2026年重庆市中考数学试卷（试题+答案）

重庆市2026年初中学业水平考试

数学试题

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项:

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答;

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项;

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成;

4.考试结束，由监考人员将试题卷和答•题•卡•一并收回.

参考公式:抛物线y=ax^hx^c（a^0）的顶点坐标为卜今,若卢｝

对称轴为直线

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是止确的，请将答♦题♦卡・上题号右侧止确答案所对

应的方框涂黑.

1.3的倒数是（)

I

A.-3BC.D.3

43

2.川个大小相同的正方体搭成的凡何体如图所示，从正面看到的视图是（)

/正面

A.cFrrD.

3.2026审庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为25000人.数据2S000用科学记数法表示为（）

A25x101B.2.5XIO4c.0.25x10'D.2.5x10'

4.如图，点力，B,。在。（）上.若乙1（8=40°,则乙"）8的度数是（)

AB

第1页/共7页

A.140°B.100°C.90cD.800

5.下列事件中，一定会发生的是（）

A.从只有白球的袋中摸出白球

B.明天一定会下雨

C.随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数

D.抛掷一枚质地均匀的正方体微子，向上一面的点数是7

6.醉类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中C，II，O分

别代表碳原子、氢原子、氧原子.第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8

个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个佟中氢原子的个数是（）

HHHHHH

HHHIIIIII

C-CC-C-C-C

H-C-OHIIIIII

HHHHHH

HHHH

①②③④

A.14B.16C.18D.20

2

7.在反比例函数丁=£中，若］<x<2,则，的取值范围为（)

X

A.-<y<\B.\<y<2

C.-I<y<D.-2<J<-l

2

8.中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容一斛.问大小器

各容几何.”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量

器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为K

斛，1个小容器的容量为，'斛，则可列方程组为（）

5x*y=35x-y=35x♦y=35x-v=3

A.B.C.<D.•

x♦=2=2x-5y=2x-5y=2

9.如图，在正方形48（。中，E为BC上一点，且（力=2/?「，连接DE.过点/作//1DE，垂足为

F连接"/，•并延长交于点G,连接则炉与△（/1；的面积之比为（）

第2页/共7页

A.2B.lD.2

C7

94

10.已知整式Af：其中小a.为正整数，4，""q,…，/।为整数，

a0<a[<a:<---<un,且"[a+u,+•••+6.下列说法：

①当〃-I时，满足条件的所有整式M的和为22x7：

②当〃=2时，若函数尸二例的图象关于J.轴对称，则满足条件的整式有且仅有F个；

③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式,W共有2个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D,3

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答您卡中

对应的横线上.

11.某学校决定从九年级的五个备选节目A,B,C,D,E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率

为.

12.如图，直线U,人被直线C所截.若zi«58°>则/2的度数是

13.满足而的整数"的值可以是（写一个即可）.

14.若实数X,，同时满足x-|y，Z=6,卜卜2y■门，贝入。'的值为—.

15.自然数e与〃均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9,且E与〃的乘积为三位

数.a♦”的最小值为；当用时，存在正整数%,使得公则满足条件的所有&的值之

和为•

16.如图，四边形d"C£）是平行四边形，点/,。在0。上，/。=12,经过圆心〃，且8£_L/10，

第3页/共7页

垂足为£，0£=8.连接。C交。。于点尸，连接用并延长交于点G，BE-OC,则08的长度为

三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答

时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过

程书写在答博卡中对应的位置上.

3x442x0）

17.解不等式组：,-

4

18.先化简，再求值：广：八卜纪丁其中*・3上

19.早在2005年，重庆就被茅以外桥梁委员会认定为中国“桥都”.为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，

某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动.现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩

（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图：

A组：60sx<70

B组：70”<80

C组：80sx<90

D组：904E00

（其中'表示竞赛成绩）

七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85,87,87,89,89,89,89.

八年级抽取20名学生的竞赛成绩是:65,66,68,73,75,79,81,83,84,84,85,88,89,89,

第4页/共7页

93,93,93,95,97,100.

经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89,八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5,七、

八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）请你直接写出条形统计图中小的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽双学生的竞

赛戌绩的众数；

（2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低

于90分的学生人数共是多少？

（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理

由即可）.

20.综合与实践

在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究.

如图，在。中，AB<BC.用尺规完成基本作图：作出乙4"（•的平分线，交彳。于点£.

【问题提出】

他们猜想,4"之间存在以下数量关系：DE=BC/B.

【问题解决】

任务：

（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明.

21.列方程解下列问题：

某企业承担了一款智能机器人的48两种型号配件的生产任务.已知该企业每天生产4型配件的数量比每

天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等.

（1）求该企业每天生产44型配件的数量分别是多少个？

（2）如果该企业每天生产44型配件的数量分别减少。个和20个，那么生产200个/型配件的天数与

生产700个〃型配件的天数相同，求"的值.

第5页/共7页

22.如图，四边形46co是矩形，4S-6cm，=8cm.点£以每秒1cm的速度沿BTC方向运动，

点尸在直线彳“上运动，且满足S.u〃=2cmL点G与点£同时出发，以每秒2cm的速度沿折线

。-＞（'-＞4方向运动.设运动时间为、秒（0＜刀＜8）,点户与点〃的距离为乂，点6与点。的距离为“.

v/cm

io

aI2345678910H

（1）请直接写出乂，外关于K的函数表达式，并分别写出自变量1的取值范围；

（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数M，外的图象；结合函数图象，直接写出小时”的取值

范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.

23.重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假.春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩.如

图，大门/,猴山〃，古塔仁，游乐场。为景区内在同一平面内的四个景点.。位于彳的正东方向3千米

处，8位于4的正南方向且位于。的南偏西300方向，（•位于斤的南偏东75。方向且位于。的南偏东30°

方向.

⑴求3c的长度（参考数据：V2*l.4b行电1.73，石与2.24，＜6*2.45»结果保四小数点后

一位）；

（2）现甲从外出发沿"。方向前往。，乙从。出发沿AX'方向前往「，两人同时出发，乙的速度是甲的

速度的2倍.途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米，求此时甲离

。处多少千米？

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=--一+/W+C与二轴交于点力，8（4.0）,与J，轴交于点

第6页/共7页

（|0J）,连接水，B（.

（1）求抛物线的表达式；

（2）Q是线段8（,上方抛物线上的一动点，过点p作?。18C，垂足为。，石是X轴上一动点，连接

PE当P。的长度取得最大值时，求点P的坐标及，噌♦="’的最小值；

（3）将抛物线沿射线（N方向平移<5个单位长度得到抛物线点8的对应点为扛M是平移后抛物线

./上一点，直线彳M交直线6厂于点M且N4\6-N/C890。.请直接写出所有符合条件的点M的坐

标，并写出求解点加的其中一种情况的过程.

25.如图，在RtZS/AC中，/彳（7?=90°,BC>AC\以8（.为斜边在8（.上方作等腰直角三角形

BCD.

（1）如图1，若4"=30°,BD3,求4（，的长度；

（2）如图2,连接彳0,将线段D4绕点。顺时针旋转90c得到线段DE，延长交8（•于点F，连

接（£.点6，〃分别是48，的中点，连按。G，GH.求证：

（3）如图3,B（12,AC3,点P在直线上，连接/）〃，将线段。〃绕点。逆时针旋转90。得

到线段连接40,点的在直线彳8上，连接OM，QM,将△DM0沿直线OW翻折至

所在平面内得到连接（A.当/。+。0取得最小值时，连接N。，请直接写出

面积的最大值.

第7页/共7页

重庆市2026年初中学业水平考试

数学试题

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答理卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作答前认真阅读等型卡上的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑年”铅笔完成；

4.考试结束，由监考人员将试题卷和•答•题•卡一并收回.

参考公式:抛物线y=ax^hx^c（a^0）的顶点坐标为卜今,若卢｝对称轴为直线

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是止确的，请将答♦题♦卡・上题号右侧止确答案所对

应的方框涂黑.

1.3的倒数是（）

1I

A.-3B.一一C.-D.3

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果.

【详解】解：根据倒数的定义，乘积为I的两个数互为倒数，

，3的倒数是1.

3

2.四个大小相同的正方体搭成的凡何体如图所示，从正面看到的视图是（）

正面

第1页/共37页

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2,I,I,据此判断即可.

【详解】解：观察几何体，从正面看：第一列（左）有2层，看到2个正方形，第二列（中）有1层,

看到1个正方形，第三列（右）有1层，看到1个正方形，

,从正面看到的视图如下

3.2026重庆马拉松了今年1月18口举行，赛事总规模为25000人.数据25000用科学记数法表示为（〉

A.25x10*B2.5xIO4C.0.25x10'D.2.5x10s

【答案】B

【解析】

【详解】解•：25000用科学记数法表示为2.5x104•

4.如图，点4B,。在GX）上.若乙仅方=40°,则乙〃的发数是（）

A.140°B.100°C.90°D.80。

【答案】D

【解析】

【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可.

【详解】解：•••乙4（8与是同弧所对的圆周角与圆心角，乙乙1（8

••/〃»=40°,

ZJOfl=2x40'=80°

5.下列事件中，一定会发生的是（)

第2页/共37页

A.从只有白球的袋中摸出白球

B.明天一定会下雨

C.随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数

D.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7

[JA

【解析】

【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件.

【详解】解.：A选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球〜定只能摸出白球，该事件•定会发生.

B选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生.

C选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生.

D选项正方体骰子向上一面的点数最大为6,不可能得到点数7,属于不可能事件，一定不会发生.

6.醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中C，II，O分

别代表碳原子、氢原子、氧原子.第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8

个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（）

HHHHHH

HHHHIIIIII

C-CC-C-C-C

H-C-OHH-C-C-OHH-CIIIIII

।11।I।1HHHHHH

HHHH

①②③④

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】

【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第〃个图形中氢原子个数的公式，将〃9代入计算

即可.

【详解】解：:第①个图中有4个氢原子，4=2x112；

第②个图中有6个氢原子，6=2x2+2；

第③个图中有8个氢原子，8=2x3+2；

第④个图中有10个氢原子，10=2x4+2

••・第〃个图中氢原子的个数为2〃+2，

・•・当〃9时，氢原子的个数为2x9+2=20.

7.在反比例函数），=上中，若1<X<2,则，’的取值范围为（）

X

第3页/共37页

A.—<y<\B.I<y<2

C.-I<^<——

【答案】B

【解析】

【分析】先根据反比例函数系数的符号判断x>o时，的增减性，再代入.'的端点值得到y的取值范围.

【详解】解：•.・反比例函数），=2中，i=2>0,

x

••・当x>0时，J•随N的增大而减小，

2

当I-I时，y=-=2,

2

当x—2时，y=j=l，

二当lvx<2时，，的取值范围为

8.中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.问大小器

各容几何.”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的•种量

器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为K

斛，1个小容器的容量为S斛，则可列方程组为（)

5x-y=35x+y=35x7=3

B.C.D.

“♦”■2x-5y*2x-*2

【答案】A

【解析】

【分析】设1个大容器的容量为K斛，1个小容器的容量为J.斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量

为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组.

【详解】解：设1个大容器的容量为y斛，1个小容器的容量为J.斛，

••5个大容器和1个小容器的总容量为3斛，

V1个大容器和5个小容器的总容量为2斛,

.5r-2,

5x+y=3

因此可得方程组

x♦・2

第4页/共37页

9.如图，在正方形48（,。中，E为BC上一点，且（力=2〃月，连接QE.过点/作4/1DE，垂足为

F连接勿•并延长交（D于点G，连接（尸，则与△C”G的面积之比为（）

、.二B.-

94

【答案】B

【解析】

【分析】设8£=。（。＞0）,则（2=%,AD=CD=R（'=3a,。£=后♦,先得出〜/D户八〃〃（,

则可得QF的长，再过点/作FW18C于点历，作FN工CD于点N，得出ADFNS.DEC，

△BCGSA/M"',求出的长，进而求出A8印与△CFG的面积即可.

【详解】解:设8£=“。＞0）,

•••（/：=24/.,

mu,BC-BE+CE=3BE=3a，

•••匹边形48（曾是正方形，

ZADC=£BCD=叱AD=CD=BC=3a，

"ADF+/CDE=9（r，DE=《CD'+CE2=辰，

•：AFLDE，

・・〃《）■»%Z^DF+ZE4D«9O°，

：.£FAD-ZCDE，

在“。尸和中，

ZFAD=ZCDE

■NZX'E=900'

；AADFSA【）EC,

.DFADDF3a

••---=----,即Hn-—=»

CEDE2aJtl3a

第5页/共37页

解得/)/.•二"立

13

如图，过点尸作FM16C于点M，作/NIC。于点N,

•••匹边形(：M*Y是矩形,

FM=CN,FN=CM,FN〃BC，FM〃CD，

；・dDFNsdDEC，

"="="即研

DN

CECDDE

2a3a

解得小二；；。峰=铮

:・BM=BC-CM=BC-FN=双,FM=CN=CD-DN=生

1313

又；FM〃CD，

・•・AA〃"

3a

.CGHC——=------

—,即21。27。,

MFUM

1313

解得CG="

=-«EFA/=-a—=—，S

221326"fH52231313

2kf

RREF与&CFG的面积之比为3=7-

\4a4

13

【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形.

io.已知整式A，：4其中〃，q,为正整数，4,"1,可,…，为整数,

第6页/共37页

V6且+q+•••+，.6.下列说法：

①当〃I时，满足条件的所有整式M的和为22x-7；

②当〃=2时，若函数，-历,方的图象关于J轴对称，则满足条件的整式何有且仅有I个：

③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式用共有2个.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意和〃的取值，分别确定相应小,〃・丹的值，进而可得仙的值，然后计算整式的加减、因

式分解逐个判断即可.

【详解】解：①当〃I时，1+4=6,即4=5,

•・4<%,q为正整数，

•,.|%|+4=5，

当q=1时，则&=4,解得q；-4或/(舍去)，此时,“=4+x；

当42时，则4=3,解得/一3或43>q(舍去)，此时M=-3+2》；

当4=3时，则闻=2,解得q=-2或4=2,此时M=・2+3x或M=2+3x；

当4=4时，则|外卜1,解得为=-1或，=1,此时M=-1+4x或M=l+4x；

当4・5时，则4|二0,解得q・0,此时M・5x，

则满足条件的所有整式A/的和为

(-4+>)+(-3+2K)♦(-2+3x)+(2.3x)+(-1+4x)+0+4x).5x=22x-7,说法①正确；

②当刀=2时，M2+同+闻+同=6,即|4,同+同=4,

由题意可知，4为正整数，4，/为整数，且“<q<%,

・・・叫+4|♦/=4,

•・•函数,=A/+x=%x?+(q+l)x+4的图象关于，轴对称，

第7页/共37页

，%+1=0,即4=-1,

•MI+IT+%=4,

解得⑷=3-q,

</0<-1<ci2»

・・.[%>1，

二3一%>L解得q<2,

又二生为正整数，

:%1,小|=3-1=2,

一2或/二2>-1(舍去)，

•••满足条件的整式M・-2-JT.F，有且仅有1个；说法②正确；

③♦,•整式M是二次二项式，

.•.力=2,且只有两个非零项，

同②可得:为,力+/二4,q为正整数,

•••在这个二次二项式中，4二。或4=0,

⑴当q=0时，M=4+"4，同+4=4,/<0<口，

/.</2=4«o=4+%>0,

/.%>Y,

.•.当时，A1.3/-I，不能在有理数范围因式分解，舍去；

当q=-2.%=2时，M=2X2-2=2(X-I)(X+1),能在有理数范围因式分解;

当出=-3,%=1时，的=/一3,不能在有理数范围因式分解，舍去；

(II)当％=0时，M4k,"1=4,Ovqc4,

/.佻+%=4,

第8页/共37页

・•・只有qlar3符合，此时A，：3x、+x=能在有理数范围因式分解;

综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式A,共有2个；说法③正确；

所以说法正确的个数是3个.

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上.

11.某学校决定从九年级的五个备选节目A,B,C,D,E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率

为—.

【答案】

【解析】

【详解】解—：由题意可知，从五个备选节目中随机抽取1个，共有5种等可能的结果，其中抽到节目A的

结果只有I种，

.•.推到节目A的概率为:

12.如图，直线"，方被直线c所截.若Z1=58%则N2的度数是—.

【解析】

【详解】解：•••“〃/>,ZI-58°

・•・Z2=ZI=58°.

13.满足"<勿《腐的整数〃的值可以是（写一个即可）.

【答案】3（答案不唯一，3，4,5任选其一即可）

【解析】

【分析】先估算无理数、方和标的取值范围，再确定范围内的整数〃，任选一个整数即可作答.

【详解】解：・・・4v7<9,25<29<36,

**-2<<7<X5<v29<6»

第9页/共37页

•••「<勿<而，且〃是整数，

・•・“的值可以是3或4或5,

，满足题意的〃的值可以是3.

14.若实数，同时满足x-»+2=6,㈤-2y・13,则.9的值为一.

【答案】-21

【解析】

【分析】根据X-|》+26得到尸2-JT6,由绝对值的非负性推出工26,则可推出x2)-13,进而

得到|〉T2|=2)T7,解方程求出)，的值，进而求出x的值，最后代入求值即可.

【详解】解：•••]-，+2|6,

・・.》2x-6,

V)12>0,

:・x620,

Ax>6：

v|x|-2y=13,

/.x-2>1-13,

：,x2>+13,

八2二2,♦136,

工…-2y.7,

j♦22j♦7或p,2-(2y♦7),

解得丁-5或丁=-3,

当y:5时，J2x(5)*133<6,此时不满足题意；

当了=-3时，x=2x(3)il3=7>6,此时满足题意；

/.XV7x(3)21.

15.自然数掰与勿均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9,且M与曾的乘积为三位

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数.加+勿的最小值为；当加时，存在正整数h使得公=历：-/，则满足条件的所有£的值之

和为.

【答案】①.29②.28

【解析】

【分析】设两个自然数的十位上的数字为"(l<d<9,且。为整数)，自然数M的个位上的数字为方

(04/>49,且人为整数)，则自然数曾的个位上的数字为9-方，表示出胆.〃，根据胆+〃的化简结果确

定其和"的关系，结合乘积为三位数的条件求出m+k的最小值.再利用平方差公式变形A…八根据

完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有人的和即可.

【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为"(14u49,且"为整数)，自然数用的个位上的数字为

b(04849,且b为整数)，则自然数〃的个位上的数字为9-

：•mIOufA,nI(肘］9h,

；./M+w=(IOri4-h)-*-(l(kj4-9-6)=20〃.9.

mn=(IOafA)(IO(/>9-/>)=IOOa2+90cil6(9-A),

要使用+20u+9最小，需"最小，

则当。=I时,m.〃的最小值为20x1+9=29,

此时iwi=l00+9O+A(9-b)・一b?.9A.190・一(A-；)+?，

由二次函数的性质可知，当/>=4或/>=5时，皿।的值最大，最大值为一(4一：)♦耳•=210<1000或

-(S-；)+，：=210«1000,符合题意.

当顺>/1时，m-u=(IOa+h)-(IOu+9-/>)=2A-9>O,

解得/>>4.5，

・・5。49,且3为整数,

・•.1428-949,

,:k'Wn"»

:,k=(m-w)(m4-n)=(2A-9)(20a+9),

又'"-g为奇数，且I42/>-949，

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・•・沙一9所有可能的取值为L3.5,7,9,

①当26・9・1，即时，k2*20o-f-9*/ww=(IOd+5)(IO<i+4),

且。为整数,

••♦当〃=2时，&'=49，

此时正整数A=7,mn(10x2+5)x(10x2+4|6<)<)<l()(Xh符合题意；

当u=8时，产=169，

此时正整数±=13，mw=(l0x8>5)x(10x8^4)=7l40>1000,不符合题意，舍去；

②当2A-9=3,即b=6时，£'.3(2039),nm=(IOa+6)(IOa+3),

同理可得：没有符合条件的u,使得正整数人满足r=3(2Oa+9)；

③当％・9・5,即〃=7时，/=5(20〃+9),m/i=(IOa+7)(IOa+2),

同理可得：没有符合条件的u,使得正整数A满足A'二5(20〃+9)；

④当乃一9=7,即b=8时，*2=7(20a*9),加〃=(10«+8)(10°+1),

同理可得：没有符合条件的"，使得正整数£满足4、=7(20。+9)：

⑤当％—9=9,即/>=9时，A?=9(20a+9),=l(kj(IOa，9),

当a=2时，i?=9x(20x2+9)=44l=2l\

此时正整数彳21，ww=10x2x(10x24-9)=580<1000,符合题意；

当<j=8时,凹=9x(20x8+9)=1521=39、

此时正整数±=39,mn=10x8x(10x8+9)=7120>1000,不符合题意，舍去；

综上，满足条件的所有K的值为7和21,它们的和为7+21=28.

【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论.

16.如图，四边形48(曾是平行四边形，点小。在。。上，/。=12,3月经过圆心O,且BE140，

垂足为£，。£=8.连接(凝.交GX)于点£，连接用并延长交。。于点G，BE-OC,则08的长度为

—,"G的长度为一.

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【答案】①.5②.<65

【解析】

【分析】先得出再在尢△""('中，利用勾股定理求解可得〃〃的长度；过点。作OM1FG

丁点W，过点A作8N«LOC于点N，连接O4OG，先求出。尸的长，再求出8MFM8F的长，然后

解直角三角形可得尸A,的长，进而可得「、(；的长，最后根据B(；=F(；-8F求解即可.

【详解】解：•・•四边形48(曾是平行四边形，/。=12，

・・B('=")=I2，AD\\BC,

•；BE工AD，

：BELBC，

设B£="=X(X>0),

/OE=8,

OB=BE-()E=x3,

在RtAHOC中，Of+BC2=0C‘，即(x-8)z+12=/，

解得.LI3，

・・OC=I3,OB=l3-8=5.

如图，过点〃作。M于点M，过点A作8V于点N,连接04"，

••・8£经过圆心〃，且8EJ./D，

A4£--i4D«6,

・•・OG=OF=OA=〃£+O£2=10

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=-()('BN=-OHR(\

22

.g,OBBC5x1260

・・UN=--------=------=—

OC1313

25

•二”M-"洞-BN'-J52-

n

FN=OF-ON=I0--=—，

1313

在RlABFN中,mN/沙w="=

BF65

在RIAFOM中,FM=(汁3ZBFN=吐叵

13

又•。「"M'，OA/1FG，

BG=FG-RF==屈

1313

【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形.

三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答

时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过

程书写在答题卡中对应的位置上.

•••

3X+4NKD

17.解不等式组：，3x4-5g

4

【答案】x>l

【解^5]

3x+42x0)

【详解】解：，3x4-5G

-------<x+[1②

4

解不等式①得x22,

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解不等式②得x>I，

将①和②的解集在数轴上表示为：

1,•<_'•-------------H_I'

防'S："#1二kM'

・•・原不等式组的解集为x>1.

2

18.先化简，再求值：fIxX-I“1卜—4x■—4JT♦I,其中x=3°.

【答案】

化简结果为I，值为I

2x-l

【解析】

【详解】解：

户—吐史

\XX)X

2x-lx

~~r-(2x-1)2

1

=2x-l

・.・％=3°=I，且x=I时分式有意义

...当X-I时，原式='=I.

2x1-1

19.早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”.为了解学生对重庆桥梁的知悉程度,

某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动.现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩

(满分为100分，成绩均不低于60分)，对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图：

七年级所抽取学生的竞赛成绩条拒统计图

A组：604x<70

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B组：70sA<80

cm：804x<90

D组:904T00

（其中N表示竞赛成绩）

七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:85,87,87,89,89,89,89.

八年级抽取20名学生的竞赛成绩是；65,66,68,73,75,79,81,83,84,84,85,88,89,89,

93,93,93,95,97,100.

经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89,八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是845七、

八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）请你直接写出条形统计图中〃，的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞

赛成绩的众数：

（2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低

于90分的学生人数共是多少？

（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理

由即可）.

【答案】（1）6,86,93

（2）154人（3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下：

•••八年级的众数93大于七年级的众数89

八年级此次竞赛成绩较好

或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下：

••♦七年级的中位数86大于八年级的中位数84.5

•••七年级此次竞赛成绩较好

【解析】

【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数，然后根据中位数和众数的定义求解；

（2）利用样本估计总体的方法求解；

（3）根据中位数、众数分析判断即可.

【小问1详解】

解：七年级抽取20名学生的竞赛成绩中B组人数析=20-374=6：

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•••共有20个数据

•••中位数为第10个数据和第11个数据的平均数

•••七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为，=86；

2

•••八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多

二八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93；

【小问2详解】

46

解：320x.300）（=1541人），

2020

.•・估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人:

【小问3详解】

略

20.综合与实践

在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究.

如图，在。中，AR<BC.用尺规完成基本作图：作出乙48（'的平分线，交/。于点F.

【问题提出】

他们猜想DE，"（'，4〃之间存在以下数量关系：DE^BC-AB.

【问题解决】

任务：

（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明.

【答案】（1）解：作图如下:

（2）证明：由作图知，〃“是乙的平分线,

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•••四边形.46（0是平行四边形，

/.AD\\BCtAD=BC，

・•・£AEB=AABE，

：IB=AEf

•：DE-4DAE>

・•・DE=BC-AB.

【解析】

【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可：

（2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得48=/1E，从而可证明猜想.

【小问1详解】

解：略；

【小问2详解】

证明：略.

21.列方程解下列问题：

某企业承担了•款智能机器人的上〃两种型号配件的生产任务.已知该企业每天生产/型配件的数量比每

天生产B型配件的数量少10个，且R天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等.

（1）求该企业每天生产力，B型配件的数星分别是多少个？

（2）如果该企业每天生产48型配件的数量分别减少。个和2"个，那么生产200个4型配件的天数与

生产700个8型配件的天数相同，求。的值.

【答案】（1）该企业每天生产力理配件的数量为15个，每天生产4型配件的数量为45个

（2）。=5.

【解析】

【分析】（1）设该企业每天生产［型配件的数量为x个，则每天生产8