专题二 特殊三角形（1）-浙教版数学八年级上册复习

专题二特殊三角形（1）—浙教版数学八年级上册复习一、题型一轴对称图形识别1．国产人工智能模型DeepSeek、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．以下图标是“杭州文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（）A． B．C． D．二、题型二折叠问题3．如图，在△ABC中，BC=7，AC=42，∠C=45°，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的CE=a，图②中的CF=b，图③中的AG=cA．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b4．已知一张三角形纸片△ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片△ABC中，∠ABC的大小为（）A．36° B．45° C．60∘ D．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=18°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，边CE交AB于点F．若△DEF是等腰三角形，则∠ACD=．6．数学社团课上，老师拿出一张Rt△ABC（其中∠ACB=90°，∠A＞∠B）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在AB边上找一点D，沿CD向右折叠使A点落在AB边上，铺平；第二步，在AB边上找一点E，沿着CE折叠使CA落在BC边上，铺平；第三步，在AB边上找一点G和BC边上找一点F，沿着GF折叠使B点落在点A处，铺平；若最后测得恰好∠DCE=∠B，则BFFC=7．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.（1）求证：△AEF≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求DF的长.8．如图，在长方形ABCD中，.AB=CD=5，BC=AD=3.（1）如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点.D'处，求BF的长；（2）如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E，求△BDE的面积；（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP，A'B，A'P分别交CD边于点E，F，且DF=A'F，求CE的长.9．如图，在△ABC中，E是AB中点，F是AC上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．（1）如图1，当点D恰好落在线段BC上时，求证：EF∥BC；（2）如图2，在△ABC中，∠A=60°，AB=6，当点D恰好落在线段AC上时，连接BD，求BD的长度；（3）如图3，若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AF=3，CF=5．连接AD、BD、CD，当△ACD与△BCD面积相等时，求△ABC的面积．10．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在BC上，连结AD，将△ACD沿AD翻折得到（1）如图2，当点E落在AB边上时，求CD的长；（2）如图3，当点D与点B重合时，过点A作AP∥CB交BE于点P，求AP的长；（3）如图4，在（2）的条件下，点F是CB延长线上的一点，作∠EBF角平分线BG交AP的延长线于点H，△AEP的面积为S1，△PBH三、题型三轴对称图形绘图11．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标.（2）求出△ABC的面积.12．如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上).（1）在图1中画△A'B'C，使△A'B'C与△ABC关于直线DE成轴对称.（2）在图2中画Rt△APC，使Rt△APC与△ABC不全等.13．作图题：（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（要求：A与A1，B（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．四、题型四利用轴对称解决最短路径问题14．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则A．140° B．100° C．50° D．40°15．如图，∠AOB=30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（）A．3 B．427−18 C．23216．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD是∠CAB的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则EF+CF的最小值是17．如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，2)，B(-5，5)是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且CA=CB，在y轴上取一点D，连接AC、BC、AD、BD，使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为.18．如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上.（1）作∆ABC关于直线MN对称的图形∆（2）若网格中最小正方形的边长为1，求∆ABC（3）在直线MN上找一点P，则PA+PC的最小值为.19．（1）【图形感知】如图1，等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，l是过O点在∠AOB内部的一条射线，过A作AC⊥l于点C，过B作BD⊥l于点D，若AC=2，CD=3，求BD的长.（2）【问题探究】如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若∠ACB=60（3）【拓展启思】如图3，在△ABC中，.BA=CA，∠B=7520．阅读下列材料，解决提出的问题：【最短路径问题】如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B’，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB’，从而把问题（2）变为问题（1）.因此，线段AB’与直线l的交点C的位置即为所求.为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’，B’C’.因为AB’≤AC’+C’B’，∴AC+CB≤AC’+C’B，即AC+BC最小.（1）【数学思考】材料中划线部分的依据是.（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是.（填字母代号即可）A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，求BP+DP的最小值.

参考答案1．B2．C3．D4．D5．18°或36°6．27．（1）证明：∵长方形ABCD∴AB=CD，∠B=∠D=90°∵将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处∴∠E=∠B，AB=AE∴AE=CD，∠E=∠D又∵∠AFE=∠CFD∴△AEF≌△CDF(AAS)（2）解：∵AB=4，BC=8∴CE=BC=8，AE=CD=AB=4∵△AEF≌△CDF∴AF=CF，EF=DF在Rt△CDF中，D即D解得DF=38．（1）解：根据折叠的性质，AF=CF，

∵四边形ABCD是长方形，

∴∠B=90°，

设BF=x，则AF=CF=AB-BF=5-x，

在Rt△BFC中，BF2所以x=∴BF=（2）解：∵四边形ABCD是长方形，

∴∠A=∠C=90°，∵由折叠

∴∠A=∠∵BC=AD，∴A∴∠∴△A'ED≌△CEB(SAS)，∴ED=EB，设CE=y，则EB=ED=DC-CE=5-y，在Rt△BCE中，C∴解得y=所以S（3）解：∵四边形ABCD是长方形

∴∠A=∠D=90°，∵根据折叠的性质，

∴∠∴∠D=∠又∵DF=A'F，∠DFP=∠A'FE，∴△DFP≌△A'FE(ASA)∴DP=A'E，PF=EF，∴DE=PA'，又∵AD=BC=3，设PA=m，则A'E=DP=AD-PA=3-m，DE=PA'=AP=m，∴EC=5-m，BE=5-（3-m）=2+m，在Rt△ECB中，C∴解得m=∴CE=5−m=5−9．（1）证明：由折叠性质可得AE=DE，∠AEF=∠DEF，∵E是AB中点，∴AE=BE，∴BE=DE，∴∠B=∠BDE，∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠AEF，∴EF∥BC；（2）解：由折叠性质可得AE=DE，

∵∠BAC=60°，AE=DE，

∴△AED为等边三角形，

∴AE=AD，

∵E是AB中点，

∴AE=BE=12AB=3，

∴AD=3，

∵AE=BE=DE，

∴∠ABD=∠EBD，∠A=∠ADE，

∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠ADB=90°，

∴△ABD为直角三角形，

（3）解：延长CD交AB于点G，过点A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，

∴∠BNE=∠AME=90°，

∵S△ACD=S△BCD，

∴AM=BN，

∵∠BEN=∠AEM，

∴△AMG≌△BNGAAS，

∴AG=BG，

∴E，G重合，即C、D、E三点共线，

∴DF⊥CE，

由折叠得AF=DF=3，AE=DE，

∴CD=CF2−DF2=52−32=4，

设AE=DE=x，

则在Rt△ACE中，A10．（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=AC2+BC2=5，

由折叠的性质可知：AC=AE=3,∠ACB=∠AED=90°,CD=DE，

∴∠BED=90°,BE=AB−AE=2，

设CD=DE=x，则有BD=BC−CD=4−x，

∴在Rt△BDE（2）解：由折叠的性质可知：∠ABC=∠ABE,AE=AC=3,BE=BC=4,∠C=∠E=90°，

∵AP∥CB，

∴∠ABC=∠PAB=∠ABE，

∴AP=BP，

设AP=BP=t，则有PE=4−t，

∴在Rt△APE中，由勾股定理可得：32+4−t2=t2，

（3）711．（1）解：C1的坐标为（-1，-2）（2）解：

如图，S△ABC12．（1）解：如图1（2）解：如图213．（1）解：以直线l为对称轴，分别作A点的对称点A1，B的对称点B1，C的对称点C1，顺次连接A1B1C（2）解：如下图所示．14．B15．B16．1217．6+18．（1）解：如图，△A（2）解：△ABC的面积为12（3）5219．（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，在等腰Rt△AOB中，OA=OB，∴△AOC≌△OBD(AAS)，∴AC=OD=2，OC=BD，∵CD=3，∴AC=OD+CD=5，∴BD=5（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，则S△ACD=12AC·DE=40,由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，∵AB=AD，

∴△ABF≅△DAE(AAS),∴AF=DE=8，∴CF=AC-AF=2，∵∠ACB=60°，∴∠CBF=30°，∴BC=2CF=4，

∴BF=BC（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，∴∠A=30°，∵DF∥BC，∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，∴∠EDF=30°，∴∠DEF=∠DFE=75°，∴DE=DF,如图，过D作DI⟂AF于点D，则EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则AI=3a,设CF=2b，

∴EF=CE−CF=4a−2b,

∴IF=IE=即b=3a,

∴AC=AF+CF=2a+2b=2+23a,

作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，

在Rt△ACQ中，QC=1∵FG+GC=FG+GR≥FR,当且仅当F、G、R三点共线时取等，即FG+GC的最小值为FR的长，过F作FK⟂RC,

∴KC=12