湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一年级下学期期中学情质量检测数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一年级下学期期中学情质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（）A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱【答案】C3.设是非零向量，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A4.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形【答案】C5.已知复数满足，且，则（）A.1 B. C. D.【答案】B6.已知向量满足，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D7.在中，角，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B8.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（）A. B.C. D.【答案】A二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知向量，，，则下列说法正确的有（）A.B.若，则C.若，则D.在上的投影向量坐标为【答案】BCD10.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则符合条件的有两个B.若点为的重心，则C.若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心D.已知是内一点，若分别表示，的面积，则【答案】BCD11.在△ABC中，角的对边分别为，且则下列说法正确的是（）A.为钝角三角形B.C.若为边的中点，则|AM|的取值范围为D.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______．【答案】13.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．【答案】14.已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.【答案】4.四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，，是虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求m的值：（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．解：（1）因为复数是纯虚数，所以.由，解得或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求，舍去，所以m的值为1.（2）当时，复数，由题意知复数是关于x的方程的一个根.因为方程的系数为实数，所以方程的另外一个根是的共轭复数.所以由韦达定理可得，解得.16.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，.（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.17.在菱形中，，，，.（1）若，求的值；（2）求的值；（3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围.解：（1）因为，，所以,又因为，所以，，所以.（2）因为，所以，在菱形中，，所以，所以.（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.由菱形边长为，，得，，，，因为，易得，由可得，在线段上，则

，.，，所以，又，所以，又因为，所以.故不是定值，取值范围为.18.如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且.（1）求k的取值范围；（2）若，求k为何值时，BC最短.解：（1）方法一：由AD是∠BAC的平分线,可得,则,在△ABC中,由正弦定理得①,在△ACD中,由正弦定理得②,由①②得,又,,所以,则,因为,所以.方法二：由,得,又,,整理得,因为,所以.方法三：在△ADC中,,在△ABD中,,又,则,解得,因为,所以.（2）由余弦定理得,因为,所以,即,故,记,则,（其中）,故当时,y取得最小值3,此时,又由（1）知,而,则,故,即当时,BC最短.19.若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．（1）若，，求的值；（2）若为锐角三角形，①若，求的值；②若，求的取值范围．解：（1）在中，，由正弦定理可得，所以.（2）①由（1），同理可得，又在中，，可得，同理可得，所以.②由前可知，且，所