2025-2026学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题正确的是(

)A.|a|=|b|，a//b，则a=b B.0没有方向

C.若a//b2.已知复数z=i(2+i)，则z的虚部为(

)A.1 B.2 C.i D.2i3.在▱ABCD中，M为CD的中点，则BM=(

)A.AD−AB B.AB−12AD4.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，那么“α//β”是“l//β”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若两个球的体积之比为1：27，则它们的表面积之比为(

)A.1：3 B.1：9 C.1：27 D.1：816.已知圆锥的底面积为π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为(

)A.23 B.6 C.17.已知非零向量a，b满足(a+2b)⋅b=0，则向量aA.12b B.−12b 8.三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均相等，且∠A1AC=120°，D，E，F分别为A1C1A.37 B.77 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知非零向量a，b，下列说法正确的是(

)A.若a⊥b，则a⋅b=0

B.(a+b)2−(a−b)2=2ab

10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h=2sin(t+π4)确定，则(

)A.小球在开始振动(即t=0)时，h=2

B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2

C.经过2πs往复运动一次

D.每秒钟小球能往复振动12π11.某正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为2，侧棱长为10，下列说法正确的是(

)A.该四棱台的高为3

B.该四棱台的体积为5623

C.该四棱台的表面积为56

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i是虚数单位，则|1−i1+i|=

13.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=7，b=8，若△ABC的面积为63，且C为锐角，则c=

．14.在平面内，e1，e2均为单位向量，向量a满足a⋅e1=−1，a⋅e2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标中，已知A(1,1)，B(4,3)，C(1,6)，设AB=a，BC=b，CA=c．

(1)若c=ma+nb，求实数m，n的值；

(2)16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足asinB=3bcosA，2sinB=3sinC．

(1)求A；

(2)求sinB17.(本小题15分)

如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于圆柱，3AB=2AA1，圆柱的侧面积为542π，点E是棱CC1上的点，点F是棱CD上的点，且C1E=3，CF=2．

(1)若直线C18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D是AC的中点，∠ABD+∠C=90°，且AC=8．

(1)求证：A=C或A+C=π2；

(2)若△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值；

(3)若AB≠BC，点E在△ABC所在的平面内，点A和点E在BC的异侧，且△BCE为等腰直角三角形，∠BCE=90°，求DE19.(本小题17分)

如图，在平面四边形PBCD中，点A为线段PD上一点，AB⊥PD于点A，且PD=5，AD=2CD=2，∠ADC=60°，将△PAB沿AB折起，得到四棱锥P−ABCD．

(1)若平面PAB⊥平面ABCD，求证：CD⊥CP；

(2)若二面角P−AB−D的大小为120°，∠APB=30°．

(i)求PC与平面PAB所成角的正弦值；

(ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的正切值．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】1

13.【答案】3

14.【答案】615.【答案】因为A(1,1)，B(4,3)，C(1,6)，

所以a=AB=(3,2)，b=BC=(−3,3)，c=CA=(0,−5)．

因为c=ma+nb，所以(0,−5)=m(3,2)+n(−3,3)=(3m−3n,2m+3n)，

所以3m−3n=02m+3n=−5，解得m=n=−1

因为M为线段BC靠近C的三等分点，所以BM=23BC，16.【答案】因为asinB=3bcosA，

所以由正弦定理得：sinAsinB=3sinBcosA，

又因为B∈(0,π)，所以sinB>0，

所以sinA=3cosA，即tanA=3，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3

因为2sinB=3sinC，所以由正弦定理得：2b=3c，即c=2317.【答案】证明：因为3AB=2AA1，设AB=2a，AA1=3a，a>0，

因为ABCD为正方形，则圆柱的底面半径r=22AB=2a，

则圆柱的侧面积为2π×2a×3a=542π，解得a=3，即AB=6，AA1=9，

连接CD1，

因为A1D1/​/BC，且A1D1=BC，可知A1BCD1为平行四边形，则A1B/​/CD1，

又因为平面ABB1A1/​/平面CDD1C1，平面A1BE∩平面ABB1A1=A1B，平面A1BE∩平面CDD1C1=GE，

可得A1B//GE，则GE//CD1，可得C1GC1D1=C1ECC1=13；

连接GF，

因为C1GC1D1=CFCD=13，且CDD1C1为矩形，则GF//DD18.【答案】证明：由题意在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

由正弦定理得csinC=asinA，

在△ABD和△CBD中，由正弦定理得：CDsin∠CBD=BDsinC，ADsin∠ABD=BDsinA，

因为D是AC中点，AD=CD，所以sinAsin∠ABD=sinCsin∠CBD，

已知∠ABD+∠C=90°，则∠ABD=90°−C，

又∠CBD=B−∠ABD=B−(90°−C)=B+C−90°=(180°−A)−90°=90°−A，

代入得sinAcosC=sinCcosA，即sinAcosA=sinCcosC，

所以sin2A=sin2C，因为A，C∈(0,π)，所以2A=2C或2A+2C=π，

即A=C或A+C=π2

由(1)知A=C或A+C=π2，

若△ABC为直角三角形，则B=90°，此时A+C=π2，S△ABC=12ac，

a2+c2=b2=64，由64=a2+c2≥2ac，可得ac≤32，

所以S△ABC=12ac≤16，

当且仅当a=c=42时取等号，故△ABC面积的最大值为16

因为AB≠BC，所以A≠C，由(1)知A+C=π2，即B=90°，

以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，

设BC=a，则AB=64−19.【答案】证明：连接AC，

在△ACD中，由余弦定理可得

AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC=4+1−2×2×1×12=3，

即AC=3，

则AC2+CD2=AD2，可得AC⊥CD，

又因为PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，

可得PA⊥平面ABCD，由CD⊂平面ABCD可得PA⊥CD，

且AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，可得CD⊥平面PAC，

又因为PC⊂平面PAC，所以CD⊥CP

(i)因为PA⊥AB，AD⊥AB，

可知二面角P−AB−D的平面角为∠PAD=120°，

且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，可得AB⊥平面PAD，

过D作DM⊥PA，垂足为M，

则∠DAM=60°，则DM=3，AM=1，可得PM=4，PD=19，

又因为AB⊥平面PAD，DM⊂平面PAD，可得DM⊥AB，

且PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，可得DM⊥平面PAB，

设AB∩CD=E，可知平面PAB∩平面PCD=PE，

则AE=2