高考数学一轮复习讲义 第1节 两个计数原理、排列与组合

第一节两个计数原理、排列与组合

课标解读考向预测

1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理

及其意义.在近几年的高考中，排列与组合考查的频率

2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原较高，常以社会热点问题为背景，考查考生

理分析和解决一些简单的实际问题.利用排列与组合知识解决问题的能力.预计

3.理解排列、组合的概念：能利用计数原理推2027年高考将会以小题形式单独考查排列与

导排列数公式、组合数公式.组合的应用问题或与统计概率综合命题.

4.能利用排列组合解决简单的实际问题.

必备知识强基础

5知识梳理

1.两个计数原理

（1）分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有〃，种不同的方法，在第2类方案中有种不

同的方法，那么完成这件事共有N=坦胆土上种不同的方法.

（2）分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步躲，做第1步有，〃种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么

完成这件事共有N=远mXn种不同的方法.

辨析：两个计数原理的联系与区别

原理分类加法计数原理分步乘法计数原理

联系都是对完成一件事的方法种数而言

每类方案中的每一种方法都能独立各个步骤都完成才算完成这件事（每步中的

区别一

完成这件事每一种方法都不能独立完成这件事）

各类方法之间是相互独立的，既不能

区别二各步之间是相互依存的，抉一不可

重复也不能遗漏

2.排列与组合

⑴排列与组合的概念

名称定义

并按照同一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素

排列

从〃个不同元素中取中取出m个元素的一个排列

出个元素作为一组,叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一

组合

个组合

⑵排列数与组合数

①从〃个不同元素中取出个元素的所有回不同排列的个数,叫做从〃个不同元素中

取出〃?个元素的排列数，用符号网A#表示.

②从〃个不同元素中取出，m〃忘〃)个元素的所有国不同组合的个数,叫做从〃个不同元素中

取出机个元素的组合数，用符号坦空表示.

(3)排列数、组合数的公式及性质

(CA；，一朝〃(〃一1)(〃--〃?+1)一("\•

AMn(.n—1)(〃―2)•••(〃-〃?+l)〃！*口

(2厅4一4；一,.(―一(〃，且

公式7A,”ni\一加(〃一〃?)！

特别地，c2=i

(I)0!=E.I；AZ=GII〃！.

性质

(2)C；'=C；吗C%="C名+CG

«常用结论

1.排列数、组合数常用公式

(l)A7=(〃f+1)A尸.

⑵A7=〃A；”L

(3)(〃+1)!—〃！=/?•/?!.

(4)四=刀田.

(5)C?+C」+…+CZH+C雷

2.解决排列与组合问题佗四大原则

(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置.

(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需

要排列的元素取出后，再进行排列.

(3)止难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题.

⑷先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元索多于位置，这时要先进行分组，再进

行分配.

诊断自测

题组一走出误区——判一判

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

⑵在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件

事.()

(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(4)若C=CH则x=〃?成立.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X

题组二回归教材——练一练

(1)(人数A选择性必修第三册6.1例3(1)改编)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少

买其中的一本，则购买方案种数为()

A.3B.6

C.7D.9

答案：C

解析：买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本，有1种方案.因此共有3+3+

1=7种购买方案.

(2)(人教A选择性必修第三册习题6.2T4(2)改编)现从6名学生干部中选出3名学生分另J参加

校内的资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是()

A.20B.90

C.120D.240

答案：C

解析：共有A宗=120种不同的选派方案.

（3）（人数A选择性必修第三册习题6.1T8（2）改编）3个班分别从5处风景点中选择一处游览,

不同的选法有种.

答案：125

解析：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步

乘法计数原理可得，不同的选法有5X5X5=125种.

（4）（人数A选择性必修第三册习题6.2TI3改编）某医院计划从3名医生和4名护士中任选3

人去外地培训，则至少有1名医生被选中的选法共有种.

答案：31

解析：至少有1名医生被选中的选法共有C勺一日=31种.

考点探究

考点一两个计数原理

例匕）（2026•福建福州模拟）某天小丁要从福州出发去厘门，已知当天的飞机有5班，动车

有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案种数为（）

A.12B.27

C.120D.600

答案：B

解析：已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共

有5+12+10=27种.故选B.

（2）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的

报名方法种数为（）

A.60B.120

C.180D.240

答案：B

解析：因为每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选

法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法.根据分步乘法计数原理，则不同的报

名方法种数为6X5X4=120.故选B.

（3）如图，用4种不同的颜色对A,B,C,D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一

种颜色，则不同的涂色方法种数为（）

A.24B.48

C.72D.96

答案：B

解析：按涂色顺序分四步：涂4部分时，有4种涂法；涂8部分时，有3种涂法；涂C部分

时，有2种涂法；涂。部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法有

4X3X2X2=48种.故选B.

(4)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成个无重兔数字的四位偶数.

答案：420

解析：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0,个

位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步.

第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的

任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，一位数字不能取与这三个数字重复的

数字.根据分步乘法计数原理，有3X4X5X4=240种取法；

第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的

任意一个偶数，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重

复的数字.根据分步乘法计数原理，有3X3X5X4=180种取法.

根据分类加法计数原理，共可以组成240+180=420个无重复数字的四位偶数.

(5)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正

方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对"共有

个.

答案：36

解析：在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成6X4=24个“正交线

面对“；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成6X2=12

个“正交线面对“，所以共有24+12=36个“正交线面对”.

通性通法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么；

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；

(3)弄清分步、分类的标准是什么；

(4)利用两个计数原理求解.

巩固迁移1.设/={],2,3,4},A与B是/的子集，若4nB={1,2},则称(A,⑻为一

个“理想配集”.若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配

集”有个.

答案：9

解析：对子集A分类讨论：当A是二元集{1,2}时，8可以为{1,2,3,4},{1,2,4},{1,

2,3},{1,2},共4种情况；当4是三元集{1,2,3}时，8可以为11,2,4},{1,2},共

2种情况；当A是三元集{1,2,4}时，8可以为{1,2,3},{1,2},共2种情况；当A是

四元集{1,2,3,4}时，8可以为{1,2},有1种情况.根据分类加法计数原理，共有4+2

+2+1=9种结果，即符合此条件的“理想配集”有9个.

2.如果一个三位正整数形如“〃口2〃3”满足小V〃2,且。2>〃3,则称这样的三位数为凸数(如

120,343,275等)，那么所有凸数的个数为.

答案：240

解析：若6=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,凸数为120与121,共2个；

若6=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则凸数有2X3=6个；若©=4,

满足条件的凸数有3X4=12个；…；若s=9,满足条件的凸数有8X9=72个.所以所有

凸数的个数为2+6+12+20+30+42+56+72=240.

3.现要将5种不同的花卉种植在如图所示的5个区域上，要求相邻的区域不能种植同一种花

卉，则不同的种植方法有种.

答案：420

解析：由题意，可以种植相同花卉的区域为2,4和3,5.若都不相同，贝ij有5X4X3X2X1

=120种；若只有2,4相同，则有5X4X3X2=120种；

若只有3,5相同，则有5X4X3X2=120种：若2,4与3,5分别相同，则有5X4X3=60

种.由分类加法计数原理如，共有120+120+120+60=420种不同的种植方法.

4.（2024•新课标II卷，14）在如图的4X4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个

方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数

之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

答案：24112

解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可

选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有I个方格可选，所以共有

4X3X2X1=24种选法.每种选法可标记为(mb,c,d),a,b,c,4分别表示第一、二、

三、四列的数字,则所有的可能结果为(11,22,33,44),(II,22,34,43),(11,22,33,

44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,

34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,

21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),

(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,

40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数

之和最大，为15+21+33+43=112.

考点二简单的排列问题

例2（1）中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和u型

场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中

一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种

数为（）

A.576B.288

C.144D.48

答案：B

解析：根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项

目，有At=6种情况，而4个项目之间的排法有A：=24种顺序，则有2X6X24=288种展

示方案.

(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成个无重复数字且不大于4310的四位偶

数.

答案：11()

解析：①当千位上排I或3时，符合题意的数共有A1A，A3个；②当千位上排2时，符合题意

的数共有A1AZ个；③当千位上排4时，形如40XX,42XX的偶数各有A!个符合题意，形

如41XX的偶数有AJA，个符合题意，形如43XX的偶数只有4310和4302这两个数符合题

意.故共有ALMA5+A!A3+2A|+ALM+2=IIO个数符合题意.

通性通法求解排列问题的常用方法

(1)对于无限制条件的排列问题，直接列出排列数计算即可.

(2)对于有限制条件的排列词题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时

一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元索或有限制条件的位直，对于分类过

多的问题可以采用间接法.

巩固迁移5.从3,5,7,11这四个素数中，每次取出两个不同的数，分别记为小儿则

共可得到£的不同值的个数为()

A.6B.8

C.12D.16

答案：C

解析：称的值的个数即为从3,5,7,11这四个数中任选2个数的排列数，即A彳=4X3=12.

考点三简单的组合问题

例3某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取

3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解：(1)从余F的34种商品中选取2种有Cj4=561种,

所以某一种假货必须在内的不同的取法有561种.

⑵从34种可选商品中选取3种有C%=5984种，

所以某一种假货不能在内的不同的取法有5984种.

⑶从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，

有Clo(%=21OO种,

所以恰有2种假货在内的不同的取法有210()种.

(4)选取2种假货有种，选取3种假货有Cis种，

共有CloC?5+C?5=2100+455=2555种，

所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

⑸从35种商品中选取3种有C本种，选取3种假货有Cfs种,因此共有C*—。5=6545—455

=6090种.

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

通性通法组合问题常有以下两类题型

(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”,

则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，

考虑逆向思维，用间接法处理.

巩固迁移6.(2023・新课标I卷，13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,

学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案

共有种(用数字作答).

答案：64

解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C1C1种方

案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C1C*种方案；第

三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修I门，有C3C1种方案.综上，不

同的选课方案共有ClCl+ClC3+Cri=64种.

考点四排列、组合问题的综合应用(多考向探究)

考向1相邻问题

例4(2026•福建泉州模拟)某单位安排7位员工在10月I日至7日值班，每天安排1人，每

人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则大同的安排方案种数为（）

A.1440B.1360

C.720D.960

答案：A

解析：把甲、乙捆绑在一是，相当于1个人，再与剩下的5人全排列，所以不同的安排方案

共有A执2=144（）种.故选A.

通性通法相邻问题的解题方法

元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个尢素“捆绑”为一个大元素与其余元

素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.

巩固迁移7.三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是（）

A.72B.144

C.240D.288

答案：D

解析：首先，选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A,这对夫妻有2种排法，

故有C，A名=6种排法，则现在共有5个位置，若这对夫妻在左数第一个位置，共有C1NA9=

8种情况，若这对夫妻在左数第二个位置，共有C1CJ=8种情况，若这对夫妻在中间位置，

共有QC1A9AW=16种情况，左数第四个和第二个情况一样，第五个和第一个情况一样，所

以三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法有6X（2X8+2X8+16）=288种.故

选D.

考向2不相邻问题

例5象棋作为一种占老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵

营，将.、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3人红色的“将”“车”“马”棋子与

2个黑色的“将”“车”棋子排成歹U，则同色棋子不相邻的排列方式有（）

A.120种B.24种

C.36种D.12种

答案：D

解析：先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有Ag种排法，3个红色棋子中间

有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，专用种排法，则同色棋子不相邻的排

列方式有A?A*=12种.故选D.

通性通法不相邻问题的解题方法

元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在

“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.

巩固迁移8.（2026.山东济南模拟）由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中

任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（）

A.60B.108

C.132D.144

答案：B

解析：先排3个奇数，有AS=6种排法，排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有

A：=24种排法，但此时（）放在首位的情况有用=6种，故满足条件的六位数有6X（24—6）

=108个.故选B.

9.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清

明”“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两

块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（）

A.24B.48

C.144D.244

答案：C

解析：根据题意，先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”“谷雨”排列，

有4个空，然后“清明"与''惊蛰”去插空，所以不同的放置方式有A执§用=144种.

考向3特殊元素（位置）问题

例限2026•广东佛山模拟）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、

丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，

则这5名同学的名次排列（无并列名次）种数为（）

A.12B.24

C.36D.48

答案：B

解析：依题意，排第1名，有C0种方法，排丁和戊，有A3种方法，排余下2人，有A3种方

法，所以这5名同学的名次排列（无并列名次）共有C」A执9=24种.故选B.

通性通法解决特殊元素、特殊位置问题的原则与方法

(1)原则：解“在”与“不在”这类有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置

入手，原则是谁特殊谁优先.

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置

入手时，先安排特殊位直，再安排其他位气.

巩固迁移10.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、

乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法种数为()

A.C?oA^B.C4A5

C.CjA§D.CjAi

答案：C

解析：先排1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出I种，有CA种选法，再排剩

余的瓶子，有A8种方法，故不同的放法共有C&A8种.故选c.

考向4分组、分配问题

例7(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分配方法

B.分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有90种分配方法

C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分配方法

D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有216()种分配方法

答案：ABC

解析：对于A,先从6本书中分给甲2本，有CW种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，

有C3种方法；最后的2本书绐丙，有C3种方法，所以不同的分配方法有C茨支孑=90种，A

正确.对于B,先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C才种方法；再分给甲、乙、丙三

人，所以不同的分配方法有CSS=9O种，B正确.对丁C,6本不同的书先分给甲、乙每人

各2本，有种方法；其余2本分给丙、丁，有知种方法，所以不同的分配方法有CgC3A，

=180种，C正确.对于D,先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有鬻•第

种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配万法有安•第・Aj=108()种，D

错误.

通性通法解决分组、分配问题的策略

（1）对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类

考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组

合问题.

（2）对于整体均分，分组后一定要除以A；；（〃为均分的组数），避免重复计数.

（3）对于部分均分，若有〃"且元素个数相等，则分组时应除以小！.

巩固迁移II.（2026•河北邢台模拟）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,。三

个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少安排1名志愿者，且

甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（）

A.72B.96

C.114D.124

答案：C

解析：将5名志愿者分为1,2,2,且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安

排方法有cl京AS+CIGA§=72种.将5名志愿者分为1,1,3,且甲、乙两名志愿者不安

排到同一个场地，则不同的安排方法有Ag+@©AS=42种.故不同的安排方法共有72+42

=114种.故选C.

课时作业

基础题（占比60%）中档题（占比30%）拔高题（占比10%）

题号123456789

难度★★★★★★★★★★

相邻与

不相

分步乘分组、不相

排列与涂色问邻、特不相邻组合与特殊元

考点法计数分配问邻、特

排列数题殊元素问题组合数素问题

原理题殊元素

问题

,可题

题号1()1112131415161718

难度★★★★★★★★★★★★★★★★★

分组、分类加分组、组合与不相分组、排列、分类加分组、

考点

分配问法计数分配问组合邻、特分配问组合问法计数分配问

题；特原理；题数；分殊元素题题的综原理题

殊元素分步乘类加法问题合应用

问题法计数计数原

原理理

:A级基础巩固练

一、单项选择题

1.一个火车站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同

的停放方法共有（）

A.84种B.48种

C.&种D.A?种

答案：D

解析：因为一个火车站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，

所以有闻种不同的停放方法.

2.甲、乙两位同学从6种:果外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相

同的选法共有（）

A.30种B.60种

C.120种D.240种

答案：C

解析：首先确定相同的读物，共有C&种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的

5种读物中选出2种进行排列，共有Ag种情况，根据分步乘法计数原理知，共有CjAg=120

种选法.故选C.

3.（2026.陕西西安模拟）用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域

（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（）

A.112种B.146种

C.192种D.168种

答案：D

解析：对1,4,5染色，有与种方法.若1和3同色，则不同的染色方法有3A：=72种；若

1和3不同色，则不同的染色方法有2X2/=96种.综上，不同的染色方法有72+96=168

种.故选D.

4.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生

不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）

A.30B.36

C.60D.72

答案：C

解析：解法一：分两种情况讨论：①若第一个出场的是易生，则第二个出场的是女生，以后

的顺序任意排，此种情况的出场顺序的排法种数为CJCJA^=36；②若第一个出场的是女生（不

是女生甲），则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，此种情况的出场顺序的排法和数为

CUU?=24,所以出场顺序的排法种数为36+24=60.故选C.

解法二：2位男生连着出场的排法种数为A$Aj=48,女生甲排在第一个的排法种数为Aj=24,

女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑除女生甲外四个人，将2位男生与其他

2位女生形成三个元素，持法种数为A以，=12种，因此出场顺序的排法种数为A?—（48+24

-12）=60.故选C.

5.（2026.湖北武汉模拟）某班组织文艺晚会，准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出，

要求4,4两个节目至少有一个被选中，且4,4同时被选中时，它们的演出顺序不能相邻，

那么不同的演出顺序种数为（）

A.1020B.1140

C.1320D.1860

答案：B

解析：4,8只被选中一个时，有2XC2A；=96O种；A,8都被选中时，有C4A?—2XAg）=

180种.故不同的演出顺序共有960十180=1140种.

6.如图，16颗黑色围棋子构成4X4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不

同的三角形的个数为（两个三角形中至少有一个顶点不同却认为是不同的三角形）（）

A.576B.528

C.520D.516

答案：D

解析：从16颗棋子中任选3颗的方法数为CM去掉有4颗棋子在一条直线上的10种情形

下的方法数1腔和恰有三颗棋子在一条直线上的4种情形下的方法数4c3即得可围成的不

同的三角形的个数为^6-10^-4^=516.

7.（2026・安徽六安模拟）六安市旅游资源非常干.富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选

择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船

只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的

乘船方式种数为（）

A.348B.288

C.360D.60

答案：A

解析：①若6个人乘坐3只船，先将4个大人分成2,I,1三组，有C3=6种方法，然后将

这三组安排到3只船上，有Ag=6种方法，再将两个小孩安排到3只船上，有3X3-1=8

种方法，所以共有6X6X8=288种方法;②若6个人乘坐2只船，共有WxAg=60种方法.综

上，不同的乘船方式共有288+60=348种.故选A.

8.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复

数字的五位数的个数为（）

A.96B.78

C.72D.64

答案：B

解析：根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是数字2,3,4,5这4个数

字中的一个，当万位数是数字3时，百位数不是数字3,符合要求的五位数有Aj=24个；当

万位数是数字2,4,5时，由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3X（Aj—A$）

=54个.因此共有54+24=78个符合要求的五位数.

二、多项选择题

9.（2026•黑龙江鸡西模拟）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（）

A.共有120种不同的排法

B.当2名教师相邻时，共有24种不同的排法

C.当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法

D.当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法

答案：AC

解析：对于A,3名学生和2名教师5个人进行全排列，共有AS=120种不同的排法，故A

正确；对于B,将2名教师看成一个整体，与3名学生全排列，有Aj种排法，2名教师内部

有Ag种排法，共有A3用=48种不同的排法，故B错误；对于C,3名学生全排列有AS种排

法，形成4个空位，2名教师插入4个空位，有蜀种排法，共有ASA3=72种不同的排法，

故C正确；对于D,从3名学生中选2名学生排在两端，有A3种排法，剩下3人全排列有

用种排法，共有A执$=36种不同的排法，故D错误.故选AC.

10.将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A,从C三个社区进行暑期社会实践活动，要

求每个社区至少安排一名志愿者，则下列说法正确的是（）

A.共有18种安排方法

B.若甲、乙被安排在同一社区，则有6种安排方法

C.若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法

D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法

答案：BD

解析：对于A,4名志愿者先分为三组，再分配到三个社区，所以安排方法种数为CiM=36,

A错误.对于B,甲、乙彼安排在同一社区，先从三个社区中选一个安排甲与乙，再把剩余

的2名志愿者分配到剩余的两个社区中，所以安排方法种数为C[A9=6,B正确.对于C,A

社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余的2名志愿

者分配到剩余的两个社区中，所以安排方法种数为仁用=12,C错误.对于D,甲被安排在

A社区，分两类：第1类，4社区安排了2名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择1名分

到A社区，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的两个社区中，安排方法有©A3种；笫2类，

4社区只安排了甲志愿者，此时剩余的3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，

安排方法有CSS种，所以安排方法种数为aA3+CgA9=12,D正确.故选BD.

11.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形A8CQ（边长为2个

单位长度）的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长

度，如果掷出的点数为2,…，6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度，一直

循环下去.某人掷〃次骰子后棋子恰好又回到点A处，则下列说法正确的是（）

DC

AB

A.若〃=2,则共有3种不同走法

B.若〃=2,则共有5种不同走法

C.若〃=3,则共有25种不同走法

D.若〃=3,则共有27种不同走法

答案：BD

解析：由题意知正方形A8CQ(边长为2个单位长度)的周长是8.当〃=2时，骰子的点数之和

是8,列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有(2,6),(3,5),(4,4),共3种组合，

掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确：当〃=3时,三次骰子的点数之和

是8,16,列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有(1,2,5),(1,3,4),(I,1,

6),(2,2,4),(2,3,3).(4,6,6),(5,5,6),共7种组合，前2种组合(1,2,5),(1,

3,4),每种组合可以排列出A§=6种结果，共有2A3=2X6=12种结果，其中(1,1,6),(2,

2,4),(2,3,3),(4,6,6),(5,5,6)各可以排列出3种结果，共有5X3=15种结果.根

据分类加法计数原理，知共有12+15=27种结果，故C错误，D正确.故选BD.

三、填空题

12.把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为.

答案：240

解析：由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有C扒4=240种不同的分法.

13.(2026•河北唐山模拟)9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌,2人只会跳舞，

其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人,3人唱歌，3人跳舞，共有种不同的选法.

答案：124

解析：只会跳舞的选0人，有Gcj=4种方法；只会跳舞的选1人,有@色色=60种方法；

只会跳舞的选2人，有CgC4c2=6O种方法，所以共有4+60+60=124种不同的选法.

14.(2026・四川泸州模拟)某班举行中国民族音乐晚会,晚会安排了1个吹奏节目,2个弹拨

节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹

奏节目排在最前或最后，则不同的排法共有种.

答案：144

解析：吹奏节目排在最前或最后，共有2种排法；剩余2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打

击乐节目，要求2个弹拨节目不能相邻，所以先排列非弹拨节目，共有A3=6种排法，且非

弹拨节目3个，形成4个空，再排列2个弹拨节目，共有AW=12种排法，所以除吹奏外，

排列方法共有6X12=72种，所以不同的排法共有2X72=144种.

:B级素养提升练

15.（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名问学参加某运动会的志愿者服务活动，有蒯译、

导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则下列说法正确的是（）

A.若每人都安排一项工作，则不同的安排方法数为45

B.若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法数为AgCl

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排I人，则这5名同学全部被安排的不同方

法数为（Cg©+CgC3）A$

D.每项工作至少有1人参加，甲、乙小会开车但能从事其他三项工作，内、J、戊都能胜

任四项工作，则不同的安排方法数为cicURcU5

答案：AD

解析：对于A,若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45