上海市徐汇区2026届高三下学期学习能力诊断数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市徐汇区2026届高三下学期学习能力诊断试卷一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果，1.不等式的解集为__________.【答案】2.函数的零点是__________.【答案】03.计算：________．【答案】4.若函数在处的切线方程为，则__________.【答案】5.若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________.【答案】6.若，则______.【答案】57.若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________.【答案】8.已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________.【答案】9.已知实数满足，则的方差的最大值为__________.【答案】10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________.【答案】11.已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________.【答案】12.如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到）【答案】二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A14.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（）A.且B.且C.D.【答案】C15.设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C16.设.定义点的相伴集合为且，其中为正实数.给出以下两个命题：①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2；②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则.则正确的选项是（）A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题【答案】D三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤；17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，.（1）求证：；（2）若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小.（1）证明：取的中点，连接，因为，，则，所以四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，所以，为等边三角形，为的中点，所以，，平面，所以平面，平面，所以.（2）解：梯形的面积为，设四棱锥的高为，体积为，得，所以平面，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，，，，设面的法向量为，，，，，取，则，，设直线与平面所成角为，.直线与平面所成角的大小为.18.为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表：青壮年中老年合计商业健身场馆60社区公共运动场50合计80170（1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；（2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.参考公式及数据：，其中.0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下：青壮年中老年合计商业健身场馆6040100社区公共运动场205070合计8090170

因为，因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关.（2）选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为，因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：.设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为，.因为青壮年共4人，故，解得，又，因此，对应的可能取值为.总情况数为，（对应或）时，，（对应）时，，（对应）时，，（对应）时，，因此，的分布列为：1357所以.19.已知函数，其中且.（1）设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；（2）设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值.解：（1）由题意知：，分母不等于得：，解得：，所以函数的定义域为，要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称，则，解得，当时，，定义域为，此时，满足奇函数的定义，所以存在正数，使得函数为奇函数.（2）由题意知：，则等价于，其中且，化简得：，令，，原命题等价于：的解集为单元素集合，①方程有两相等实根，且不等于，所以，化简得：，解得：，验证根是否等于，当时，根，满足题意，当时，根，满足题意，②方程有两不等实根，且其中一个根为，则将代入方程：，当时，此时方程为，解得：（舍）或，满足题意.综上所述：正数的取值为或或.20.已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上.（1）若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标；（2）若，且点为线段的中点，求实数的取值范围；（3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，双曲线的方程为，此时.根据双曲线渐近线方程可得.根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为.（2），，，，①，，代入上式②，联立①②，得，.（3）的右顶点为.若直线的斜率为0，此时，为异支弦，.若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，得.当时，设，则.设，则.当为异支弦时，，所以，即.所以，所以异支弦最小值为.当为同支弦时，.因为，所以.所以同支弦长最小值为，由已知2λn+12-若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使2-1λn>d此时2λn>21.已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数.（1）设.求证：是的“2-调整函数”；（2）设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围；（3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由.（1）证明：因为，所以.所以所以是的“2-调整函数”；（2）解：由，得.由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立，即，即.因为存在实数，满足上式，所以，即.1)若，则成立；2)若，则，所以，且.设，则在单调