专题03 正方形的性质与判定-北师大版数学九年级上册重难点复习精讲

专题03正方形的性质与判定—北师大版数学九年级上册重难点复习精讲一、重难目标1、掌握正方形的性质，明确正方形是矩形与菱形的结合体，灵活进行线段与角度运算。2、梳理正方形不同判定途径，分清判定前提，准确选用定理完成图形判定证明。3、结合常见几何模型综合解题，理顺平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系。二、重难知识1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。【注意】正方形既是矩形又是菱形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更是特殊的平行四边形。换句话说：从矩形角度看：正方形是有一组邻边相等的矩形；从菱形角度看：正方形是有一个角是直角的菱形。易错提醒：定义本身既是正方形的性质，也是正方形的判定方法之一。正方形的定义还有另一种表述：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。理解关键：正方形是三种特殊平行四边形中限制条件最多的一种，因此它具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质。2.正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，具体包括：（1）边:四条边都相等，邻边垂直，对边平行。（2）角:四个角都是直角。（3）对角线:相等；互相垂直平分；每条对角线平分一组对角。（4）对称性:正方形是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在的直线+两条通过对边中点的直线）；正方形也是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。（5）特殊结论:正方形的对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。【注意】正方形既是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质3.正方形的判定:思路一：先证菱形，再证矩形先判定四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）。思路二：先证矩形，再证菱形先判定四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）。思路三:（定义法）先判定四边形是平行四边形，再确定它有一个角是直角并且有一组邻边相等。三、重难题型题型01根据正方形的性质证明【典例】1．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=（1）求证：PE=（2）连接DE，求∠PED的度数．【变式】2．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别是AB和CB的中点，连接DE和DF．（1）求证：△ADE（2）连接AC，分别交DE，DF于点M，N．求证：NF=题型02正方形折叠问题【典例】3．如图．在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD=4（1）求GE的长；（2）求FC的长．【变式】4．在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点（1）如图1，若AF=BF，求证：（2）如图2，若F为BG的中点，求EFAE（3）如图3，连接CF，若CF⊥BG，AB=6题型03证明四边形是正方形【典例】5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥【变式】6．如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？请说明理由．题型04求正方形重叠部分面积【典例】7．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥（1）求证：CE=（2）【结论应用】如图②，设CE，DF相交于点G，若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△DCG的面积为，CG+【变式】8．追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本P113的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E（1）初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为；（2）问题解决：当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积；（3）延伸探究：将n个边长都为2cm的正方形按如图3所示的方式摆放，A1，A2，A3，A4，⋯An，分别是正方形的中心，题型05根据正方形的性质与判定求角度【典例】9．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定【变式】10．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．题型06根据正方形的性质与判定求线段长【典例】11．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE,（1）求证：四边形DEFG是正方形；（2）若AB=3,CF=1【变式】12．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于F，DG⊥AE于点G，（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）若AD=AE，求证：（3）在（2）的条件下，已知AB=1，求OG题型07根据正方形的性质与判定求面积【典例】13．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点（BE<BC）．且BE=AB，过点E作EG⊥AD交AD于点G，在EG上取点F使EF=EC，连结BF, BG．记四边形ABEG面积为S1A．10 B．12 C．20 D．24【变式】14．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A1B1C1D1的顶点A1与点O重合，且这两个正方形的边长都是1．已知A1（1）如图1，若A1D1⊥DC（2）当正方形A1B1C1（3）在正方形A1B1C1题型08根据正方形的性质与判定证明【典例】15．在正方形ABCD中，F是BC边上一点，PF⊥AF，且（1）如图1，过点P作PE⊥BC于点E，求证：（2）如图2，连接BD，AP交于点G，求证：（3）在（2）的条件下，若FC=4，BG=42【变式】16．如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE,EF为邻边作矩形（1）【基础探究】如图1，求证：四边形DEFG是正方形；（2）【拓展迁移】如图2，已知正方形ABCD的边长为3+1，当∠ADE=30°时，求

参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∵DC=BC∠2=∠1∴△PCB∴PB=∵PE=∴PE=（2）45°2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=∵点E，F分别是AB和CB的中点，∴AE=∴AE=∴△ADE（2）∵△ADE∴DE=∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∵∠DMN=∴∠DMN=∴DM=∴DE−即NF=3．（1）GE（2）FC4．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=根据折叠性质得：AD=AF，∠DAE=∠EAF，∵AF=∴AF=∴△ABF∴∠AFB=∴∠FAD=∠BAD−∠DEF=360°−∴∠GEF=180°−∴∠GFE=∴FG=（2）1（3）25．证明：如图，过点G作GD⊥AB于点∵∠CAB、∠CBA的平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF∴DG=EG∴EG∵∠C=90°，GE⊥∴∠C∴四边形GECF是矩形，∵EG∴四边形GECF是正方形．6．（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC∴QE、QF为△∴QE∥PF∴四边形PEQF是平行四边形；（2）解：①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP=∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A由勾股定理得：PB=AB∴PB∵E、F分别是PB、PC∴PE由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD=2AB时，①中的菱形理由是：∵AD=2AB∴AB∴△ABP∴∠APB同理可得∠CPD=45°∴∠EPF∴①中的菱形PEQF是正方形．7．（1）见解析（2）32；8．（1）1（2）1（3）20279．A10．13511．（1）证明：如图，过点E作EM⊥∴∠DNE=∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∠MCN=90°∴EM=EN，四边形∴∠MEN=90°∵EF⊥∴∠DEF=90°=∴∠DEN=∴△DEN∴DE=∵四边形DEFG为平行四边形，∴DE=∴四边形DEFG为菱形，∵EF⊥∴四边形DEFG为正方形；（2）212．（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF=∵EF⊥∴∠B=∴四边形ABEF是矩形．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∵矩形ABCD中，AD∥∴∠DAE=∴∠AEB=∴BA=∴四边形ABEF是正方形；（2）证明：∵DG⊥AE，而由（1）得∴∠AGD=∵AE平分∠BAD，∴∠DAG=在△AGD和△∠DAG=∠BAE∠AGD=∠ABE∴△AGD∴AB=（3）OG13．A14．（1）1（2）解：四边形OMCN的面积不发生变化．证明如下：∵四边形ABCD和四边形A1∴∠OBC=∠OCD=45°，OB=∵∠BON+∠CON∴∠BON在△COM和△∠OCM=∠OBNOC=OB∴△COM∴S∴重叠部分四边形OMCN的面积为S====14=1即四边形OMCN的面积不发生变化．（3）215．（1）证明：∵正方形ABCD，PF⊥AF，∴AB=∴∠AFB+∴∠BAF=∵PF=∴△ABF∴BF=∴BC=∴BF=∴PE=（2）证明：如图，连接CG，PC，过点P作由（1）得：PE=∴∠PCE=∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∴