解三角形（讲义）-2027届高考数学一轮复习原题版

作用一：在已知三角形部分元素的情况下求解其余

元素

正弦定理、余弦

r定理解三角形的作用二：实现三角形边角关系的互化

两大作用

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系,

正(余舷定理是转化的桥梁

J___________________

从代数的角度分析、从几何的角度分析

(1)利用正弦、余弦定理解三角形

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理

结合求出三角形的其他量

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题

把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在

各个三角形内利用正弦、余弦定理求解

体现在两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函

数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象

和性质的综合应用

考点1解三角形

知识点1解三角形的几类热点问题及其解题思路

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)王弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况卜求解其余元素,基本思想是方程思想，即

根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)王弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘

隙含条件，面视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时匕能出现一解、两解或无解的情况，三角形

不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角“时三角形解的情况，下面以已知a力

和儿解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若,则满足条件的三角形的个数为0:

a

②若sin8=®l=],则满足条件的三角形的个数为1；

a

③若sin8=%W<l,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<sin8=g巴/*<1可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至心大边对大角”、“三角形

a

内角和等于i8(r”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角''时三角形解的情况，以已知a力和儿

解三角形为例，用几何法探究如下：

图形关系式解的个数

,4.三

①。=bsin

J：一懈

②生b

①84（2）fi

A2A.

为

锐/jsiivl<!?</?两解

角

A4-----B2

C

止’

a<Z?sinJ无解

A

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积;

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

知识点2测量问题的基本类型和解决方案

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当力4的长度不可直接测量时，求力A的距离有以下三独类型:

类型简图计算方法

测得力。=力，BC=a,。的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得力/?=，〃2+〃2—)(］卜cosC

C

・1.一

----z'测得4C=〃，B,C的大小，则力=加-(8+。，

昆。与点力可■—七

由正弦定理得一asinC

视但不可达

sin(8+C)

BaC

AB测得CD=a及乙BDC,ACD、乙BCD、dDC的度

C。与点44三数.在△/1C。中，用正弦定理求4C；在4BCD

均可视不可达/，、L-----中，用正弦定理求8c在八48。中，用余弦

—------定理求AB.

CaD

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当月8的高度不可直接测量时，求48的高度有以下三种类型:

类型简图计算方法

测得BC=a,C的大小，AB=a-tanC.

测得CD=a及乙1C8与ADB的度数.

点8与

先由正弦定理求出4c或力。，再解直角三角形

CQ共线

得力8的值.

底

部

不

可

达

测得CD=a及乙BCD,乙BDC,UCB的度数.

在△BC。中由正弦定理求得8C,再解直角三

角形得4B的值.

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角

等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及

有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

知识点3解三角形的应用的解题策略

1.平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2.解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1.三角形中的三角函数关系

(l)sin(J+j?)=sinC；

(2)cos(/i+笈尸-cos。；

A+B

(3)sin

(4)cos---=sin-z-.

2.三角形中的射影定理

在△N5C中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

3.在△48C中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，—sinX>sin82

cosJ<cos4.

【题型1余弦定理解三角形】

【例1】（2026•广东广州•模拟预测）在钝角△力BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=7

,C=6°,则a=()

A.2B.3或5C.5D.3

【变式1-1]（2026•陕西商洛•模拟预测）已知△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4+c?—a

=-2c,b=2,则A=()

5n2n

A・6B・VcTD.J

【变式1-2】（2026•四川绵阳•模拟预测）在钝角△48C中，b=8,c=7,C=60。,则a=()

A.2B.3或5C.5D.3

【变式1-31（2026•四川成都・模拟预测）在△48。中，角45。所对的边分别为a,瓦c,。是边BC上一点，若

A=-/ID=DC=2BD,c=1,贝Ijb=()

6

A.2B・TC.V3D.2百

【题型2正弦定理解三角形】

【例2】（2026•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在△4BC中,1=2,c=2^2,C=45。，则角B的大小为（）

A.30°B.120。或30°C.120°D.105°或15。

【变式2-1J（2026•山西运城•一模）在△48C中，AC=2AB,cosB=I，则sinC=()

C.3

A.B・TD.—

【变式2-2]（2026•山西临汾•二模）在△ABC中,内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若。二百，且

c-2b+2百cosC=0,则力为()

2n

A.iB-6C.ID,T

【变式2-3]（2026•云南红河•模拟预测）在△ABC中，AC=1,BC=6B则人为（）

irnn2n

A.6B.彳D.彳或了

【题型3三角形的形状判断】

【例3】（2026•浙江•二模）记Q,b,c分别为△力8c的内角A,B,C的对边，.且力=泉V3a=4bsinC,则

△48C.的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形

4

【变式3-1]（2026•内蒙古赤峰•三模）在△4?。中，角力,B,C的对边分别是b,c,且Z?+C=EQ,

cosB=I，则△4BC的形状是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定的

22

【变式3-2]（2026•山西晋城•模拟预测）在△ABC中，内角月，B,C的对边分别为a,b,c,Rb+c-

a2=12,△48C的面积为3百.

（1）求角4:

⑵若△4BC外接圆的半径为2,判断△力BC的形状.

【变式3-3]（2026•贵州黔西南•二模）已知△48C三个内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且司f=一

ccos(4+B)

sinC•

(1)证明：△ABC是等腰三角形；

(2)若Q=1,cos/l=g,求△ABC的面积.

【题型4三角形的面积与周长问题】

【例4】(2026•贵州遵义・模拟预测)记△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知(c-2b)cos4+

⑴求角力；

(2)若a=6,b+c=9,求△4BC的面积.

【变式4-1](2026•重庆•模拟预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足：2bcosA=c-b.

(1)证明：A=2B；

(2)若2=(百一1)(2COS25+COSB),且c=4,求△48C的面积S.

【变式4-2](2026・重庆•模拟预测)在△A8C中，内角ARC所对的边分别为a,b,c,其中4=(2a,-l),n=(

TT

cosC,2b+c),且m±n.

(1)求角4

3V3

(2)若b+c=4,△ABC的面积为丁，求△ABC的周长.

【变式4-3](2026•云南•模拟预测)已知在△48。中，角48,C所对的边分别为a力,c/D为“力C的角平分线,

2>/17厂

AB=2AC,BD=且asinB=bcosA.

(1)求角4

（2）求△4BC的面积.

【题型5三角形中的最值与范围问题】

【例5】（2026•广东广州•模拟预测）记锐角三角形48c的内角所对的边分别为a,b,c,已知8=2C,

a=2,则b+c的取值范围是（）

A.（2,百+1）B.（百+1,+8）C.（2,26+2）D.（百+1,2五+2）

【变式5-1]（2026•陕西榆林•三模）在锐角△力8C中，内角4B,C的对边分别为mb,c,且c=l,

A=2C,则△48C周长的取值范围为（）

A.（1+五,2+⑨B.（1+百,3+百）

C.（2+心3+百）D.（1+我,3+百）

【变式5・2】（2026•安徽•模拟预测）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足（a+匕+c）

（sinA+sinB-sinC）=asinB+2bs\nA.

（1）求角C的大小：

（2）若c=百，求△ABC面积的最大值.

【变式5-3]（2026•河南•三模）在△4BC中，内角儿B,。的对边分别为b,c,且满足sinC+gsinB=

cosBsinA.

⑴求N;

（2）若。=m，求△力8c的周长的取值范围.

【题型6三角形的高、中线和角平分线】

[例6](2026•黑龙江吉林•模拟预测)在△48C中，已知4c=5,AB=3,BC=7,4。是BC边上的中线,则AD=

()

15vH715

A.彳B.-C.2D.—

【变式6-1](2026•山东青岛•二模)在△48。中，角45C所对的边分别为a力,c,Q=2力=1,其加0券二c

sinB,则A8边上的高为()

A.TB.1C.百D.2

【变式6-2](2026•甘肃定西•一模)在△45C中,角48,。所对的边分别为Q,瓦c,且满足(bcosC+ccosB)sin

C=百(acosC-b).

(1)求角4的大小；

(2)已知Q=g,b=3,求BC边上的中线40的长.

【变式6-3](2026•河南新乡•三模)△48。的内角儿B,C的对边分别为“，4c,已知c(sinB+sin。)=。

sinA-bsinB.

⑴求4

(2)若Q=V7,点。为边5C的中点，40=等"4C的角平分线交4C于E,求力6

【题型7距离、高度、角度测量问题】

【例7】(2026•广东珠海•模拟预测)龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制

的八角仿古景观塔.某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔

底B所在的水平地面上选取C,D两点，测得CO=15米，^.BCD=15°31\z5DC=150°,在点C处测得

塔顶A的仰角为60。，则龙辰塔的高度4B约为（）（参考数据：取SE14O29'=0.25,百=1.732）

A.46米B.48米C.50米D.52米

【变式7-1］（2026•甘肃张掖・模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75。方向上，两地

相距6衣nmile：在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60。方向上，两地相距4nmile.该船由甲地向正南

航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30。方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是

（）

A.6nmileB.7nmileC.37611mileD.477nmile

【变式7・2】（2026•重庆万州•三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄椭坡之巅，是重庆市的•座名塔，据《巴

县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆

市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取&D两点，测得CD=8

米，zMC=30°,z5CD=135°31\在点C处测得塔顶A的仰角为60°,则文峰塔的高度4B约为（）（参考

数据:取sinl4°29'=0.25）

B

、D

A.26米

B.28米

C.30米

D.32米

【变式7・3】(2026•湖北荆州•模拟预测)如图，力方,。为山脚两测共线的三点，这三点处依次测得对山顶P

的仰角分别为a，3，y，计划沿直线4c开通隧道DE,设的长度分别为a,b,c.为了测出隧道OE的长度,

还需直接测出()的值.

C.a和cD.a,Z?,c二者

【题型8解三角形与其他知识的交汇问题】

【例8】(2026•河南开封•模拟预测)已知△ABC的外接圆半径为2,若力=宗则瓦？•瓦的最大值为()

A.5+6百B.6+4百C.7+373D.4+7百

【变式8-1](2026•新疆•一模)在△ABC中，内角力,B,C所对的边分别是a,b,c.若sinB(c-b)=

(sin力+sinC)(c-a),且=则△48。的面积为()

A.3B.V3C.2V3D.3V3

【变式8-2](2026•湖南•三模)在△ABC中,内角A8,C所对的边分别为a,瓦c,已知函数f(%)=2simxos%-2

V3COS2X+百，月./⑷=0.

(1)求角A的大小；

(2)若。二百，△48。的周长为3+百，求△4BC的面积.

【变式8-3](2026•四川眉山•模拟预测)已知向量H=(sinx,cosx)>=(cos%,百sin(x+])).设/(%)=a-b.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期；

(2)记△ABC的内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知/•(*=加=百,△48C的面积为百，求Q的长.

....................

一、单选题

I.（2026•山东聊城•二模）在△48。中,已知B=60°/C=g,8C=348,贝以8=(

A.V2B.2^2C.372D.4

3

2.（2026•湖南湘西•三模）在△A8C中,内角4,8,。的对边分别为。力,。，己知cos4=-5,a=2,c=1,则

sinC=()

2311

A.?B.而C.5D.而

3.（2026•江苏苏州•二模）己如钝用二角形力8c的二边分别为％,k+1,k+2,则实数k的取值范围为

（）

A.（0,3）B.（L3）C.[2,3）D.（2,6）

4.（2026•河北张家口•三模）记的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知a=4,6=3,AD

为5C边上的中线，且力。=3,则c=（）

A.2x^L7B.2V3C.y/17D.百

5.（2026•湖南株洲•模拟预测）54?C的内角4,B,5的对边分别为a,b,c,若c=2bcos4,则△ABC

一定是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形

6.（2026•山东德州•三模）已知△48C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,力=三且。=2,三角形面

积为百，则△48。的周长为（）

A.3B.4

C.5D.6

7.（2026•重庆•模拟预测）如图，某海滨城市力附近海面上有一台风，在城市4测得该台风中心位厂南偏东

30°,距离为250百km的海面P处，并以25km/h的速度沿北偏西60。的方向移动.如果台风侵袭的范围是半

径为250km的圆形区域.则该城市开始受到台风侵袭的时间为（）

A.5小时后B.10小时后C.15小时后D.20小时后

8.（2026•江苏苏州•模拟预测）记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若b?二总黑元,则A/IBC

面积的最大值为（）

1V2V2V2

A.2B.-C.-D.—

二、多选题

9.（2026•江西南昌•三模）已知△48C内角45。所对的边分别为a,b,c.则下列说法正确的是（）

A.若/+/<。2,则△力BC为钝角三角形.

B.若sin4=cosB,则△ABC为等腰三角形

C.在锐角△48C中，不等式cosB>sinA恒成立

D.若8>90°,C=60°,则!的取值范围为（2,+8）

10.（2026•陕西西安•模拟预测）在AABC中，AB=3,BC=4,cos4G18=萼，则