湖南长沙市望城区第一中学2026届高三下学期考前模拟考试（二）数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南长沙市望城区第一中学2026届高三下学期考前模拟考试（二）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A2.已知复数，则（）A.2 B. C. D.【答案】C3.设向量，满足，，则（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】A4.若直线与圆相切，则m的值为（）A.21或 B.或1C.5或 D.或15【答案】D5.已知函数的图象是由曲线上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移个单位长度后所得，则（）A.-1 B. C. D.1【答案】D6.已知数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】A7.定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（）A.是奇函数 B.是偶函数C. D.【答案】C8.已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（）A. B. C. D.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD10.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（）A.甲从M到达N处的方法有15种B.甲从M必须经过到达N处的方法有6种C.甲、乙两人在处相遇的概率为D.甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为【答案】ACD11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（

）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积大于4【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】13.已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________【答案】14.如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：思维任务类型信号同步性合计信号同步信号不同步逻辑推理4258100创造性想象2872100合计70130200（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．（2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率，思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即；（2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关，根据表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关．16.在直三棱柱中，，，，，.（1）若平面，求的值；（2）若二面角与二面角的大小相等，求的值．解：（1）连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，，又是的中点，故是的中点，.（2）因为二面角与二面角的大小相等，所以二面角是二面角的大小的一半，法一：几何法过点在平面内作，垂足为，连接、，，，，、平面，平面，平面，，又，，、平面，平面，又、平面，，，二面角和二面角的平面角分别为、，分别记作和，则为锐角，且，因为，，，故，所以，，即，解得，又，解得，所以．法二：空间向量法在直三棱柱中，平面，，以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则、、、、，则，，，易知平面的一个法向量，设平面与平面的一个法向量分别为、，设二面角与二面角的平面角分别为、，且，则，取，可得，，取，可得则，，由，即，因为，解得.17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求A.（2）已知.（i）若的面积为，求c；（ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值.解：（1）由，可得：，所以.因为，所以，则，解得.（2）（i）根据三角形面积公式，可得，即，得.再根据余弦定理，可得，即.由可得，代入得，即，解得，则.（ii），且，点Q是的中点，在中，由余弦定理，可得，即，如图，在中，设，则，，，令，则代入得，解得，代入，设，，则，令解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故当时，，又，故的最小值为.18.已知函数．（1）若在处的切线方程为，求的值；（2）当时，，总存在，使得成立，求的取值范围；（3）当时，有三个不同零点，求的取值范围．解：（1）由函数，可得，则，所以，因为在处的切线方程为，可得，解得，将代入切线方程，可得，即，解得，所以.（2）当时，，因为函数的图像象开口向上，对称轴为，所以，又因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，可得，所以，则，解得，所以的取值范围为.（3）当时，可得，因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根，即与的图象有三个交点，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，且时，；时，，因为与的图象有三个交点，所以，所以实数的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．（i）求的取值范围；（ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积．解：（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，，当取最大值时，的面积取得最大值时，，时，取最大值，此时，或，的最大面积为，的最大面积为，，此时，则，，，又，联立，解得，椭圆的标准方程；（2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意，