北师大版数学 专题5.3 一元一次方程的应用（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 同步练习 含答案

专题5.3一元一次方程的应用（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 2知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 2优选题型考点讲练 4考点1：工程问题(一元一次方程的应用) 4考点2：销售盈亏(一元一次方程的应用) 4考点3：比赛积分(一元一次方程的应用) 4考点4：方案选择(一元一次方程的应用) 5考点5：数字问题(一元一次方程的应用) 5考点6：几何问题(一元一次方程的应用) 6考点7：动点问题(一元一次方程的应用) 6考点8：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 7考点9：行程问题(一元一次方程的应用) 8考点10：比例分配(一元一次方程的应用) 8考点11：日历问题(一元一次方程的应用) 8考点12：古代问题(一元一次方程的应用) 9考点13：其他问题(一元一次方程的应用) 10考点14：配套问题(一元一次方程的应用) 11考点15：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 11中考真题实战演练 12难度分层拔尖冲刺 12基础夯实 12培优拔高 15知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤审题：弄清题意．找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．解方程：解所列的方程，求出未知数的值．检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析题型1日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律)数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6题型2等积变形问题。此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。题型3数字问题要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.题型4和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．题型5调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。题型6利润率问题。（1）(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．题型7工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．题型8行程问题三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题：基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间;（b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：（a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间（b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：（c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：（a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；（b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析．题型9方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论．考点1：工程问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有天是晴天．【变式训练】（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由2人先做4h，然后增加一些人与他们一起做考点2：销售盈亏(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率=利润，成本价+利润=定价，售价−成本价=(1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？(2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？【变式训练】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元考点3：比赛积分(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了场比赛．【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了场．考点4：方案选择(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案：（1）购物款不超过500元，不享受优惠；（2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠；（3）购物款超过1000元，享受8折优惠．某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠元．【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（

）分钟时，两种通话方式的费用相同．A．100 B．150 C．200 D．250考点5：数字问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数．【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·期中）幻方被认为是现代组合数学最古老的发现．请将−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，分别填入如图所示的幻方中，要求同一行、同一列以及同一对角线上的3个数的和都相等，则x+y的值为（

）x42−1yA．10 B．9 C．8 D．7考点6：几何问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）若一个棱柱有8个面，则它共有条棱．【变式训练】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为x，宽为3的小长方形，则x=．考点7：动点问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点A、B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足a+2+b−102=0，点O为原点，点C在数轴上O，(1)填空：a=_____；b=_____；点C所对应的数是_____；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点P在点B左侧时，经过几秒满足BP=BQ？(3)在（2）条件下，动点M也同时从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点P相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点Q相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点M的运动时间记为t（秒），当PM=2QM时，请求出满足条件的t的值．【变式训练】（25-26七年级上·广东河源·期中）已知点M，N在数轴上，点M对应的数是−3，点N在点M的右边，且距点M4个单位长度，点P，Q是数轴上两个动点．(1)点N对应的数是．(2)当点P到点M，N的距离之和是5个单位长度时，直接写出点P对应的数．(3)如果点P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P，Q两点相距3个单位长度时，点P，Q对应的数分别是多少？考点8：电费和水费问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：计费档户年用水量/m单价/（元/m3第一档不超过144m3.8第二档超过144m3但不超过6.1第三档超过207m8.4(1)某户一年用水量是100m3(2)某户一年用水量是：xm3(144(3)某户去年一年的水费是913.2元，求该户去年一年的用水量．【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：计费档户年用水量x单价/（元/m3第一档0<x≤1805第二档180<x≤2607第三档x>2609(1)当180<x≤260时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户一年用水量是200m(3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量．考点9：行程问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如x2+x=1，求x2+x+2024的值，我们将(1)如果代数式4y2−2y+5的值为7(2)如图，若a−b=4，求长方形A与B的面积差．(3)A,B两地相距150千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间．【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期中）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距千米．考点10：比例分配(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人按2:5的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？【变式训练】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是3∶4．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（

）千克石灰．A．150 B．90 C．80考点11：日历问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数a，A． B．C． D．【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）下图是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（）日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．72 B．60 C．27 D．40考点12：古代问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？【变式训练】（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（）A．3x+2=2x−9 C．x3+2=x−9考点13：其他问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表：鞋号（码）…3334353637…脚长（毫米）…215±2220±2225±2230±2235±2…若小华的脚长为261mm，则他的鞋号（码）是（

）A．39 B．40 C．41 D．42【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是小刚这一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单）－5＋3－60＋6＋8＋14(1)求小刚这一周一共送餐多少单；(2)若外卖员每周的工资为每单m元，小刚想用这周的工资买一台标价为2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利10％销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩120元，请求出m的值．考点14：配套问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用x立方米钢材制作A部件，则可列式为（

）．A．40x=2406−x×3 C．240x=406−x×3 【变式训练】（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓12个或螺帽18个，2个螺栓要配3个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？考点15：和差倍分问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本．(1)这个班有多少名学生？(2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程：(1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本x元）(2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是x岁）(3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款x元）1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发小时后甲乙相距10千米．2．（2024·重庆渝北·中考真题）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了天．3．（2024·湖北武汉·中考真题）对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称m为“和美数”，例如：357，∵3+7=5×2，∴357是“和美数”，若“和美数”m能被7整除，则满足条件的m的最小值是．4．（2024·云南昆明·中考真题）在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（

）A．17 B．24 C．42 D．665．（2024·河南商丘·中考真题）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab−bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41−12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53−32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为A．4312 B．4132 C．5423 D．5324基础夯实1．（25-26七年级上·广西南宁·期中）a与b之间的数量关系如表，若a与b成反比例关系，则x的值为（

）a12xb28A．18 B．−3 C．3 D．22．（25-26七年级上·重庆·期中）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有x个人，则可列方程为（

）A．5x−3=4x+2 B．5x+3=4x−2C．5x−3=4x−2 D．5x+3=4x+23．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能的是（

）A．75 B．100 C．115 D．1204．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图是2025年1月的月历，其中“T”型，“L”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N．若M+N=59，则a的值是．5．（25-26七年级上·重庆·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调x名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为．6．（25-26七年级上·广东广州·期中）已知甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，设买了x支甲种铅笔，则可列关于x的方程为．（不用化简）7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将−2，−4，−6，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x−y的值为．8．（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道36=3×10+6，365=3×100+6×10+5．(1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，原两位数比新两位数大9，x的值是多少？请你用方程解决这个问题．(2)如果一个两位数十位上的数字是a、个位上的数字是b，现把a与b对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因．9．（25-26七年级上·北京·期中）列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？10．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？培优拔高11．（25-26七年级上·浙江·期中）我国数学家杨辉在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中，已经编制出三至十阶幻方．杨军老师稍加创新改成了“幻三角游戏”，现在将−2，−1，0，1，2，3，4，6，8分别填入图中的圆圈内，使三条实线以及内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中x+y的值为（

）A．10 B．7 C．5 D．012．（25-26七年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作：+10分，答错一题或不答记作：−5分．若小圳最后得40分，请问小圳最后答对（

）题．A．4 B．6 C．5 D．713．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知在数轴上点P从原点O出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动n次后，P点位于数字1上，则下列说法正确的是（

）A．n−1是奇数 B．n−1是偶数C．2n−1是3的倍数 D．2n−1是5的倍数14．（25-26七年级上·四川内江·期中）一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现以0.4·为例进行讨论：设0.4·=x，由0.4·=0.4444⋅⋅⋅，得x=0.4444⋅⋅⋅，10x=4.444⋅⋅⋅，于是10x−x=4，解得x=49，于是得15．（25-26七年级上·北京·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n且满足m+13+（1）M，N两点之间的距离MN=；（2）若A，B为线段MN上的两点，且MA=AB=BN，点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q从N点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，P，Q，R同时出发，若存在常数k，使得PQ−kAR的值与它们的运动时间无关，则k=．（注：其中PQ表示P，Q两点之间的距离；AR表示A，R两点之间的距离）16．（25-26七年级上·福建福州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a, b, c, 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为−20、40，P为数轴上一动点，若P点到A、B距离的比为3:2，则点P表示的数为．18．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）【操作感知】如图1，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A′处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B（1）此时点A′和点B′分别表示的数为________，________，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′【建立模型】（2）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，此时数轴上折痕表示的数为________．（用含a，b的代数式表示）．【问题解决】（3）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为−4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数．19．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为−2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是_____；(2)数轴上存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是10，直接写出x的值，x=_____；(3)若M,N两点间的数轴称为“MN隔离带”（包含M,N两点），点M以每秒4个单位的速度向右运动，点N以每秒2个单位的速度向左运动，点P以每秒1个单位的速度从点O向左运动．请问在点M,N,P运动的过程中，点P能否突破“MN隔离带”？若能突破，共有多长时间保持在“MN隔离带”之外？（请同学们画数轴进行分析并写出解答过程）20．（25-26七年级上·四川广元·期中）已知a+1+b−5=0，c=−+2，且a、b、c分别是点A、(1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？(3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由．

专题5.3一元一次方程的应用（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 1知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 2优选题型考点讲练 3考点1：工程问题(一元一次方程的应用) 3考点2：销售盈亏(一元一次方程的应用) 4考点3：比赛积分(一元一次方程的应用) 6考点4：方案选择(一元一次方程的应用) 7考点5：数字问题(一元一次方程的应用) 8考点6：几何问题(一元一次方程的应用) 10考点7：动点问题(一元一次方程的应用) 11考点8：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 14考点9：行程问题(一元一次方程的应用) 16考点10：比例分配(一元一次方程的应用) 18考点11：日历问题(一元一次方程的应用) 19考点12：古代问题(一元一次方程的应用) 20考点13：其他问题(一元一次方程的应用) 21考点14：配套问题(一元一次方程的应用) 23考点15：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 24中考真题实战演练 25难度分层拔尖冲刺 29基础夯实 29培优拔高 34知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤审题：弄清题意．找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．解方程：解所列的方程，求出未知数的值．检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析题型1日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律)数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6题型2等积变形问题。此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。题型3数字问题要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.题型4和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．题型5调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。题型6利润率问题。（1）(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．题型7工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．题型8行程问题三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题：基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间;（b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：（a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间（b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：（c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：（a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；（b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析．题型9方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论．考点1：工程问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有天是晴天．【答案】4【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，设晴天有x天，则雨天有6−x天．晴天钓鱼总数为6x条，雨天钓鱼总数为96−x条．总钓鱼条数为6×7=42【规范解答】解：设晴天有x天，则雨天有6−x天，列方程：6x+9解得x=4．故答案为：4．【变式训练】（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由2人先做4h，然后增加一些人与他们一起做【答案】2人【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加x人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．【规范解答】解：设应增加x人，由题意得，140解得x=2，答：应增加2人．考点2：销售盈亏(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率=利润，成本价+利润=定价，售价−成本价=(1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？(2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？【答案】(1)商品A最后应卖129.6元；(2)商品B的成本是850元【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程．（1）利用售价=成本价×(1+利润率)×折扣率，即可求出结论；（2）设商品B的成本是x元，利用售价−成本价=利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【规范解答】（1）解：根据题意得：120×1+20%×0.9=120×1.2×0.9答：商品A最后应卖129.6元；（2）解：设商品B的成本是x元，根据题意得：0.9×1+20解得：x=850，答：商品B的成本是850元．【变式训练】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元【答案】C【思路点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案．首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上．【规范解答】解：设赚了20%的衣服的进价是x则：1+20%解得：x=50，设赔了20%的衣服的进价是y则(1−20%)y=60，解得：y=75，总进价：50+75=125(元)，总售价：60×2=120(元)125−120=5(元)，所以亏了5元，故选：C．考点3：比赛积分(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了场比赛．【答案】85【思路点拨】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次．【规范解答】解：设总比赛场次为x场第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减1(不与自己比赛)，13支球队共比赛13×13−1场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以213−1=156÷2=78（场）第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军，因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次，78+7=85（场），故答案为：85．【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了场．【答案】4【思路点拨】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为x，则平了9−2−x场，根据总积分为13分，列出方程．解方程组即可．【规范解答】解：设胜场数为x，则平了9−2−x场，依题意得，3x+解得：x=4故答案为4．考点4：方案选择(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案：（1）购物款不超过500元，不享受优惠；（2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠；（3）购物款超过1000元，享受8折优惠．某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠元．【答案】128【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚．根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为x元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案．【规范解答】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元；妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为x元，当x>1000时，享受8折优惠，则0.8x=756，解得x=945，∵945<1000，∴舍去；当500<x≤1000时，享受9折优惠，则0.9x=756，解得x=840，∵500<840≤1000，∴妈妈原购物款为840元，∴爸爸妈妈总购物款为220+840=1060（元），∵1060>1000，∴享受8折优惠，则需付款0.8×1060=848（元），分开付款总额为220+756=976（元），∴一次购买可优惠976−848=128元．故答案为：128．【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（

）分钟时，两种通话方式的费用相同．A．100 B．150 C．200 D．250【答案】D【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解．【规范解答】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意得：50+0.2x=0.4x，解得：x=250，答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．故选：D考点5：数字问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数．【答案】58【思路点拨】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为13−x，依题意，列方程1013−x【规范解答】解：设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为13−x．所以原两位数为10x+13−x新两位数为1013−x依题意，列方程：1013−x解方程，得：130−10x+x=10x+13−x+27−10x+x−10x+x=13+27−130−18x=−90x=513−5=8，∴5×10+8=58，答：这个两位数是58．【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·期中）幻方被认为是现代组合数学最古老的发现．请将−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，分别填入如图所示的幻方中，要求同一行、同一列以及同一对角线上的3个数的和都相等，则x+y的值为（

）x42−1yA．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．空格分别用参数表示，可根据已知的等量关系式，可得到一元一次方程，进行计算即可．【规范解答】解：x42−1ya−2+(−1)+0+1+2+3+4+5+6=18，因为幻方中同一行、同一列以及同一对角线上的3个数的和都相等，所以同一行、同一列以及同一条对角线上的3个数相加都得6，由第一列得：x+4−1=6，解得：x=3，由对角线得：x+2+a=6，把x=3代入，解得：a=1，由第三行得：−1+y+1=6，解得：y=6，所以x+y=9，故选：B．考点6：几何问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）若一个棱柱有8个面，则它共有条棱．【答案】18【思路点拨】本题主要考查了棱柱的棱和面，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握棱柱的棱和面之间的关系．棱柱的面数由两个底面和侧面组成，侧面数等于底面边数，设底面边数为n，则面数为n+2，棱数为3n．【规范解答】解：设棱柱的底面边数为n，由题意，面数n+2=8，解得n=6，因此，棱柱的棱数为3n=3×6=18．故答案为：18．【变式训练】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为x，宽为3的小长方形，则x=．【答案】9【思路点拨】本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为x，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答．【规范解答】解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为x，宽为3的小长方形，∴12:x=4:3∴12×3=4x∴x=9，故答案为：9考点7：动点问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点A、B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足a+2+b−102=0，点O为原点，点C在数轴上O，(1)填空：a=_____；b=_____；点C所对应的数是_____；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点P在点B左侧时，经过几秒满足BP=BQ？(3)在（2）条件下，动点M也同时从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点P相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点Q相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点M的运动时间记为t（秒），当PM=2QM时，请求出满足条件的t的值．【答案】(1)−2，10，2(2)当点P在点B左侧时，经过4秒满足BP=BQ(3)当PM=2QM时，满足条件的t的值为1或74或【思路点拨】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，采用分类讨论的思想是解此题的关键．（1）根据非负数的性质计算即可得出a，b的值，从而得出点B表示的数，再结合题意即可得出点C表示的数；（2）设经过t秒满足BP=BQ，则点P表示的数为−2+2t，点Q表示的数为2+t，由点P在点B左侧，求出t<6，再结合BP=BQ，列出关于t的一元一次方程，解方程即可得解；（3）由题意可得点P表示的数为−2+2t，点Q表示的数为2+t，动点M与动点P相遇前表示的数为10−4t，求出动点M与动点P相遇时间为t=2，当0<t≤2时，PM=12−6t，QM=8−5t，根据PM=2QM，列出方程求解即可；求出动点M与动点P相遇时表示的数为=2，得到动点M与动点P相遇后表示的数为3t−4，再当动点M与动点Q相遇时间为t=3，当2<t≤3时，PM=t−2，QM=6−2t，再根据PM=2QM【规范解答】（1）解：∵a+2+b−102=0，∴a+2=0，b−10=0，∴a=−2，b=10，∵点A表示的数是a，点B表示的数是b，∴点A表示的数是−2，点B表示的数是10，∵点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且OC=2，∴点C所对应的数是2；（2）解：设经过t秒满足BP=BQ，∵动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动，∴点P表示的数为−2+2t，点Q表示的数为2+t，∵点P在点B左侧，∴−2+2t<10，∴t<6，∵BP=BQ，∴10−−2+2t解得t=4，故当点P在点B左侧时，经过4秒满足BP=BQ；（3）解：由题意可得：点P表示的数为−2+2t，点Q表示的数为2+t，动点M与动点P相遇前表示的数为10−4t，动点M与动点P相遇时，10−4t=−2+2t，解得t=2，当0<t≤2时，PM=10−4t−−2+2t=12−6t，∵PM=2QM，∴12−6t=28−5t解得：t=1或t=7动点M与动点P相遇时表示的数为10−4×2=2，动点M与动点P相遇后表示的数为2+3t−2当动点M与动点Q相遇时，3t−4=t+2，解得：t=3，故当2<t≤3时，PM=3t−4−−2+2t=t−2，∵PM=2QM，∴t−2=26−2t解得：t=14综上所述，当PM=2QM时，满足条件的t的值为1或74或14【变式训练】（25-26七年级上·广东河源·期中）已知点M，N在数轴上，点M对应的数是−3，点N在点M的右边，且距点M4个单位长度，点P，Q是数轴上两个动点．(1)点N对应的数是．(2)当点P到点M，N的距离之和是5个单位长度时，直接写出点P对应的数．(3)如果点P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P，Q两点相距3个单位长度时，点P，Q对应的数分别是多少？【答案】(1)1(2)−3.5或1.5(3)点P，Q对应的数分别是−35，−32或−47，−50【思路点拨】本题考查了两点间的距离和数轴，解决本题的关键是熟练运用“分类讨论”的数学思想．（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：点P在点M的左边时和点P在点N的右边时，进行讨论即可求解；（3）分两种情况：点P在点Q的左边时和点P在点Q的右边时，进行讨论即可求解．【规范解答】（1）解：∵点M对应的数是−3，点N在M右边4个单位，∴−3+4=1，故答案为：1；（2）解：设点P对应的数为x，分两种情况：当P在M左侧时，距离和为−3−x+解得x=−3.5；当P在N右侧时，距离和为x+3+解得x=1.5．综上，点P对应的数为−3.5或1.5．（3）解：设点Q出发后经过t秒，P、Q相距3个单位，∵点P先出发5秒，∴点P初始位置为−3−2×5=−13；∴t秒后点P的位置：−13−2t，点Q的位置：1−3t，当Q在P右侧时，距离为3，∴1−3t解得t=11，此时P：−13−2×11=−35，Q：1−3×11=−32，当P在Q右侧时，距离为3，∴−13−2t解得t=17，此时P：−13−2×17=−47，Q：1−3×17=−50．考点8：电费和水费问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期中）为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：计费档户年用水量/m单价/（元/m3第一档不超过144m3.8第二档超过144m3但不超过6.1第三档超过207m8.4(1)某户一年用水量是100m3(2)某户一年用水量是：xm3(144(3)某户去年一年的水费是913.2元，求该户去年一年的用水量．【答案】(1)380(2)6.1x−331.2(3)该户去年一年的用水量是204【思路点拨】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）用户一年用水量是100m3（2）用户一年用水量是xm（3）某户去年一年的水费是913.2元是在第二档，根据题意计算即可．【规范解答】（1）解：由题意，得100×3.8=380（元）．故答案为：380．（2）由题意，得144×3.8+(x−144)×6.1=547.2+6.1x−878.4=6.1x−331.2．故答案为：6.1x−331.2．（3）当x=207时，6.1x−331.2=931.5>913.2，∴某户去年一年的水费是913.2元是在第二档，∴6.1x−331.2=913.2，解得x=204．答：该户去年一年的用水量是204m【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：计费档户年用水量x单价/（元/m3第一档0<x≤1805第二档180<x≤2607第三档x>2609(1)当180<x≤260时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户一年用水量是200m(3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量．【答案】(1)y=7x−360(2)该户这一年的水费是1040元(3)该户去年一年的用水量是300【思路点拨】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合180<x≤260进行列式化简，即可作答．（2）结合（1），得当180<x≤260时，y=7x−360，故x=200代入y=7x−360进行计算，即可作答．（3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答．【规范解答】（1）解：依题意，当180<x≤260时，y=5×180+7x−180（2）解：由（1）得当180<x≤260时，y=7x−360当x=200时，y=7×200−360=1040，答：该户这一年的水费是1040元；（3）解：依题意，5×180=900；5×180+7×260−180∵1820>1460∴水费在第三档，当x>260时，可知y=5×180+7×260−180令y=1820，即1820=9x−880，解得x=300，答：该户去年一年的用水量是300m考点9：行程问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如x2+x=1，求x2+x+2024的值，我们将(1)如果代数式4y2−2y+5的值为7(2)如图，若a−b=4，求长方形A与B的面积差．(3)A,B两地相距150千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间．【答案】(1)1(2)8(3)135小时或17【思路点拨】本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键．（1）利用整体思想，将原式化为2(2y（2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可；（3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可．【规范解答】（1）解：由题意得，4y∴2(2y∴2y故答案为：1．（2）解：由图可得长方形A与B的面积差为：4(5a−2b)−3(6a−2b)=20a−8b−18a+6b=2a−2b=2(a−b)=2×4=8答：长方形A与B的面积差为8．（3）解：由题意得，3a+3b=150，∴a+b=50．设经过t小时甲、乙两人相距20千米，则(a+b)t+20=150或(a+b)t−20=150，即50t+20=150或50t−20=150，解得，t=135或答：甲、乙两人相距20千米的时间为135小时或17【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期中）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距千米．【答案】558【思路点拨】此题考查一元一次方程的应用，设快车速度为5xkm/h，慢车速度为4xkm/h，快车出发后到相遇的时间为t小时，根据相遇时快车和【规范解答】解：设快车速度为5xkm/h，慢车速度为4x相遇时，快车行驶距离为5xtkm，慢车行驶总距离为(27+4xt)由题意，5xt−(27+4xt)=32，化简得xt−27=32，解得xt=59，A、B两站距离为慢车行驶总距离与快车行驶距离之和，即27+4xt+5xt=27+9xt=27+9×59=27+531=558km故答案为：558考点10：比例分配(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人按2:5的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？【答案】甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元，根据“第一年盈利14000元”列出一元一次方程，计算即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．【规范解答】解：设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元，2x+5x=14000，解得x=2000．2×2000=4000（元），5×2000=10000（元）答：甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元．【变式训练】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是3∶4．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（

）千克石灰．A．150 B．90 C．80【答案】B【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是3:4，列出比例，解方程即可．【规范解答】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为3k和4k千克，加入120千克水后，总水量变为4k+120千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得：3k+x4k+120解这个方程得：x=90，∴要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰，故选：B．考点11：日历问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数a，A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据各选项中的位置，列出方程，进行求解，判断即可．【规范解答】解：A、由题意，a=b−7,c=b+7，则：a+b+c=b−7+b+b+7=3b=45，解得b=15，存在这种位置，不符合题意；B、由题意，a=b−1,c=b+7，则：a+b+c=b−1+b+b+7=3b+6=45，解得b=13，不存在这种位置，符合题意；C、由题意，a=b−6,c=b+6，则：a+b+c=b−6+b+b+6=3b=45，解得b=15，存在这种位置，不符合题意；D、由题意，a=b−7,c=b+1，则：a+b+c=b−7+b+b+1=3b−6=45，解得b=17，存在这种位置，不符合题意；故选B．【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）下图是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（）日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．72 B．60 C．27 D．40【答案】D【思路点拨】此题考查用一元一次方程解实际问题，注意数学和实际生活的联系，善于观察日历中数与数之间的关系，掌握用字母表示数量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设竖列三个数中最小的数为x，则三个数分别为x,x+7,x+14，和为3x+21，x需为1至17之间的整数，分别计算各选项对应的x值，判断是否满足条件．【规范解答】设最小的数为x，则三个数之和为S=x+x+7∵x必须为1到17的整数，∴S必须满足3x+21为整数且x为整数，A、3x+21=72，解得x=17，符合要求；B、3x+21=60，解得x=13，符合要求；C、3x+21=27，解得x=2，符合要求；D、3x+21=40，解得x=19故选：D．考点12：古代问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱【思路点拨】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解．设买鸡的人数为x人，根据两种购买方式，列出方程求解即可．【规范解答】解：设买鸡的人数为x人，根据题意得，9x−11=6x+16，解得x=9，9x−11=9×9−11=70，∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱．【变式训练】（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（）A．3x+2=2x−9 C．x3+2=x−9【答案】B【思路点拨】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可．【规范解答】解：每3人乘一车，剩余2辆车，∴总人数为3x−2每2人共乘一车，剩余9人无车，∴人数为2x+9；∴3x−2故选B．考点13：其他问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表：鞋号（码）…3334353637…脚长（毫米）…215±2220±2225±2230±2235±2…若小华的脚长为261mm，则他的鞋号（码）是（

）A．39 B．40 C．41 D．42【答案】D【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正负数的意义．根据表格中鞋码与脚长的对应关系，发现脚长=鞋码×5+50±2，设鞋码为x，将脚长261mm代入方程求解x，再结合表格中鞋码的脚长范围确定合适鞋码，即可解题．【规范解答】解：从表格可得，脚长与鞋码的关系为：脚长=鞋码×5+50±2，当脚长为261mm时，设鞋码为x，则：261=5x+50，解得：x=42.2，因为鞋码为整数，当x=42时，y=5×42+50=260，对应脚长范围260±2毫米，∴他的鞋码是42．故选：D．【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是小刚这一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单）－5＋3－60＋6＋8＋14(1)求小刚这一周一共送餐多少单；(2)若外卖员每周的工资为每单m元，小刚想用这周的工资买一台标价为2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利10％销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩120元，请求出m的值．【答案】(1)300单(2)7【思路点拨】本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）先表示出这一周的送餐超出量，再加上40×7这一周的基准量即可；（2）用一元一次方程表示出数量关系，求解即可．【规范解答】（1）解：−5+3−6+0+6+8+14=20+280=300（单），答：小刚这一周一共送餐300单；（2）解：根据题意，得300m−2400×300m−1980=120，300m=2100，m=7，故m的值为7．考点14：配套问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用x立方米钢材制作A部件，则可列式为（

）．A．40x=2406−x×3 C．240x=406−x×3 【答案】B【思路点拨】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用x立方米钢材做A部件，则做B部件的钢材为6−x立方米，根据仪器配套要求（1个A部件配3个B部件），B部件数量应等于A部件数量的3倍，由此列方程即可．【规范解答】解：∵用x立方米做A部件，则用6−x立方米做B部件，∴由题意可得，3×40x=2406−x故选：B．【变式训练】（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓12个或螺帽18个，2个螺栓要配3个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？【答案】14名工人生产螺栓，14名工人生产螺帽【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排x名工人生产螺栓，则应安排28−x名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．【规范解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则应安排28−x名工人生产螺帽，由题意得，3×12x=2×1828−x解得x=14，∴28−x=28−14=14，答：应安排14名工人生产螺栓，安排14名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．考点15：和差倍分问题(一元一次方程的应用)【典例精讲】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本．(1)这个班有多少名学生？(2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？【答案】(1)这个班有45名学生(2)应先安排2人整理图书【思路点拨】（1）设这个班有m名学生，根据如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则差25本．列出一元一次方程，解方程即可；（2）设应先安排x人整理图书，现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h【规范解答】（1）解：设这个班有m名学生．由题意，得3m+20=4m−25，解得m=45．答：这个班有45名学生．（2）解：设应先安排x人整理图书．由题意，得4×x解得x=2．答：应先安排2人整理图书．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程：(1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本x元）(2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是x岁）(3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款x元）【答案】(1)1.5×4+5x=18(2)3x=2×13+10(3)x+(x+90)=500【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到题目中的数量关系是解题的关键．（1）根据圆珠笔的总价与笔记本总价等于18元，即可列出方程；（2）根据3倍的小华今年的年龄等于2倍的小明今年的年龄加10岁，即可列出方程；（3）根据甲、乙两人的捐款总和500元，即可列出方程．【规范解答】（1）解：设笔记本每本x元，由题意得，1.5×4+5x=18；（2）解：设小华今年的年龄是x岁，由题意得，3x=2×13+10；（3）解：设乙捐款x元，由题意得，x+(x+90)=500．1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发小时后甲乙相距10千米．【答案】1.5或1.7【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用-行程问题．设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况根据“甲行驶路程+乙行驶的路程=总距离”分别列方程即可求解．【规范解答】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米．①当两车相遇前，列方程得60x+0.5解得x=1.5②当两车相遇后，列方程得60解得x=1.7答：乙出发1.5或1.7小时后甲乙两车相距10千米．故答案为：1.5或1.72．（2024·重庆渝北·中考真题）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了天．【答案】18【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了x天，则乙做了26−x天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可．【规范解答】解：设甲做了x天，则乙做了26−x天．由题意得，111x=x=18答：甲做了18天．3．（2024·湖北武汉·中考真题）对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称m为“和美数”，例如：357，∵3+7=5×2，∴357是“和美数”，若“和美数”m能被7整除，则满足条件的m的最小值是．【答案】147【思路点拨】本题考查了数字规律，一元一次方程与数字的应用．设m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，根据“和美数”的定义有a+c=2b，且a、b、c互不相等，且a≠0，m可表示为100a+10b+c，代入c得m=99a+12b，结合99>12，且求满足条件的m的最小值，故要求a，b取最小值，据此进行分析，即可作答．【规范解答