。知识链接二、直线的投影1．直线的投影直线的投影是直线或点。直线的投影可以由该直线上两点的投影来确定。首先作出直线上两点的投影，再连接两点的同面投影，即得直线的投影。知识链接2．各种位置直线的投影

直线在三面投影体系中对三个投影面所处的位置有三种：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。（1）一般位置直线。

与三个投影面都倾斜的直线是一般位置的直线。因为一般位置直线倾斜于三个投影面，所以有以下投影特点：

1）直线的三面投影都具有类似性。

2）直线的三面投影都倾斜于投影轴。（2）投影面平行线。

平行于某一投影面，倾斜于其余两投影面的直线是投影面平行线。与V面平行的直线称为正平线；与H面平行的直线称为水平线；与W面平行的直线称为侧平线。知识链接投影面平行线的投影及投影特性名称直观图投影投影特性正平线

（1）ab∥OX轴，a′′b′′∥OZ轴，都不反映实长。（2）a′b′=AB，反映实长水平线

（1）a′b′∥OX轴，a′′b′′∥OYW轴，都不反映实长。（2）ab=AB，反映实长侧平线

（1）a′b′∥OZ轴，ab∥OYH轴，都不反映实长。（2）a′′b′′=AB，反映实长知识链接（3）投影面垂直线。垂直于一个投影面的直线是投影面垂直线。与V面垂直的直线称为正垂线；与H面垂直的直线称为铅垂线；与W面垂直的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影及投影特性名称直观图投影投影特性正垂线

（1）ab⊥OX轴，a′′b′′⊥OZ轴，ab=a′′b′′=AB，都反映实长。（2）a′（b′）积聚为一点铅垂线

（1）a′b′⊥OX轴，a′′b′′⊥OYW轴，a′b′=a′′b′′=AB，都反映实长。（2）a（b）积聚为一点侧垂线

（1）a′b′⊥OZ轴，ab⊥OYH轴，a′b′=ab=AB，都反映实长。（2）a′′（b′′）积聚为一点知识链接三、平面的投影1．平面的表示方法平面的表示方法有五种。（1）不在同一直线上的三点。（2）直线和直线外一点。（3）两相交直线。（4）两平行直线。（5）任意平面图形，如三角形、四边形、圆等。知识链接平面的投影是平面或直线。平面的投影可以用点的投影来表示，一般先作出各边端点的投影，再依次连接各端点的同面投影，即得平面的投影。2．平面的投影知识链接3．各种位置平面的投影平面在三面投影体系中对三个投影面所处的位置有三种：一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。（1）一般位置平面。与三个投影面都倾斜的平面是一般位置的平面。如图2-18所示，因为一般位置平面倾斜于三个投影面，所以平面的三面投影都具有类似性。（2）投影面垂直面。垂直于一个投影面，倾斜于其余两个投影面的平面是投影面垂直面。与V面垂直的平面称为正垂面；与H面垂直的平面称为铅垂面；与W面垂直的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影及其投影特性见表2-3。（3）投影面平行面。平行于某一投影面的平面是投影面平行面。平行于V面的平面称为正平面；平行于H面的平面称为水平面；平行于W面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影及其投影特性见表2-4。知识链接名称直观图投影投影特性正垂面

（1）V面投影积聚为一直线，并且倾斜于OX轴和OZ轴。（2）H面投影和W面投影具有类似性铅垂面

（1）H面投影积聚为一直线，并且倾斜于OX轴和OYH轴。（2）V面投影和W面投影具有类似性侧垂面

（1）W面投影积聚为一直线，并且倾斜于OZ轴和OYW轴。（2）V面投影和H面投影具有类似性投影面垂直面的投影及其投影特性知识链接名称直观图投影投影特性正平面

（1）H面和W面投影具有积聚性，并且分别平行于OX轴和OZ轴。（2）V面投影反映实形水平面

（1）V面和W面投影具有积聚性，并且分别平行于OX轴和OYW轴。（2）H面投影反映实形侧平面

（1）V面和H面投影具有积聚性，并且分别平行于OZ轴和OYH轴。（2）W面投影反映实形投影面平行面的投影及其投影特性任务实施（1）根据点A（30，8，5）的坐标求作点A的三面投影，如图2-19（a）所示。（2）用同样的方法，求作点B（10，2，30）和点C（5，30，10）的三面投影，如图2-19（b）所示。（3）依次连接AB、BC、CA，即可完成平面ABC的三面投影，如图2-20（c）所示。（a）

（b）

（c）图2-19任务实施的方法和步骤任务达标完成练习完成《机械制图技能达标手册》中相应的练习。本节结束“机械制图”课程团队项目二投影作图基础任务一任务二任务三任务三学习目标画简单物体的三视图画基本几何体的三视图作点、直线、平面的投影画轴测图

任务三画基本几何体的三视图任务描述根据四棱台的轴测图和主、左视图，补画俯视图，并求作点A的三面投影。任务分析基本几何体分为平面立体和曲面立体两类。由平面围成的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥（棱台）等。平面立体中相邻两侧面的交线称为棱线。由曲面或曲面与平面围成的立体称为曲面立体，回转体是常见的一类曲面立体。回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体，如圆柱、圆锥（圆台）、圆球、圆环等。“知识链接”中将讲解基本几何体的三视图的画法以及表面求点的方法。任务实施的方法和步骤：分析任务、确定画图顺序→画俯视图→描深→求作点A的另两面投影。知识链接（1）棱柱的三视图。

常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。下面以正六棱柱为例，介绍棱柱三视图的画法。正六棱柱的上下两个面是正六边形，与六条棱边和六个侧面垂直，六个侧面是矩形。画正六棱柱的三视图时，首先确定正六棱柱主视图的投影方向和放置位置，使正六棱柱的上下两个面平行于H面，两个侧面平行于V面。然后画正六棱柱的三视图，由于正六棱柱的主视图是由三个矩形线框组成的，俯视图是一个正六边形，左视图由两个矩形线框组成，因此建议画图时，先画俯视图，再画主、左视图。一、平面体的三视图1．棱柱知识链接（2）棱柱表面上点的投影。

当点在几何体的表面上时，则该点的各面投影一定在它所在平面的同面投影内，若该平面的投影为可见，则该面上点的投影也可见，反之不可见。因此，在求几何体表面上点的投影时，应先分析该点所在表面的投影特性，求作出该表面有积聚性投影的点，然后根据点的投影规律求作其他投影面上的投影，这种表面求点的方法称为积聚性法。

已知正六棱柱表面上点M的V面投影m′，求作点M的其他两面投影m、m″。

因为m′可见，所以点M在侧面ABCD上。该侧面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m在该直线上，再根据m′、m可求出m″。由于ABCD的侧面投影为可见，故m″也为可见。在判断点的可见性时，如果点与积聚成直线的平面重影，则不加括号。知识链接（1）棱锥的三视图。

常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥和六棱锥等。下面以正三棱锥为例，介绍棱锥三视图的画法。

正三棱锥的表面是四个三角形，其中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形。画正三棱锥三视图时，首先确定正三棱锥主视图的投影方向和放置位置，使正三棱锥的底面平行于H面，一个侧面垂直于W面。然后画正三棱锥的三视图，由于正三棱锥的主视图是由两个三角形线框组成的，俯视图的外框是一个等边三角形，左视图由一个三角形线框组成，因此画图时，建议先画俯视图，再画主、左视图，俯视图是形状特征视图。2．棱锥知识链接（2）棱锥表面上点的投影。

已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′，求作点M的其他两面投影m、m″。

因为m′可见，所以点M在侧面SAB上，侧面SAB是一般位置平面。过顶点S和点M作一辅助直线SK，与底边AB交于点K，点M的三面投影一定在辅助直线SA的同面投影上，这种表面求点的方法称为辅助直线法。

先过点s′、m′作直线s′k′，求作出其水平投影sk，再根据m′′求作出水平投影m，然后根据m′、m可求作出m

″

。

因为正三棱锥的锥顶在上，点M在正三棱锥的左前方侧面上，所以m、m″可见。知识链接二、曲面体的三视图1．圆柱（1）圆柱的三视图。圆柱的表面是圆柱面和上下两底面。圆柱面可看作由一条直线绕平行于它的轴线回转而成，这条直线称为母线，圆柱面上任意一条与轴线平行的直线称为素线。画圆柱三视图时，首先确定圆柱主视图的投影方向和放置位置，然后画圆柱的三视图。因为圆柱的轴线垂直于W面，所以圆柱面在左视图中积聚为一圆形，两侧面平行于W面，在左视图中的投影为圆形。圆柱的主视图为一矩形，矩形的左右两边为圆柱的两侧面在V面上的投影，长度等于圆的直径；矩形的上下两边a'a1'、b'b1'分别是圆柱面最上、最下素线在V面上的投影。圆柱的俯视图也为一矩形，矩形的左右两边为圆柱的两侧面在H面上的投影，长度等于圆的直径；矩形的前后两边分别是圆柱面最前、最后素线在H面上的投影。左视图是形状特征视图，画图时，建议先画左视图，再画主、俯视图。知识链接（2）圆柱表面上点的投影。已知圆柱面上点M的正面投影m′，求作点M的其他两面投影。根据已知条件可以判定点M在圆柱面的前、上方。因为圆柱面在W面上的投影具有积聚性，所以利用积聚性法求作点M在W面上的投影m″。再由m′和m″求作m。因为点M在圆柱面的前、上方，所以m可见。知识链接2.圆锥（1）圆锥的三视图。

圆锥的表面是圆锥面和底面。圆锥面可看作由一条直线绕与它斜交的轴线回转而成，交点为圆锥的顶点，这条直线称为母线，圆锥面上过锥顶的任意一条直线称为素线。

画圆锥三视图时，首先确定圆锥主视图的投影方向和放置位置，然后画圆锥的三视图。因为圆锥的底面是水平面，所以圆锥面和底面的H面投影重合为一圆形，即圆锥的俯视图为一圆形。圆锥的主视图为等腰三角形，其底边是底面在V面上的投影，两腰s'a'、s'c'分别是圆锥面最左、最右素线在V面上的投影。圆锥体的左视图也为等腰三角形，底边是底面在W面上的投影，两腰s"b"、s"d"分别是圆锥面最前、最后素线在W面上的投影。俯视图是形状特征视图，画图时，建议先画俯视图，再画主、左视图。知识链接（2）圆锥表面上点的投影。

已知圆锥表面上点M的正面投影m′，求作点M的其他两面投影m、m″。圆锥表面求点的作图方法有辅助直线法和辅助圆法两种。

1）辅助直线法。

根据已知条件可以判定点M在圆锥面的左、前方。作图步骤：过点s′和m′作直线s′a′，根据“长对正”先求作直线sa，再求作投影m，然后根据“高平齐”和“宽相等”求作m″。

因为圆锥的锥顶在上，点M在圆锥的左前方，所以m、m″可见。知识链接2）辅助圆法。

根据已知条件可以判定点M在圆锥面的右、前方。过圆锥面上点M作一辅助圆，点M的三面投影一定在此辅助圆的同面投影上，这种表面求点的方法称为辅助圆法。

作图步骤：首先过m′作垂直于轴线的直线a′b′，a′b′为辅助圆在V面上的投影，a′b′的长度是辅助圆的直径，辅助圆在H面上的投影为一显实性的圆，圆心为s，再根据“长对正”求作m。然后根据“高平齐”和“宽相等”求作m″。

因为圆锥的锥顶在上，点M在圆锥的右、前方，所以m可见、m″不可见。知识链接3．圆球（1）圆球的三视图。

圆球面可看作一个圆绕其直径回转而成，这个圆称为圆母线，球面上任意一个圆称为圆素线。

圆球的三视图都是与圆球直径相等的圆，这三个圆分别表示三个不同方向的球面最大圆素线的投影。球面上最大圆素线A将圆球分为前后两个半球，前半球可见，后半球不可见，V面投影为a′，形成了主视图的轮廓线，而H面和W面投影与相应的中心线重合，不画出来；球面上最大圆素线B将圆球分为上下两个半球，上半球可见，下半球不可见，H面投影为b，形成了俯视图的轮廓线，而V面和W面投影与相应的中心线重合，不画出来；球面上最大圆素线C将圆球分为左右两个半球，左半球可见，右半球不可见，W面投影为c″，形成了左视图的轮廓线，而H面和V面投影与相应的中心线重合，不画出来。知识链接（2）圆球表面上点的投影。

已知圆球表面上点M的水平投影m，求作点M的其他两面投影m′、m″。

根据已知条件可以判定点M在圆球面的左、上、前方。采用辅助圆法求作m′、m″，过点M作平行于V面的辅助圆（也可以作平行于H面或W面的辅助圆），它的H面投影为过m的直线ab，直线ab平行于OX轴，V面投影为直径为ab的圆，圆心为球心。根据“长对正”由m求作m′，再根据“高平齐”和“宽相等”由m、m′求作出m″。知识链接三、基本几何体的尺寸标注1．平面体的尺寸标注

基本几何体的三视图表达了物体的形状，而物体的真实大小是由图样上的尺寸确定的。因此，我们必须正确、完整地标注基本几何体的尺寸。正确是指尺寸数值标注要正确，尺寸标注要符合国家标准的规定；完整是指标注尺寸既不能遗漏，也不能重复。平面体一般应标注长、宽、高三个方向的尺寸。常见平面体的尺寸标注。知识链接知识链接2．曲面体的尺寸标注

圆柱和圆锥一般应标注直径和高度尺寸，圆台一般应标注上底和下底的直径和高度尺寸，圆球应标注直径。在标注圆柱和圆锥的直径时应在尺寸数字前面加注φ，在标注圆球的直径时应在尺寸数字前面加注Sφ。任务实施画物体的三视图，通常分为根据轴测图画三视图、根据两面视图画第三面视图、补画视图中的缺线以及表面求点等。本任务是根据四棱台的轴测图和主、左视图，补画四棱台的三视图，并完成点A的三面投影。一、分析任务、确定画图顺序和方法如图2-30（a）所示，根据已知条件，俯视图是两个矩形+四条棱线，点A在四棱台的前侧面上，前侧面是侧垂面，在W面上的投影具有积聚性，因此利用积聚性法可以完成表面求点。画图顺序为画俯视图→描深→求作点A的另两面投影→检查、修正和修饰全图。二、画俯视图如图2-30（b）、图2-30（c）所示，根据“长对正”和“宽相等”画出投影线，依次连接并描深。三、求作点A的另两面投影如图2-30（d）所示，根据“高平齐”画出投影线，由a′求作a″；根据“长对正”和“宽相等”画出投影线，由a′、a″求作a。因为四棱台的小端在上，所以a可见。四、检查、修正和修饰全图检查、修正和修饰全图的具体方法不再赘述。。任务实施任务达标完成练习完成《机械制图技能达标手册》中相应的练习。本节结束“机械制图”课程团队项目二投影作图基础任务一任务二任务三任务三学习目标画简单物体的三视图画基本几何体的三视图作点、直线、平面的投影画轴测图

任务四画轴测图任务描述画图所示物体的正等轴测图。任务分析基本几何体的三视图能够比较完整、准确地表达物体的形状和大小，而且画图方便，在实际生产中应用广泛。但这种图样缺乏立体感，读图时需要将几个视图联系起来看，才能想象出空间物体的形状。于是，为了便于看图，工程上常采用轴测图，这种图立体感强，直观易懂，但不便于表达物体的真实大小，度量性差，因此只作为辅助图样。要正确绘制物体的轴测图，必须掌握“知识链接”中讲解的轴测图相关知识。任务实施的方法和步骤：分析物体、确定画图顺序和方法→画长方体的轴测图→用切割法画L形结构→用切割法画两个楔形结构→描深→检查、修正和修饰全图。知识链接

在立方体上设置直角坐标系O-XYZ，将立方体连同直角坐标系O-XYZ一起放在单一投影面的前方，使立方体倾斜放置，令三根坐标轴与单一投影面的夹角相等，用正投影法将其投影到单一投影面上，所得的投影称为正等轴测投影，也称正等轴测图。单一投影面称为轴测投影面。一、正等轴测图1．正等轴测图的概念根据投影方向与轴测投影面的夹角不同，轴测图分为正轴测图和斜轴测图。当投影方向与轴测投影面垂直时为正轴测图，正轴测图又分为正等轴测图、正二轴测图、正三轴测图；当投影方向与轴测投影面倾斜时为斜轴测图，斜轴测图又分为斜等轴测图、斜二轴测图、斜三轴测图。机械工程领域常使用正等轴测图和斜二轴测图。知识链接（2）三棱锥正等轴测图的画法。三棱锥的底面是水平面，作图时首先求作锥顶和底面的轴测投影，然后连接各棱线，即可完成三棱锥的正等轴测图。知识链接（1）轴测轴。空间直角坐标轴OX、OY、OZ的轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴。（2）轴间角。相邻两轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1称为轴间角。正等轴测图的轴间角∠X1O1Y1=∠X1O1Z1=∠Y1O1Z1=120º。画图时，通常将O1Z1轴画成铅垂位置，O1X1和O1Y1轴分别与水平位置成30º角。（3）轴向伸缩系数。轴测轴上单位长度与直角坐标轴上对应单位长度之比称为轴向伸缩系数。OX、OY、OZ轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1表示，简化轴向伸缩系数分别用p、q、r表示。正等轴测图的轴向伸缩系数p1=q1=r1=0.82，为了方便画图，采用简化轴向伸缩系数p=q=r=1。知识链接（1）物体上互相平行的线段，在轴测图中仍互相平行；物体上平行于坐标轴的线段，在轴测图中仍平行于相应的轴测轴，且同一轴向所有线段的轴向伸缩系数相同。（2）物体上不平行于坐标轴的线段，可以用坐标法确定其两个端点，然后连线画出。2．轴测图的基本性质3．平面体正等轴测图的画法根据物体的形状特点，画轴测图的方法有坐标法、切割法和叠加法三种。坐标法是根据坐标画出物体各顶点的轴测投影，再依次连接各顶点，从而得到轴测图的方法，是画轴测图的基本方法。知识链接（1）长方体正等轴测图的画法。根据长方体的特点，选择其中一个顶点作为空间直角坐标系原点，并以过该顶点的三条棱线为坐标轴。为了方便，从顶面开始作图。作图方法和步骤如下：1）确定空间直角坐标系。2）画轴测轴。在O1X1轴上截取长度a，在O1Y1轴上截取宽度b，得到两个顶点，分别过两个顶点作O1X1轴和O1Y1轴的平行线，这样就画出了长方体的顶面。3）过长方体顶面的三个顶点分别作O1Z1轴的平行线，长度为高度h，得到三个顶点，依次连接三个顶点。4）检查，擦掉辅助线，描深，即可完成长方体的正等轴测图。知识链接（3）正六棱柱正等轴测图的画法。因为正六棱柱前后、左右对称，所以选择顶面的中心作为直角坐标系的原点，棱柱的中心线作为OZ轴。为了方便，从顶面开始作图。知识链接（1）正等轴测图中椭圆的近似画法。这里以平行于H面的圆为例，介绍正等轴测图中椭圆的近似画法——外切菱形法。用该方法画椭圆，就是将椭圆近似为四段圆弧，相邻的两段相切。因此，画椭圆的方法就是求作四个圆心、四个切点和画四段圆弧。作图方法和步骤如下：1）画出平行于H面的圆的投影并作圆的外切正方形，如图2-36（a）所示。2）画出轴测轴，沿O1X1轴、O1Y1轴的正负方向分别截取长度为半径R，得椭圆上四点A1、B1、C1、D1，过这四点作出外切正方形的轴测图——菱形，点A1、B1、C1、D1是切点，如图2-36（b）所示。3）连接Ⅰ1A1、Ⅱ1B1，分别交菱形的长对角线于点Ⅲ1和点Ⅳ1。点Ⅰ1、Ⅱ1、Ⅲ1、Ⅳ1是圆心。以Ⅰ1为圆心，Ⅰ1A1为半径画圆弧A1D1；以Ⅱ1为圆心，Ⅱ1B1为半径画圆弧B1C1，如图2-36（c）所示。4）分别以Ⅲ1、Ⅳ1为圆心，Ⅲ1A1、Ⅳ1B1为半径画圆弧A1C1和B1D1，即得水平圆的正等轴测图，如图2-36（d）所示。4．曲面体正等轴测图的画法知识链接（2）圆柱表面上点的投影。已知圆柱面上点M的正面投影m′，求作点M的其他两面投影。根据已知条件可以判定点M在圆柱面的前、上方。因为圆柱面在W面上的投影具有积聚性，所以利用积聚性法求作点M在W面上的投影m″。再由m′和m″求作m。因为点M在圆柱面的前、上方，所以m可见。知识链接（2）圆柱正等轴测图的画法。画圆柱正等轴测图时，先根据圆柱的直径和高度画出两个形状和大小相同、中心距为圆柱高的椭圆，再画两椭圆的公切线。圆柱正等轴测图的作图方法和步骤如图2-37所示。（a）

（b）

（c）

（d）图2-37圆柱正等轴测图的画法

知识链接（3）圆台正等轴测图的画法。圆台正等轴测图的作图方法和步骤如图2-38所示。（a）（b）（c）图2-