2027中考数学复习-解答题专项集训25 推理与论证、轨迹

第1页（共1页）2027年中考数学复习解答题专项集训之推理与论证、轨迹一．解答题（共20小题）1．某芯片公司设计了两个方案用以提升某类AI芯片的产量和性能．将第x批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为y1%和y2%，对于给定的方案，可以认为y是x的函数．部分数据如下：x12345678…y17078848890919293…y274818791m959798…对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系xOy中描出各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线C1和C2，曲线C1如图所示．（1）当整数x的值为_____时，按方案一优化后的成品率首次超过85%；（2）写出表中的m值（m为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线C2；（3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于90%的批次称为合格批次．①根据上述函数关系，该公司最早在第_____天（整数）开始生产合格批次的芯片；②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过_______天（整数）完成这个订单．2．项目化学习请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务．关于“对称数”的研究报告追梦小组研究对象：对称数研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究．研究方法：观察分析—猜想—验证研究内容：1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．2．观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60；…任务：（1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____整除；②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想；（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的．3．【定义】一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．【观察】101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60；…【任务】（1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____整除；②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想；（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的．4．请从下列两个命题中选取一个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．（1）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新数，这两个数的差是9的倍数；（2）一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是平行四边形．5．根据如表所示素材，探索完成任务．素材一因3C认证移动电源方可登机，出行需求大增，深圳某电商为备战“6.18”购物节，分两次购进A、B两款移动电源，两次同型号进价相同：采购批次A数量（件）B数量（件）采购总费用（元）第一次30403800第二次40303200素材二售价A：30元/件，B：100元/件．素材三计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．问题解决任务一求A、B移动电源的每件的成本是多少元．任务二求获利最大的进货方案及最大利润．6．标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被_____选择；（2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为________．7．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…；【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x】（1）由题意可知：P1＝3、S1；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3；则P4＝_______、S4＝_____；（2）P7﹣S7＝___________________；（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．8．如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．9．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有x1，x2，x3，x4，x5便于记录．具体游戏规则如下：甲同学：同时翻开x1，x2，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x3，x4，x5按原顺序记录在表格中；乙同学：同时翻开x1，x2，x3，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x4，x5按原顺序记录在表格中；…以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．如表记录的是这四名同学五天的训练计划：日期记录结果同学星期一星期二星期三星期四星期五甲同学x2x1x3x4x5乙同学x2x3x1x4x5丙同学___________________________________丁同学x4x5x2x3x1根据记录结果解决问题：（1）补全表中丙同学的训练计划；（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．①如果x2＝36，x3＝40，那么x1所有可能取值为_____________；②这四名同学星期_____做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为________个．10．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知AB⊥CD，AE⊥l，CF⊥l，垂足分别为B，E，F，AB＝1.9m，∠BAE＝109°．（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）（1）求AC的长；（2）碓工作时，DC从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时∠BAE＝128°，求点C的运动路径长（结果保留π）．11．汽车转向．家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下：①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动；②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动；③如图1，转向中心O在后轮触地点连线的延长线上，O与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向；④当前轮转角最大时，O到前外轮触地点转向中心之间的距离称为车辆的最小转弯半径．（1）①在汽车转向时，前内轮转角α_____前外轮转角β，前内轮的转动速度_____前外轮的转动速度；（均填写“＞”“＜”或“＝”）②已知汽车轴距为L，轮距为K，若该汽车转向时前内轮转角为α，则此时前外轮转角β的正切值是____________________（用含L，K和α的式子表示）．（2）已知某汽车的轴距L为2.7m，轮距K为1.8m，前内轮转角α最大为37°．求该汽车的最小转弯半径．（精确到0.1m）（参考数据：.）（3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留如图2所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由．12．【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点O为摩天轮圆形转轮的圆心，AB为水平支撑架，支撑架OA，OB与⊙O分别交于M，N两点，已知AM＝BN．【问题探究】（1）如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交⊙O于点D．过点D作EF∥AB，分别交OA，OB于点E，F，求证：EF是⊙O的切线；【问题解决】（2）如图2，连接MN，经测量可得，MN＝18m，AB＝28m，AM＝10m，求摩天轮的半径OM的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，座舱P（体积忽略不计）从点M位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当△PMN为锐角三角形时，求座舱P的运动路径的长（记为l）的取值范围．13．如图，平行四边形ABCD的对称中心在原点，AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，3），点B的横坐标为﹣2．（1）求B，C，D三点的坐标；（2）把四边形ABCD绕点O顺时针旋转120°，求点A在旋转过程中运动的路径长．（结果保留π）14．如图，△ABC中，∠A＝20°，AB＝2．将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD位置，点A，B，D在同一直线上．（1）若BC∥DE，求证：AB＝AC；（2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点．（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为__________；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为__________，此时点A旋转到点D所经过的路径长为_______（结果保留π）．16．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，AB′与水平方向的夹角为60°．（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（2）图4中，一辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，π≈3.14，所有结果精确到0.1）17．在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以n＝3为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是BD，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），如图2，d为点C到BD的距离（即CE的长）．当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．以此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：n34567891011⋯d1.0000.3820.2680.1980.1520.1210.0980.081⋯请你协助小青完成以下任务．（1）求当n＝4时，d为何值？（参考数据：（2）根据表格数据，d随n的变化情况为______________；当车轮设计成圆形时，d＝_____，这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连结而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？18．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，AB′与水平方向的夹角为60°．（1）求图3中点B′到地面的距离；（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（3）图4中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，π≈3.14，所有结果精确到0.1）19．如图①是少年宫科技发明小组制作的一个钟表，钟面的大小会随时间的变化而发生改变，钟表底座为两根金属滑槽MN和GH，且MN⊥GH交于点O，钟面由若干个形如菱形ABCD的可活动木条组成，指针OP绕点O转动，菱形的顶点点B与点P用连杆连接．如图②，⊙O为P点的运动轨迹，⊙O与OH交于点E，连接PE，当BP与⊙O相切时，点A，B，P恰好在同一条直线上．请仅就图②的情形解答下列问题：（1）求证∠PBO+2∠PEO＝90°；（2）若AB＝4，OE＝6，BP＝8，求OD的长．20．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝108°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想．（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长．（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处．当她看书上距离桌面高度为20cm的点F时，她向下看的俯角为18°，眼睛到桌面高度EB＝25cm，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

2027年中考数学复习解答题专项集训之推理与论证、轨迹参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．某芯片公司设计了两个方案用以提升某类AI芯片的产量和性能．将第x批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为y1%和y2%，对于给定的方案，可以认为y是x的函数．部分数据如下：x12345678…y17078848890919293…y274818791m959798…对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系xOy中描出各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线C1和C2，曲线C1如图所示．（1）当整数x的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过85%；（2）写出表中的m值（m为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线C2；（3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于90%的批次称为合格批次．①根据上述函数关系，该公司最早在第9天（整数）开始生产合格批次的芯片；②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过48天（整数）完成这个订单．【分析】（1）直接根据表格中的数据进行作答即可；（2）根据从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，求出m的值，描点，连线画出函数图象即可；（3）①根据按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，结合表格数据，求出两个方案最早开始生产合格批次的芯片的天数，比较大小即可；②分别求出两种方案所需天数，比较大小即可．【解答】解：（1）由表格可知：当x＝3时，y1%＝84%＜85%；当x＝4时，y1%＝88%＞85%；故当整数x的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过85%，故答案为：4；（2）∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，∴97﹣95≤95﹣m≤m﹣91≤91﹣87，∴m＝93，描点，连线，画出函数图象如图：（3）①按照方案一，由表格数据可知，当x≥5时，y1%≥90%，按照方案二，由表格数据可知，当x≥4时，y2%＞90%，又∵按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，∴按照方案一最早在第8×2＝8天（整数）合格率88，第9天开始合格率90%生产合格批次的芯片；按照方案二，最早在第4×3＝12天（整数）开始生产合格批次的芯片；∵9＜12，故该公司最早在第9天（整数）开始生产合格批次的芯片，故答案为：9；②若选方案一：前4个批次不合格，共需要生产4+20＝24个批次，总用时24×2＝48天；若选方案二：公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，此时x＝6，y2%＝95%＞90%，，优化了18天的时候已经产生了三天合格的只需要继续生产17批．17×3等于51天．∵48＜51，∴最快经过48天（整数）完成这个订单，故答案为：48．【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．项目化学习请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务．关于“对称数”的研究报告追梦小组研究对象：对称数研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究．研究方法：观察分析—猜想—验证研究内容：1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．2．观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60；…任务：（1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想；（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的．【分析】（1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，得868﹣（8+6+8）＝846＝9×94，即可作答．（2）依题意，列式100x+10y+x﹣（x+y+x），化简得9（11x+y），即可作答．【解答】（1）①解：∵101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60，…，∴将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，故答案为：9；②证明：∵这个“对称数”是868，将“对称数”减去其各位数字之和，得：868﹣（8+6+8）＝846＝9×94，∴所得结果能够被9整除，∴猜想正确；（2）证明：依题意，100x+10y+x﹣（x+y+x）＝100x+10y+x﹣x﹣y﹣x＝99x+9y＝9（11x+y），∵结果能被9整除，∴猜想是正确的．【点评】本题考查了推理与论证，尾数特征，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算．3．【定义】一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．【观察】101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60；…【任务】（1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想；（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的．【分析】（1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，得868﹣（8+6+8）＝846＝9×94，即可作答．（2）依题意，列式100x+10y+x﹣（x+y+x），化简得9（11x+y），即可作答．【解答】解：（1）①∵101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；555﹣（5+5+5）＝540＝9×60，…，∴将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，故答案为：9；②证明：∵这个“对称数”是868，将“对称数”减去其各位数字之和，得：868﹣（8+6+8）＝846＝9×94，∴所得结果能够被9整除，∴猜想正确；（2）证明：依题意，100x+10y+x﹣（x+y+x）＝100x+10y+x﹣x﹣y﹣x＝99x+9y＝9（11x+y），∵结果能被9整除，∴猜想是正确的．【点评】本题考查了推理与论证，尾数特征，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算．4．请从下列两个命题中选取一个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．（1）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新数，这两个数的差是9的倍数；（2）一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是平行四边形．【分析】（1）设原两位数十位数字为a，个位数字为b，则这两个数的差是：（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b），所以9（a﹣b）是9的倍数，该命题为真命题；（2）利用AAS证明△ABO≌△CDO，推出BO＝DO，即可得到四边形ABCD为平行四边形．该命题为真命题．【解答】解：（1）该命题是真命题，理由如下：设原两位数十位数字为a，个位数字为b（a、b为整数，1≤a≤9，0≤b≤9），则原两位数：10a+b，交换后新两位数：10b+a，这两个数的差是：（10a+b）﹣（10b+a）＝9a﹣9b＝9（a﹣b），a﹣b是整数，所以9（a﹣b）是9的倍数，该命题为真命题；（2）该命题是真命题，理由如下：如图，在四边形ABCD中AB∥CD，AO＝CO；∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．∴该命题为真命题．【点评】本题考查推理论证，平行四边形的判定，命题与定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．5．根据如表所示素材，探索完成任务．素材一因3C认证移动电源方可登机，出行需求大增，深圳某电商为备战“6.18”购物节，分两次购进A、B两款移动电源，两次同型号进价相同：采购批次A数量（件）B数量（件）采购总费用（元）第一次30403800第二次40303200素材二售价A：30元/件，B：100元/件．素材三计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．问题解决任务一求A、B移动电源的每件的成本是多少元．任务二求获利最大的进货方案及最大利润．【分析】任务一：建立二元一次方程组求解即可；任务二：设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000﹣x）件，利润为w元，w＝（30﹣20）x+（100﹣80）（1000﹣x）＝﹣10x+20000，再根据自变量范围求解即可．【解答】解：任务一：设A、B移动电源每件进价分别为a元、b元，由题意可得，，解得，答：A、B移动电源每件进价分别为20元，80元；任务二：设购进A种移动电源x件，则购进B种移动电源（1000﹣x）件，利润为w元，w＝（30﹣20）x+（100﹣80）（1000﹣x）＝﹣10x+20000，∵10＜0，∴w随x的增大而减小，∵A数量不少于B数量的4倍，∴x≥4（1000﹣x），解得x≥800，∴当x＝800时，w取得最大值，此时w＝12000，1000﹣x＝200，答：获利最大的进货方案是购买A种移动电源800件，B种移动电源200件，最大利润是12000元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被乙选择；（2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为110．【分析】（1）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，于是得到结论；（2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可．【解答】解：（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，故答案为：乙；（2）可得丁选择了：19、6、1、2、11；丙选择了：5、4、3、12；乙选择了：7、8、9；甲选择了：10、13；故四人所选的座位号数字之和为：19+6+1+2+11+5+4+3+12+7+8+9+10+13＝110．故答案为：110．【点评】本题主要考查了推理与论证，有理数的加法，理清游戏规则是解答本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…；【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x】（1）由题意可知：P1＝3、S1；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3；则P4＝15、S4＝8；（2）P7﹣S7＝；（3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点的变化规律得到，，由此进行解答；（2）根据变化规律计算出P7和S7的值，再进行解答即可；（3）根据规律计算出n的值，即可得知结果．【解答】解：（1）∵P1＝1+2＝3，，P2＝1+2+3＝6，，P3＝1+2+3+4＝10，…∴根据规律发现Pn＝1+2+3+4+…+（n+1），．∴P4＝1+2+3+4+5＝15，．故答案为：15；8．（2）∵，，，故答案为：．（3）不能，理由如下：∵Pn﹣Sn2022，n，∵n不是整数，∴Pn﹣Sn的值不会等于2022．【点评】本题考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键．8．如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【解答】解：（1）能，甲购买的座位号为：5，3，1，2，4，乙购买的座位号为：6，8，10，12，丙购买的座位号为：7，9，11，丁购买的座位号为：13，15；（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点评】本题考查推理与论证，根据每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．9．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有x1，x2，x3，x4，x5便于记录．具体游戏规则如下：甲同学：同时翻开x1，x2，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x3，x4，x5按原顺序记录在表格中；乙同学：同时翻开x1，x2，x3，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x4，x5按原顺序记录在表格中；…以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．如表记录的是这四名同学五天的训练计划：日期记录结果同学星期一星期二星期三星期四星期五甲同学x2x1x3x4x5乙同学x2x3x1x4x5丙同学x4x2x3x1x5丁同学x4x5x2x3x1根据记录结果解决问题：（1）补全表中丙同学的训练计划；（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．①如果x2＝36，x3＝40，那么x1所有可能取值为41，42，43；②这四名同学星期三做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为162个．【分析】（1）由题意同时翻开x1，x2，x3，x4将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中即可．（2）①由题意x4＝30，x4＜x5＜x2＜x3＜x1，x2＝36，x3＝40，推出x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，应用列举法即可解决问题．②观察表格可知星期三做俯卧撑的总个数最多，不妨设x4＝30，x5＝31，当x2＝32时，x3+x1的最大值为180﹣30﹣31﹣32＝87，若x1＝44，则x3＝43，此时星期三做俯卧撑的总个数为162．应用列举法即可解决问题．【解答】解：（1）补全表中丙同学的训练计划：x4，x2，x3，x1，x5．故答案为x4，x2，x3，x1，x5．（2）①由题意x4＝30，∵x4＜x5＜x2＜x3＜x1，x2＝36，x3＝40，∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，当x5＝31时，x1的最大值为43，当x5＝32时，x1的最大值为42，当x5＝33时，x1的最大值为41，当x5＝34或35时，x1的值不符合题意，∴x1的可能取41，42，43．故答案为41，42，43．②观察表格可知星期三做俯卧撑的总个数最多，不妨设x4＝30，x5＝31，当x2＝32时，x3+x1的最大值为180﹣30﹣31﹣32＝87，若x1＝44，则x3＝43，此时星期三做俯卧撑的总个数为162．当x2＝33时，x3+x1的最大值为180﹣30﹣31﹣33＝86，若x1＝44，则x3＝42，此时星期三做俯卧撑的总个数为161，当x2＝34时，x3+x1的最大值为180﹣30﹣31﹣34＝85，若x1＝43，则x3＝42，此时星期三做俯卧撑的总个数为161，当x2＝35时，x3+x1的最大值为180﹣30﹣31﹣33＝84，若x1＝43，则x3＝41，此时星期三做俯卧撑的总个数为160，综上所述，星期三做俯卧撑的总个数的最大值为162．故答案为162．【点评】本题考查推理与论证，统计等知识，解题的关键是理解题意，学会推理论证的方法，属于中考常考题型．10．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知AB⊥CD，AE⊥l，CF⊥l，垂足分别为B，E，F，AB＝1.9m，∠BAE＝109°．（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）（1）求AC的长；（2）碓工作时，DC从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时∠BAE＝128°，求点C的运动路径长（结果保留π）．【分析】（1）先求得∠CAB＝19°，然后在Rt△ABC中，解直角三角形即可；（2）如图：过A作AC1⊥CF，则∠C1AE＝90°，易得∠CAC1＝19°，点C的运动路径长为以A为圆心，以AC为半径，圆心角为∴∠C＝19°圆弧的长，最后运用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）∵AE⊥l，AC∥EF，∴∠AEF＝∠EAC＝90°，∵∠BAE＝109°，∴∠CAB＝∠BAE﹣∠EAC＝109°﹣90°＝19°，在Rt△ABC中，∠CAB＝19°，AB＝1.9m，∴．（2）如图：过A作AC1⊥CF，则∠C1AE＝90°，由（1）可得∠CAB＝19°，∵∠BAE＝128°，∴∠CAC1＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠C1AE＝19°，∴点C的运动路径长为．【点评】本题考查轨迹，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．汽车转向．家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下：①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动；②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动；③如图1，转向中心O在后轮触地点连线的延长线上，O与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向；④当前轮转角最大时，O到前外轮触地点转向中心之间的距离称为车辆的最小转弯半径．（1）①在汽车转向时，前内轮转角α＞前外轮转角β，前内轮的转动速度＜前外轮的转动速度；（均填写“＞”“＜”或“＝”）②已知汽车轴距为L，轮距为K，若该汽车转向时前内轮转角为α，则此时前外轮转角β的正切值是（用含L，K和α的式子表示）．（2）已知某汽车的轴距L为2.7m，轮距K为1.8m，前内轮转角α最大为37°．求该汽车的最小转弯半径．（精确到0.1m）（参考数据：.）（3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留如图2所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由．【分析】（1）①根据题意得，AG，DH是⊙O的切线，则有∠OAG＝∠ODH＝90°，所以α+∠OAB＝90°，β+∠ODC＝90°，从而可得∠AOB＝α，∠DOC＝β，根据图形即可判断α＞β，再由前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间，根据“速度＝路程+时间”即可求解；②由①得∠AOB＝α，∠DOC＝β，在Rt△AOB中，，所以，在Rt△DOC中，，即，然后代入即可求解；（2）由，求得OB＝3.6m，则OC＝5.4m，然后通过勾股定理即可求出该汽车的最小转弯半径；（3）观察图形即可求解．【解答】解：（1）如图，根据题意得，AG，DH是⊙O的切线，∴∠OAG＝∠ODH＝90°，∴∠EAG+∠OAB＝90°，∠FDH+∠ODC＝90°，即α+∠OAB＝90°，β+∠ODC＝90°，∵∠AOB+∠OAB＝90°，∠DOC+∠ODC＝90°，∴∠AOB＝α，∠DOC＝β，∵∠AOB＞∠DOC，∴α＞β，∵前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间，∴根据“速度＝路程÷时间”可得前内轮的转动速度小于前外轮的转动速度，故答案为：＞，＜；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝L，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ABO＝90°，由①得∠AOB＝α，∠DOC＝β，在Rt△AOB中，，∴，∴，在Rt△DOC中，，∴，∴，整理得：，故答案为：；（2）∵，∴，∴OC＝OB+BC＝3.6+1.8＝5.4（m），∴该汽车的最小转弯半径，∴该汽车的最小转弯半径约为6.0m；（3）从右往左行驶，理由如下：由转向时，同一侧前轮的转弯半径大于后轮，后轮轨迹始终位于前轮轨迹的内侧（更靠近转向中心），观察轨迹可知，沿从右向左的方向，符合“后轮始终在前轮后方，且后轮轨迹始终在内侧”的特征，因此汽车从右向左行驶．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．12．【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点O为摩天轮圆形转轮的圆心，AB为水平支撑架，支撑架OA，OB与⊙O分别交于M，N两点，已知AM＝BN．【问题探究】（1）如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交⊙O于点D．过点D作EF∥AB，分别交OA，OB于点E，F，求证：EF是⊙O的切线；【问题解决】（2）如图2，连接MN，经测量可得，MN＝18m，AB＝28m，AM＝10m，求摩天轮的半径OM的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，座舱P（体积忽略不计）从点M位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当△PMN为锐角三角形时，求座舱P的运动路径的长（记为l）的取值范围．【分析】（1）根据等边对等角并结合题意可得∠ODE＝∠OCA＝90°，即可证明EF是⊙O的切线；（2）根据相似三角形的判定，可证△MON∽△AOB，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求解；（3）延长NO，MO分别交⊙O于点H和点G，连接MH和NG，根据直径所对的圆周角为90°，则当点P刚好运动到点H处和点G时，△PMN为直角三角形．当点P在H，G两点间的劣弧上时，△PMN为锐角三角形．先证明△OMN为等边三角形，可得∠MON＝60°，∠HOM＝120°．利用弧长公式即可求解．【解答】（1）证明：∵AM＝BN，OM＝ON，∴AM+OM＝BN+ON，即OA＝OB．∵点C是线段AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，∵EF∥AB，∴∠ODE＝∠OCA＝90°，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝OB，OM＝ON，∴，又∵∠MON＝∠AOB，∴△MON∽△AOB，∴，即，解得OM＝18（m），故摩天轮的半径OM的长为18m；（3）解：延长NO，MO分别交⊙O于点H和点G，连接MH和NG，∵NH和MG是⊙O的直径，∴∠HMN＝90°，∠GNM＝90°，∴当点P刚好运动到点H处和点G时，△PMN为直角三角形．∴当点P在H，G两点间的劣弧上时，△PMN为锐角三角形．∵OM＝ON＝MN＝18m，∴△OMN为等边三角形．∴∠MON＝60°，∴∠HOM＝180°﹣60°＝120°，当P与H重合时，，当P与G重合时，l＝π×18＝18π，∴座舱P运动路径的取值范围是12π＜l＜18π．【点评】本题主要考查了轨迹，勾股定理，垂径定理的应用，圆内接四边形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．13．如图，平行四边形ABCD的对称中心在原点，AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，3），点B的横坐标为﹣2．（1）求B，C，D三点的坐标；（2）把四边形ABCD绕点O顺时针旋转120°，求点A在旋转过程中运动的路径长．（结果保留π）【分析】（1）根据平行四边形的性质，中心对称求解即可；（2）先求得OA的长，再根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD的对称中心是原点O，∴点A和点C关于原点对称．若点A的坐标为（x，y），则其关于原点的对称点C的坐标为（﹣x，﹣y）．已知点A的坐标为（﹣4，3），∴点C的坐标为（4，﹣3）．∵AD∥x轴，∴点A和点D的纵坐标相同．已知点A的纵坐标为3，∴点D的纵坐标也为3．设点D的坐标为（xD，3）．又∵点D和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣xD，﹣3）．已知点B的横坐标为﹣2，∴﹣xD＝﹣2，解得，xD＝2．∴点D的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3）．（2）∵点A的坐标为（﹣4，3），∴，∴点A在旋转过程中运动的路径长．【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．如图，△ABC中，∠A＝20°，AB＝2．将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD位置，点A，B，D在同一直线上．（1）若BC∥DE，求证：AB＝AC；（2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长．【分析】（1）由旋转的性质得∠C＝∠D，由平行线的性质得∠D＝∠CBA，等量代换得∠C＝∠CBA，进而可证AB＝AC；（2）先求出∠ABE＝180°﹣80°＝100°，然后根据弧长公式求解即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：∠C＝∠D，∵BC∥DE，∴∠D＝∠CBA，∴∠C＝∠CBA，∴AC＝AB；（2）解：∵AC＝AB，∠A＝20°，∴，∴∠ABE＝180°﹣80°＝100°，∴点A经过的路径长为：．【点评】本题主要考查了轨迹，平行线的性质，旋转的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点．（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为（4，0），此时点A旋转到点D所经过的路径长为2π（结果保留π）．【分析】（1）根据垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M；（2）根据旋转的性质以及周长公式可得点A旋转到点D所经过的路径长．【解答】解：（1）根据图中的数据分析可得：点M坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为（4，0），此时点A旋转到点D所经过的路径长为2π×4＝2π．故答案为：（4，0），2π．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键．16．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，AB′与水平方向的夹角为60°．（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（2）图4中，一辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，π≈3.14，所有结果精确到0.1）【分析】（1）连接CD，得出点C是点C绕点D旋转60°得到，根据弧长公式解答即可；（2）在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.7m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB于点G，证明四边形AHFO是矩形，得出AH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90°，HF＝OA＝0.2m，解直角三角形得出GH，再根据GH+HF＝1.559+0.2＝1.759m＞1.6m，解答即可．【解答】解：（1）如图，连接CD，交AB'于E，根据题意可得四边形ADCB是矩形，四边形AB'C'D是平行四边形，∴CD＝AB＝AB'＝DC'＝3，CD∥AB，C'D∥AB'，∴∠B'EC＝∠B'AB＝∠C'DC＝60°，∴点C'是点C绕点D旋转60°得到，∴点C经过的路径长为；（2）在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.7m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB'于点G，当汽车与BC保持安全距离0.4m时，∵汽车宽度为1.7m，∴OF＝3﹣1.7﹣0.4＝0.9m，∵ABMOM，AO⊥OM，∴四边形AHFO是矩形，∴AH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90°，HF＝OA＝0.2m，∴，∵GH+HF＝1.559+0.2≈1.759m＞1.6m，汽车高度为1.6m，∴汽车能安全通过．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以n＝3为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是BD，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），如图2，d为点C到BD的距离（即CE的长）．当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．以此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：n34567891011⋯d1.0000.3820.2680.1980.1520.1210.0980.081⋯请你协助小青完成以下任务．（1）求当n＝4时，d为何值？（参考数据：（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，d＝0，这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连结而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？【分析】（1）根据题意证明△ABE为等腰直角三角形，进而可以解决问题；（2）观察表格数据即可解决问题；（3）根据弧长公式即可进行计算．【解答】解：（1）当n＝4时，∠BAD＝90°，∵点C为的中点，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AB＝AD＝AC＝2，∴AC⊥BD，BE＝DE，∴△ABE为等腰直角三角形，在Rt△ABE中，AE＝BE，∴BE2+AE2＝AB2，∴，∴d＝AC﹣AE＝20.586，∴当n＝4时，d≈0.586；（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，d＝0，这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．故答案为：d随n的增大而减小；0；（3）设对应的圆心角为α°，∵长为，∴，∴a＝10，∴，∴该车轮应设计成边数为36的正多边形．【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形，垂径定理，弧长的计算，解决本题的关键是理解题意．18．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO＝0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，AB′与水平方向的夹角为60°．（1）求图3中点B′到地面的距离；（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（3）图4中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要