2027人教版高考数学复习讲义：第2节 用样本估计总体

【知识梳理】

1.百分位数

⑴定义:一组数的(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有

P%的数据不大于该值，且至少有(100-〃)％的数据不小于该值.

(2)确定方法:设一组数按照从小到大排列后为r,r,计算工叩％的值,如果/

不是整数,设/()为大于i的最小整数,取为p%分位数；如果/是整数,取

为P%分位数.

2.平均数、中位数和众数

(1)平均数

①定义:如果给定的一组数是X2,…，口,则这组数的平均数为石.

n

这一公式在数学中常简记为n

ni=i

②性质:一般地,利用平均数的计算公式可知,如果「工2,…，尤的平均数为元且

为常数，贝！Iax\+b,axz+b,...»ax„+b的平均数为.

⑵中位数

有奇数个数,且按照从小到大排列后为X|,X2,•♦•,X2n+l,则称为这组数的中

位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为川,也,则称

为这组数的中位数.

⑶众数

一组数据中,出现次数的数据称为这缜的众数

3.方差和标准差

⑴方差：如果箝M2,•…尤的平均数为"则方差可用求和符号表示为

性质:如果a,b为常数,则的+6,但+仇…,axn+b的方差为.

⑵标准差:方差的_________________称为标准差一般用s表示，即样本数据

2

…,X〃的标准差为S=-Z（X,-%）.

性质:如果4b为常数,则ax\+byax2+b,ax„+b的标准差为同s.

［常用结论与微点提醒］

1.若Xi,X2,…，X〃的平均数为X,那么〃7X|+。，〃!也+。，…，加的平均数为

2.数据xi,X2,…，X”与数据xi'=xi+a,X2,=X2-^-a,•••,xj=x〃+a的方差相等，

即数据经过平移后方差不变.

3.若xi,X2,x〃的方差为V,那么的+。axi+b,or〃+b的方差为42s2.

【诊断自测】♦概念思考辩析+教材经典改编

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.（）

（2）组数据的中位数必为其中个数.（）

（3）方差越大，数据越集中.（）

（4）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不

变.（）

2.（人教A必修二Pl81Tl原题）为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000

户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用

电量的平均数为5.5kW-h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（）

A.一定为5.5kWhB.高于5.5kWh

C.低于5.5kWhD.约为5.5kWh

3.（北师大必修一P170例3改编）为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成

绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的（）

A.平均数B.众数

C.方差D.频率分布

4.（苏教必修二P257Tl改编）已知一组数据1,3,2,5,4,则这组数据的标准差

为,25%分位数为.

考点一总体百分位数的估计

例1（1）（2025•河北名校联考）养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健

康饮食的重视和市场而禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速.如图为某小型养鸡场

2018〜2024年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图:

则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（）

A.45B.60

C.80D.85

（2）将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理

后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是

.（结果保留两位小数）

思维建模1.计算一组数据的第〃百分位数的步骤

更二^>—［按从小到人排列原始数据)

第~~［计算i="xp%］

若i不是整数,而大于i的比邻整数

人、「为j.则第p白分位数为第j项数据

L花，是整数，则第8'i分位数为第i项

与第(i+1)项数据的平均数

2.直方图中可运用面积和求第2百分位数或按下列方法计算：

(1)确定百分位数所在的区间口，b).

(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为入％,.%%,则笫〃百分位数为

*%-A%X(b-a).

fb°/o~fa%

训练1(1)(2025・郑州质检)数据6.0,7.4,8.0,8.4,868.7,8.9,9.1的第75百

分位数为()

A.8.5B.8.6

C.8.7D.8.8

(2)(2025・广州调研)某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的

众数、平均数、第一四分位数分别为方,孙为，则可，必力的大小关系是(注:

同一组中数据用该组区间中点值近似代替)()

AjC3<X|<X2

D.X1<^2<X3

考点二总体集中趋势的估计

角度1样本的数字特征

例2（1）（2024•新高考II卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新

型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表：

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)

频数61218

亩产量[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

频数302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻IT］所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

（2）（2025•南通调研）一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10,21,25,

35,36,40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）

A.25B.30

C.35D.40

角度2频率分布直方图中的数字特征

例3在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（单位:mm）,

得到样本的频数分布表如下：

纤维长度频数频率

[0,50)40.04

[50,100)80.08

[100,150)100.10

[150,200)100.10

[200,250)160.16

[250,300)400.40

[300,350]120.12

(1)在图中作出样本的频率分布直方图;

频率

神

11gill

a1(III

0.(W)7■।

I1(III

0.0()61111

I1|111

II(III

0.005

aIgill

Jill

0.(MH।I

•।g1(•

0.(K)3

I1|111

।।111

0.002।।1「11

•III

••

(HM)1aitill

iiIlli

5()1(M)1)2(H)25030()350

纤维长度/mm

(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并

对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计.

思维建模1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数

水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.

2.频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高的矩形底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和是用等的.

(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩

形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

训练2(1)某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随

机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全

体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组

区间的中点值作为代表）（）

().1()

().09

0.0K

().07

().06

().05

0.04

0.03

0.02

().01

12162()本数

A.中位数为6

B.众数为10

C.平均数为6.88

D.该校读书不低于8本的人数约为3600

（2）（2023•上海卷）国内生产总值（GDP）是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平

的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增

长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元却241亿元，且四个季度的GDP

逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为亿元.

考点三总体离散程度的估计

例4（2023•全国乙卷）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，

进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中

一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、

乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为由歹4=1,2,…，10）,试验结

果如下:

试验序

伸缩率

545533551522575544541568596548

Xi

伸缩率

536527543530560533522550576536

Zi=Xi-yi（i=1,2,…，10）,zi,Z2,…，zio的样本平均数为z,样本方差为s?.

⑴求z,52;

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率

是否有显著提高（如果z22则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙

工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

思维建模标准差（方差）反映了数据的离散