2020数学花园探秘总决赛六年级二试真题含答案解析数学竞赛备考完整版

PAGEPAGEPAGE2020“数学花园探秘”科普活动总决赛小学六年级组二试一．填空题（每小题10分，共30分）在阿基米德的墓碑上镌刻着一个等边圆柱体（即：高与底面直径相等的圆柱）．如图，从一个等边圆柱体中截出一个圆锥，如果剩下部分的表面积与圆锥表面积的差为1256平方厘米，则圆柱的表面积为________平方厘米．（取3.14）设将自然数n表示为两个非零自然数的平方差有种方法，例如：，故；而2不能表示，故．那么，的计算结果是________．BACD在如图的方格表中选出三格，其中任意两格均没有公共点，一共有________BACD图a图b1图b2图b3二．解答题（每小题15分，共30分）如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，AE与BD交于点F，CF与DE交于点G．已知三角形BEF、ECG、AFG的面积分别为19、45、48（即图中阴影部分）．（1）求三角形DFG的面积；（2）求平行四边形ABCD的面积．FFGEDABC如图，甲、乙、丙三人分别从A、B、C三地同时出发去D地．出发一段时间后，一人追上了另一人，被追上的人会立即将速度提高1倍；再过了相同的时间，又有一人追上另一人，被追上的人又立即将速度提高1倍．最后三人同时到达D地，这是三人首次相聚．如果A、B相距30千米，丙出发时的速度是每小时2千米，甲、乙出发时ABCD每小时行走的千米数也是整数．求ADABCD参考答案及解析1、〖答案〗1884 〖解析〗如图，从图中可以看出，截出的两个几何体表面积之差恰为原圆柱体的侧面积．设原圆柱体的底面半径为r，则此圆柱体的高h＝2r，于是，而原圆柱体的表面积，由此可知，又依题意平方厘米，所以圆柱体的表面积平方厘米．2、〖答案〗116〖解析〗对于非零自然数a，若它能写成两个非零自然数的平方差，设（这里m、n均为非零自然数，且），由于，故、均为自然数a的因数．考虑到与的奇偶性相同，因此对于任何一对奇偶性相同的正整数、（），其积就必然能写成两个非零自然数的平方差，就是其对应的表示方法．这表明只要能找出有多少对奇偶性相同的正整数使得且，其对数就恰好就等于的值．分类计算：在q＝1时，p可以取3、5、7、…、99，满足条件的数对有49对；在q＝2时，p可以取4、6、8、…、50，满足条件的数对有24对；在q＝3时，p可以取5、7、9、…、33，满足条件的数对有15对；在q＝4时，p可以取6、8、10、…、24，满足条件的数对有10对；在q＝5时，p可以取7、9、11、…、19，满足条件的数对有7对；在q＝6时，p可以取8、10、12、14、16，满足条件的数对有5对；在q＝7时，p可以取9、11、13，满足条件的数对有3对；在q＝8时，p可以取10、12，满足条件的数对有2对；在q＝9时，p可以取11，满足条件的数对只有1对；在时，不存在满足条件的数对．综上，满足条件的数对共有对，也就是所求的结果为116．3、〖答案〗140 〖解析〗考虑对4×4方格表中心处的2×2方格，这4个方格中其中至多会选出一个方格，于是进行分类讨论：情形1：如图a，若从这四个方格中选出了一个方格进行染色，不妨设图中“☆”所在方格被选出，则另外两个被选出的方格必选自图中标1～7号的这七个方格中，注意到3号方格和5号方格不能同时被选中，因此共有种选法，这表明这种情形下三个选出的方格共有种选法；情形2：如图b1，若未从这四个方格中选出了方格，则所有选出的方格均出自1~12号方格．将这12个方格分成4个部分，可知每个部分中至多只能选出1个方格，从而必有1个部分未选出方格，不妨设3-4-5号方格中未选出，下面对9-10-11号方格中选出的方格进行分类计算：如果10号方格被选出（如图b2），此时另外两个方格共有种选法；如果11号（或9号）方格被选出（如图b3），此时另外两个方格共有种选法；这表明这种情形下选出三个方格共有种选法．综上，三个方格的选法共有种．4、〖答案〗（1）64 （2）760 〖解析〗

法一：（1）根据一半模型：①+19+③+45=一半=①+②+③，所以②，即三角形DFG面积为19+45=64。（2）三角形DFG与三角形AFG的面积差为64-48=16。根据一半模型，①+②+③+④=②+④+⑤。①=⑤-③，所以三角形BFG的面积为64-48=16。DF:FB=64：16=4:1，根据沙漏模型，得知E为四等分点。而BEF面积为19。所以平行四边形总面积为19×5×4×2=760。法二：（2），即：， 而，即有：所以：，解得：，．所以，，平行四边形面积为：．（1），所以，．5、〖答案〗75、80、120、240 〖解析〗第一次肯定不是甲追上丙，因为开始时乙在甲、丙之间； 第一次也不会是甲追上乙，因为甲追上乙之后，无论谁更快，快的人会先追上丙，另一人就会被落在最后．所以，第一次一定是是乙追上丙． （1）如果第二次是甲追上乙，然后甲乙同时追上丙，正好到达D．如下图： 甲甲ABCD乙丙MNP 丙出发时速度为2千米/时，乙速度比丙快，在M点追上丙．丙加速，丙速度变为4千米/时，速度比乙快，所以乙的速度为3千米/时． 甲在N地追上乙，乙速度加倍，这时甲乙速度相同，所以甲速为6千米/时． 因为第一次追及和第二次追及间隔时间相同，所以，， 根据速度比，，，化连比，不难得出：，（图中甲走的第一段正好在B），路程为75千米． （2）如果第二次是甲追上丙，然后甲丙同时追上乙，正好到达D．如下图： DD甲ABC乙丙MNP 丙出发时速度为2千米/时，乙速度比丙快，在M点追上丙，丙加速，丙速度变为4千米/时，速度比乙慢，所以乙的速度大于4． 甲在N点追上丙，丙速度再次加速，速度变为8千米/时，此时甲丙速度相同，所以甲速为8千米/时． 乙的速度比甲慢，所以乙开始时，速度可能为5、6、7千米/时．