广东省多校2026-2027学年高二第一学期第一次教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省多校2026-2027学年高二第一学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A3,1，B33A.60∘ B.30∘ C.120∘2.与直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线方程为(

)A.3x+4y−5=0 B.4x−3y+5=0 C.3x−4y−5=0 D.3x−4y+5=03.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量为s=(1,1,−b)，平面α的一个法向量为n=(1,2,3)，若直线l与平面α平行，则b=(

)A.−1 B.1 C.2 D.34.圆C1:x2+yA.1 B.2 C.3 D.45.若点P(1,1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦A.2x+y−3=0 B.x−2y+1=0 C.x+2y−3=0 D.2x−y−1=06.中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1、BB1、CC1、DD1均与曲池的底面ABCD垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90∘A.45 B.35 C.107.实数x，y满足x2+y2+2x−4y+1=0，则A.2 B.27 C.28.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱AA1上的一点(不与点A1重合)，若平面A.π6 B.π4 C.π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：y=2x+1，l2：ax+y−a−1=0，则(

)A.l1在x轴的截距为12

B.l2过定点1,1

C.若l1//l2，则a=−2

D.若l1，l10.已知圆C：x2+y2=4，直线l：A.直线l恒过定点(3,0)

B.点P为圆C上一动点，则P到直线l距离的最大值为5

C.当t=12时，圆C上恰有两个点到直线l的距离都等于12

D.直线l上存在点P，使过点11.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面有点P，且满足APA.当x=1时，D1P+BP的最小值为5

B.当x=y时，有且仅有一点P满足DB1⊥A1P

C.当x+y=1时，有且仅有一点P到直线A1B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线|x|−12+|y|−12=213.平行四边形的四条边所在直线的方程分别为x−4y+5=0，2x+y−8=0，x−4y+ 14=0，2x+y+1=0，则该平行四边形的面积为

．14.用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆Q的圆心为Q(0,−3)且过原点O，圆心都在x轴上且半径都为2的圆L、圆S均与圆Q外切．若过点O的直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均为d，则d=

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，棱长为1的正四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M满足(1)用a、b、c表示MN；(2)求|MN|16.(本小题15分)已知圆C经过A3,0，B1,2两点，且圆心在(1)求圆C的标准方程；(2)过点P−1,−1作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求MN的值．17.(本小题15分)已知▵ABC的顶点C1,3，边AC上的高BH所在直线的方程为x−2y+2=0，点0,1是边AB(1)求B的坐标；(2)求∠BAC的平分线所在直线的方程．18.(本小题17分)如图，在四棱锥S−ABCD中，∠DAB=∠ADC=2∠ABD=2∠BCD=90∘，CB=BD=22，SB=SD=6，平面(1)求证：SD⊥BC；(2)线段SD上是否存在点P，使平面ABP与平面SBD所成角大小为60∘？若存在，找出点P的位置；若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)已知点A，B关于原点O对称，点A在直线x+y=0上，AB=2，⊙C过点A，B且与直线x+1=0相切，设圆心C的横坐标为a(1)求⊙C的半径；(2)若a<2，已知点P0,1，点M，N在⊙C上，直线MN不经过点P，且直线PM，PN的斜率之和为−1，PD⊥MN，D是垂足，问：是否存在一定点Q，使得DQ为定值．

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】4π+8

/8+4π

13.【答案】9

14.【答案】12515.【答案】【详解】(1)连接ON，如图所示．∵点N为BC中点，∴ON∵OM=1则MN=(2)因为正四面体的棱长为1，所以a⋅所以MN=1所以|MN

16.【答案】解：(1)法一：因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的标准方程为x−a2因为圆C经过A3,0，B所以3−a2+所以圆C的方程为x−12法二：AB的中点坐标为2,1，直线AB的斜率k=2−0所以线段AB的垂直平分线的斜率k=1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y−1=x−2，即y=x−1，又因为圆C的圆心在x轴上，所以联立方程y=x−1y=0，得x=1y=0，即圆心C1,0，圆C所以圆C的方程为x−12(2)法一：因为P−1,−1，C所以PC=所以PM=则四边形PMCN的面积S=PM因为过点P−1,−1作圆C的两条切线，切点为M、N，所以所以四边形PMCN的面积S=12PC法二：由题意PM⊥CM且PN⊥CN，所以M、N在以PC为直径的圆上，圆的方程为x+1x−1+y+1又圆C的方程为x2所以两圆的公共弦MN的方程为：2x+y+2=0，圆心C到MN的距离d=2×1+0+2所以MN=2

17.【答案】解：(1)对于边AC上的高BH所在直线的方程x−2y+2=0，当x=0时，代入解得y=1，即点D0,1在直线BH因为D是边AB的中点，点B在直线BH上，则点A也在直线AH上，点A与点H重合，故直线AB与直线AC垂直．由x−2y+2=0可得kAB=1由C1,3得lAC：y−3=−2x−1x−2y+2=0y=−2x+5解得x=85D为AB中点，则xB=2×0−8(2)在∠BAC平分线上取一点P，则∠PAC=45过A作x轴的平行线，在该直线上点A右侧取一点Q，则kAC∴k由A85,95即x+3y−7=0，即所求平分线所在直线的方程为y=−1

18.【答案】解：(1)证明：在平面SBD中，过D作DE⊥SB于E，

∵平面SBD⊥平面SBC，平面SBD∩平面SBC=SB，DE⊂平面SBD，∴DE⊥平面SBC．

∵BC⊂平面SBC，∴DE⊥BC．

∵∠DAB=∠ADC=2∠ABD=2∠BCD=90∘，∴∠ABD=∠BCD=45∘，AB/​/CD，

∴∠CDB=∠ABD=45∘，∴∠CBD=90∘，即BD⊥BC．

∵BD，DE⊂平面SBD，BD∩DE=D，∴BC⊥平面SBD．

∵SD⊂平面SBD，∴SD⊥BC．

(2)存在，点P为SD靠近点S的三等分点，

以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立空间直角坐标系．

由(1)得：AB=AD=BDcos45∘=2，CD=BDcos45∘=4，

∴B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(4,2,0)，∴BD=(−2,2,0)，AB=(2,0,0)．

取BD中点O，连接OA，OS，则O(1,1,0)，OB=12BD=2．

∵AB=AD=2，SB=SD=6，∴OA⊥BD，OS⊥BD．

∵OS⊂平面SBD，BC⊥平面SBD，∴BC⊥OS．

∵BD，BC⊂平面ABCD，且BD∩BC=B，∴OS⊥平面ABCD．

∵OS=SB2−OB2=2，∴S(1,1,2)，∴SD=(−1,1,−2)．

设SP=λSD=(−λ,λ,−2λ)，(0<λ<1)，则AP=SP+AS=(1−λ,1+λ,2−2λ)，

设平面ABP的法向量为m=(x,y,z)，则有m⋅AB=0m⋅19.【答案】解：(1)∵圆C过点A，B，∴圆心C在AB的垂直平分线上，由已知点A在直线x+y=0上，且点A，B关于原点O对称，∴点C在直线y=x上，则点C的坐标为(a,a)．∵圆C与直线x+1=0相切，∴圆C的半径为|a+1|，连接CA，由已知得|AO|=1，又CO⊥AO，故可得a+12整理得a2−2a=0，解得a=0或故圆C的半径为r=1或r=3．(2)由(1)及a<2可知a=0，则圆C的方程为x2设Mx1,当直线MN的斜率存在，则可设直线MN的方程为y=kx+mm≠±1代入圆方程可得：1+k2x2+2mkx+且x