专题01特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型-北师大版数学九年级上册几何模型

专题01特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型—北师大版数学九年级上册几何模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。1．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为．2．自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为1503米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°1）将军饮马模型条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）：点A、B在直线m两侧：模型（2）：点A、B在直线同侧：模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。模型（3）：点A、B在直线m同侧：模型（4）：点A、B在直线m异侧：模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧模型（5）（两点都在直线外侧型）如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。模型（6）（直线内外侧各一点型）如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。模型（7）（两点都在直线内侧型）如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。2）将军遛马与过桥模型模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。点A、B在直线m异侧（图1）；点A、B在直线m同侧（图2）；将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。模型（2）：将军造桥（过桥）模型已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）例题3．如图，在▱ABCD中，连接AC，∠D=∠CAD，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一动点，点Q为BC的中点．若BC=4，▱ABCD的面积是24，则PB+PQ的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是矩形内部一动点，且满足SΔEAD=9，则点E到A、D两点距离之和A．213 B．62 C．45．如图，已知菱形ABCD的周长为8，面积为23，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为6．如图，正方形ABCD边长为6，E、F是边AB的三等分点，点P是对角线AC上的动点，则PE+PF的最小值是．模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）【例题7．如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60∘，AE⊥BC于点E，点M在边AB上，且AM=2，N是CD的中点，P是AE上的动点，连接PM、PN.则|PN−PM|的最大值为8．如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为，PQ+OQ的最小值为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为．模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）例题10．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）A．34 B．92 C．4511．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则（1）DE+EF+FM的最小值是；（2）若∠EFD=45°，则DE+EF+FM的最小值为．12．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=32，∠DAB=45°，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF（1）点C到直线AB的距离是；（2）△OEF周长的最小值是．模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型【例题13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，则四边形APQE周长的最小值为（）A．10+226 B．10+213 C．12+22614．如图所示，菱形ABCD是无锡某乐园主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，AC=6km，BD=3km．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为万元．15．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'A．1 B．2 C．3 D．216．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点(点E靠近点A)，且EF=22，当BE+BF的最小值为210时，AB17．如图，▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AG+GH+CH的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=23．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN=119．【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？（1）【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，PA+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线l交于点P证明：∵B和B'关于直线l对称∴直线l垂直平分∴PB=，∴PA+PB=PA+P根据“”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得PA+PB'最小值为（填线段名称），此时P点是线段AB（2）【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C（河流两侧河岸平行，即GD∥EF），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．（3）【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线AM−MN−BN），A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN=40米），且需要修建在湖边所在直线CF20．点O是菱形ABCD的对角线AC上的动点，∠B=120°，AB=2，E是AD中点，OE+OD的最小值=（）A．3 B．2 C．4 D．821．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A．105 B．103 C．55 D．5322．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A(−3,0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．3 B．5 C．22 D．23．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．23 D．4324．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=BQ，连接CP、QA，则PC+QA的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．1325．如图正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．6 B．3 C．26 D．26．如图，在菱形ABCD中，BC=4，∠ABC=60°，在BC边上有一线段EF由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1，连接AE，AF，则△AEF周长的最小值为．27．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则△GCD的周长最小值是．28．如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC=2，BD=4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM=3，则CM+AD的最小值为．29．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BC=8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．30．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OD=4，E是OD的中点，PQ是对角线AC上的一条动线段，若BP−EQ的最大值为5，则PQ的长为．31．如图，正方形ABCD的边长为4，点Р为对角线BD上任意一点，E为BC上一点，且EC=1．则PE+PC的最小值为．32．如图所示，正方形ABCD的边长为4，以AB为边作等边三角形ABE，EC=a，若正方形ABCD的对角线BD上有一动点M，则△EMC周长的最小值是．33．如图，在菱形ABCD中，AB=43，∠ABC=60°，点P是BD上一点，点M、N分别是BC、CD上任意一点，且PM⊥BC，垂足为M，连接PM、PN，则PM+PN的最小值为34．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P、点Q分别在边AB、CD上，且DQ=PB，连接AQ和DP，则AQ+DP的最小值是．35．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A'D'C'，分别连接A'36．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是AB的中点，线段MN在边BC上左右滑动，若MN=1，则EM+DN的最小值为．37．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.38．（1）【问题原型】人教版教材八年级下册第69页有这样一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE=EF．请你完成这一问题的证明过程．（2）【问题应用】小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线