内蒙古自治区包头市2025-2026学年第二学期高二年级期末教学质量监测数学试卷（试卷+解析）

试卷类型：A

绝密★启用前

2025-2026学年度第二学期高二年级期末教学质量监测试卷

数学

注意事项:

1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试

卷满分150分，考试时间120分钟.

2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,-0)，则z的共挽复数彳二(

)

A.1+73/B.1-V3iC.—l+5/JiD.-1-V3i

2.已知集合力={-1,0128},8=卜|阪=同，则4n4=(

)

A.{0,1}B.1—1,0,1}c.{0,2,8)D.{0,1,2,8}

3.设瓦B为单位向量，且a，则2+B=()

A.IB.V2C.D.2

sin(a+B)

0nItana

4已知忑=3,则由)

(a-B)

1

A.-B.C.2D.3

3

5.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4x1米接力赛，其中

甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为()

A.12B.24C.30D.36

6.长方体的一条体对角线与它在一个顶点处的三个面所成的角分别为。，则()

A.sin2/^+sin2/?+sin2/=1B.sin4-sin2/74-sin2/=2

C.COS2<7+cos2/?+cos2/=3D.cos2«+cos2/?+cos2/=1

7.设p,。分别为圆d+3—6）2=2和椭圆器+V=1上的点，则p,0两点间的最大距离是

A.5V2B.V46+V2C.7+0D.672

8.若存在c/eR旦QWO,对任意的xeR,均有/（》+。）</（工）+/（。）恒成立，则称函数/*）具有性

质P已知：/：/（1）单调递减，且/（x）>0恒成立;%：/。）单调递增，存在1<0使得〃/）=0,

则是/（对具有性质P的充分条件是（）

A.只有名B.只有%

C.%和%D.4和%都不是

二、选择题：大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线。：〃苏+〃）/=1.（）

A.若/心〃>0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃?=〃>0,则。是圆,其半径为

C.若〃?〃〈（），则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若〃尸0,〃>0,则C是两条直线

100100

10.一组样本数据（如凹），*{1,2,3…,100}.其中»j=2x1（）5,2%=970,求得其经验回归方程

1=11=1

为：夕=-0.02工+4,残差为e.对样本数据进行处理：X；=\nxit得到新的数据（也乂），求得其经验回

归方程为>一0.42£+&,其残差为我，自,a分布如图所示，且3〜N（0,b；）,力〜必0后）则（）

图1图2

A.样本（七,乂）负相关B.4=49.7

C.D.处理后的决定系数变大

II.已知函数/（x）=hu-cosx,将/（x）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列上｝,对于

正整数〃，则下列说法中正确的有（）

A.（〃_；）兀+g卜B.x+1-x<n

C.｛|相一〃琲为递减数列D./（川.1）>b（4〃_1）兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，若q=-3,牝=5,则S6=.

13.袋中有2个红球、5个白球，现随机不放回地逐个摸出.设X为“首次出现某一种颜色的球被全部摸出''

时所需的摸球次数，则X=3的概率为.

14.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器/BC-45G,其中盛有一定体积的水,当底面

力3c水平放置时，水面高为与，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几

4

何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的

数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取40个作为样区，工作人

员将区域内的地块按植被情况分为高覆盖地块、低覆盖地块两类，统计每块样区野生动物数量为，较多”或，较

少”，统计结果如下

高覆盖地块低覆盖地块合计

20

野生动物数量较多146

野生动物数量较少81220

合计221840

(1)依据小概率值a=0.05的独立性检验，判断是否有充分证据认为“该地区此种野生动物数量多少与地

块植物覆盖面积高低存在关联”;

(2)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为尖高样本的代表性以获得该地区这种野生

动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

n^ad-bcy

(注：工2=,其中〃=。+/>+c+d)

(a+〃)(c+4)(。+()(/?+△)

尸(/*)0.1000.0500.0100.0050.001

ka2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函数/(x)=空*+1,aGR.

3'+1

(1)当。=一2时，求证：函数/(x)是奇函数:

(2)当一2时，求/(1)+万可的最小值.

17.在△/8C中，角力、B、Cf勺对边分别为。、b、C,已知c=btanC.

(I)若B为锐角,试判断△4B。的形状；

(2)若8为钝角，求siM+sinC的最大值.

18.已知函数/(x)=a42-3QMHY,a>0.

CD当a=l时，求曲线N=f(x)在(1J⑴)处的切线方程：

(2)讨论/(x)的零点个数；

(3)当a>2时,证明：/(x)>2x.

19.某款游戏预推出一项皮肤抽卜活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案.方案一：没有

保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为白：方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为〃2,若连续9次未抽

中，则第10次必中新皮肤.已知O<P2Vpi<1，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时

的累计花费为X（元），Y（元）.

（1）按照方案一，小明先抽取三次，没有抽中皮肤，则他第四次抽中皮肤的概率是多少？

（2）设第〃次首次抽中皮肤，求P（X=10左），P（r=10A/）：

（3）若Pi=2p2=0.1,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.（参考数据：

0.95晨0.63，O.9510«0.60.）

试卷类型：A

绝密★启用前

2025-2026学年度第二学期高二年级期末教学质量监测试卷

数学

注意事项：

1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试

卷满分150分，考试时间120分钟.

2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,-则z的共挽复数彳二()

A.1+73/B.1-V3iC.-1+后D.-1-V3i

【答案】C

【解析】

【详解】由复数z对应点坐标(一1,一百)，得z=—1-6，

根据共挽复数定义，z=-l+V3i.

2.已知集合/={-1,01,2,8},8=卜|加二X卜则4n3=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,2,8}D.{0,1,2,8}

【答案】B

【解析】

【详解】对等式孤=工两边同时立方可得工二/，移项整理得『二0，

因式分解为x(l-x)(l+x)=0,解得x=0或x=—l或x=l,因此8={-1,0,1}.

又•..集合力={T0,1,2,8},4c4={-1,0,1}.

3.设为单位向量，且a-b=V2,则4+B卜()

A.IB.72C.73D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量模的关系得万.$=(),再计算彳+B即可.

【详解】因为瓦5为单位向量，所以同=B二1,

因为平方得同2+1『一2小3=2,即。3=0,

所以M+二同2+,『+2)3=2,即B++JI.

故选:B.

sin(a+/?)tana

4.已知=3,则由)

sin(a—夕)

B・TC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.

【详解】由于sin(a+4)=sinacos/?+cosasin/7,sin(a-/)=sinacos/?-cosasin方，

那么sinacos夕+cosasin夕=3sincrcos/7-3cosasin/y,

4cosasin/7=2sin<zcos/7,贝ij-------=2,

tan夕

故选：C.

5.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4x1米接力赛，其中

甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为()

A.12B.24C.30D.36

【答案】D

【解析】

【分析】按甲跑第1棒和笫2棒分两类讨论，先确定乙的可选位置，再对剩余棒次从其余4名学生中选2

人排列，求和得总方案数.

【详解】当甲跑第1棒时：乙可选择第2棒或第4棒，共A；=2种安排；

剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为A；=4x3=12,

此类方案总数为2x12=24；

当甲跑第2棒时：乙只能选择第4棒，共1种安排；

剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为A；=12,

此类方案总数为1x12=12；

总方案数为24+12=36

6.长方体的一条体对角线与它在一个顶点处的三个面所成的角分别为/，了,则（）

A.sin2a+sin2/?+sin2/=1B.sin2«4-sin2/?+sin2y=2

C.cos2«+cos2/7+cos2/=3D.cos2cr+cos2^+cos2/=1

【答案】A

【解析】

【详解】如图，设长方体的长、宽、高分别为。力,C,体对角线长为

17a2+/+H,

因体对角线在平面44Go上的射影为。声，可取8=£）30内，则sina=：cosa二"

体对角线。乃在平面/0Q4上的射影为可取白二£）49出，则sinZ?=2cos力二包上乙

7/

体对角线。/在平面OCGQ上的射影为QC,可取，则sing二g,cosg=也£

则sin%+sin%+sin2y=（1）+（：+亍）=。+；+』=*=\,

、、，2（/+加+。2）

cos~a+cos'/?+cos~/=-----------------=2•

7.设尸,。分别为圆X2+（＞一6）2=2和椭圆器+/=1上的点，则p,Q两点间的最大距离是

A.5应B.V46+V2C.7+0D.6正

【答案】D

【解析】

【分析】

转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.

【详解】设。（范团，圆心为C（0,6）,

2

贝|J|℃|二荷+（），_6）2=^10-10/+（y-6）=J-9y2—12y+46,

2

当了二一§时，取到最大值5&，二归。|最大值为5夜+忘=6人.

故选:D.

本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的

最值加（或减）半径得出结论.

8.若存在QER且。工0,对任意的XEH,均有/（x+〃）v/（x）+/（a）恒成立，则称函数/（x）具有性

质尸，已知：名：/（均单调递减，且〃x）＞0恒成立；%：/（外单调递增，存在/＜（）使得/（%）=0,

则是/W具有性质P的充分条件是（）

A.只有%B.只有%

C.%和%D./和%都不是

【答案】C

【解析】

【分析】对于名,当。>0,根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得

/(x+a)</*)+/(〃)成立；对于%,取〃二.%同理可得出结论.

【洋解】名：当。〉0,J\a)>0,因为函数/(X)单调递减，

所以/(X+〃)</*)</(》)+/⑷

即/(X+4)</a)+/(〃)，存在。>0,

当满足命题/时，/(X)具有性质P.

12：当。=%<0时，f(a)=0,

因为函数/(X)单调递增，

所以f(x+a)<f(x)=f(x)+f[a),

即f(x+a)<f(x)+f(a),

存在。<0,当满足命题%时，/(x)具有性质P.

综上可知命题名、%都是具有性质产的充分条件.

故选：C

本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推

理能力，属于中档题.

二、选择题：大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知曲线C:〃渭+〃/=]()

A.若〃?>〃>0,则。是椭圆，其焦点在歹轴上

B.若〃尸心0,则C是圆,其半径为«

C.若〃〃?<0,则。是双曲线，其渐近线方程为y=

D.若〃尸0,〃>0,则。是两条直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合选项进行逐项分析求解，〃?>〃>0时表示椭圆，〃?=〃>()时表示圆，相〃<0怔表示双曲

线，加=0,〃>0时表示两条直线.

2，

二+工

【详解】对于A,若〃则〃7—+町？=i可化为，十।

mn

因为〃?>〃>0,所以一<一,

mn

即曲线c表示焦点在y轴上的椭阅，故A正确：

对干B,若m=w>0,则加/+ny2=1可化为x24-y2=—,

n

此时曲线。表示圆心在原点，半径为YE的圆，故B不正确；

n

,+Z=i

对于C,若加〃<0,贝+〃/=1可化为11,

tnn

此时曲线C表示双曲线，

由掰少2=0可得歹=±/一'1,故c正确；

对于D,若〃7=0,〃>0,则mx2+ny2=1可化为二一，

n

y=土显,此时曲线。表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素

养.

100100

10.一-组样本数据（看,乂），屹{1,2,3…,100}.其中WX=2xl（）5,£乂二970,求得其经验回归方程

/=1/=1

为：?=-0.02x+4,残差为令.对样本数据进行处理：X：=l叱，得到新的数据（X/J,求得其经验回

归方程为夕=—0.42/+4,其残差为4,自分布如图所示，且a~N（0,b：）,右~二（0,8）则（）

图1图2

A.样本（茗，乂）负相关B.4=49.7

C.D.处理后的决定系数变大

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据回归方程斜率的正负即可判断相关性B选项，利用回归直线过样本中心点即可求出

截距；C、D选项，借助残差图的波动程度判断方差大小与拟合效果即可.

【详解】由经验回归方程?=-0.02x+4中斜率—0.02<0,可知样本（4必）负相关，故A正确；

1001(K)

因为样本均值分别为-Za2X105。s3-21=丝=9.7

x=——=------=2x10,v=

100100100100

由样本中心在经验回归直线上，代入经验回归方程：9.7=-0.02X2X103+^,,

解得4=49.7,故B正确；

由残差分布图可知，图1中残差[的分布比较分散，波动较大；图2中残差日的分布比较集中，波动较小.

因为方差反映数据的离散程度（波动大小），所以故C错误；

决定系数代用于刻画回归模型的拟合效果，代越大，拟合效果越好.

由图可知，处理后的残差6波动更小，说明残差平方和更小，模型拟合效果更好，因此决定系数变大，故D

正确。

11.已知函数/（x）=lnx-co&x,将/（x）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列区｝,对于

正整数〃，则下列说法中正确的有（）

A.[〃-5）兀+兀B,X+1-X<n

C.值一〃兀|｝为递减数列D./（»）>*〃；），

【答案】ACD

【解析】

【分析】求导，把极值点问题转化为方程零点问题，利用sinx的符号和单调性，结合零点存在定理判断选

项A；利用反例法判断选项B；设4=|七-〃R,利用诱导公式化简求出sin4进而判断单调性,

Xn

判断选项C：先判断奇数项为极大值点，进而判断右侧单调性，结合右端点函数值计算，判断选项D.

【详解】函数/(x)=hu-cosx的定义域为(0,+8),求导得/'(x)=2+sinx,

极值点满足/'(x)=，+sinx=O,即sinx=—，<0,故仅在sinx<0的区间内有解，

XX

且每个长度为兀的半周期区间内恰有一个极值点，是/'(X)在(O,T8)上的变号零点，

即为函数y=sinx与y=的图象在(0,+8)上交点的横坐标，

结合图象可知，当〃为奇数时，y=sinx在区间内单调递减,

(1))

f〃+不兀<0,故区间内存在唯一零点;

(1(1A

当〃为偶数时，在区间再〃+-兀内，y=sinx在区间内单调递增,

2)1

且如一川<0,

兀>0,故区间内存在唯一零点;

一(11(11

故每个区间内存在一个极值点当，满足n--n<xn<〃+彳兀，故A正确;

相邻两个极值点中，偶数项与下一个奇数项之间间隔一个sinx>0的区间,

传,2小中怎

€

例如超则X3-X2>371-271=71,

故与+i一吃<71不恒成立，故B错误;

设4=1居一同，

当〃为奇数时,nTiyHTi卜故与=/m+4,4,G

当〃为偶数时，相£〃兀一g,〃兀,故x"二〃兀一""&£0,g

^1

联立sinx”=一一,

当〃为奇数时，sin(〃兀十"“)一一sind“----,故sind“—-

Xnxn

当〃为偶数时，sin（〃兀-d”）二-sind”=---,故sind”=一；

故对于〃wN*，

由于｛z｝严格递增，故,严格递减，即｛k“-•〃兀|｝为递减数列，故C正确;

X2.T为奇数项极值点，对应位置（2〃_1）兀＜.%-产（2〃_1）兀+,二（4.；）兀

在;2K左侧附近，/。）＞°，函数单调递增；在,%t右侧附近，r（x）＜o,函数单调递减;

故工2”-1是极大值点，/（X）在工21，一----上单调递减：

4

由单调性可知/（工2〃-1

/(x)=Inx-cosx,其中cos2〃兀--

2

故/（%,1）＞足,故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛《｝的前〃项和，若％=-3,%=5,则$6=

【答案】

12

【解析】

【分析】先通过等差数列通项公式求出公差4,再代入前〃项和公式计算§6.

【详解】设等差数列｛凡｝的公差为d,则%=q+(〃-1"二一3+(〃一1”，

所以%=-3+(5-1”=-3+44,又生=5,所以一3+41=5,解得d=2,

6x5

所以$6=6x(-3)+-^-x2=-18+30=12.

13.袋中有2个红球、5个白球，现随机不放回地逐个摸出.设X为“首次出现某一种颜色的球被全部摸出''

时所需的摸球次数，则X=3的概率为.

【答案】—

21

【解析】

【分析】根据题意分析满足X=3时的摸球序列，采用分步乘法计算两类情形的概率后相加即可.

【详解】由题意得X=3表示第3次摸球时，首次出现某一颜色的球全摸出，

袋中有2个红球、5个白球，则白球不可能3次内全摸出，

仅可能2个红球在第3次被全摸完，且第3次摸到的是第2个红球，

故满足X=3的摸球序列有两类：

2511

①红、白、红：概率为［=—x—x—=—,

76521

5211

②白、红、红：概率为4=亍、不、m=天，

、112

故P(zX=3)=——+——=——.

'7212121

14.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器ABC-4片G，其中盛有一定体积的水，当底面

川5C水平放置时，水面高为匕，当侧面水平放置时(如图)，容器内的水形成新的几何体.若该儿

4

何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为.

【解析】

S△CQE、C]DC\E、1

【分析】根据体积求出一^^可t得十一了，设正方形/“用4外接圆圆心为a，取

'△AB©3blC/14

r=-AB=2y[2^设矩形QE&A外接圆圆心为。,，求出心=1。也，设外接球的球心为。，外接球

22

半径七利用勾股定理可得答案.

【详解】鼠=；x4x4x争卜5五Jg=；X4X4X*X4=165如图,

当侧面水平放置时，水平面与8c,4C,4G，4G分别相交于

点D,E,。，片，则平面QEG。//平面844£,

x

七禺片-CQK=16>/J-15>f3=y/3=S△?)⑥4,'S△c、D区=,

,：S.c=4瓜:.5aC|D,£|=—,

”4S：16

C.D.C,E,1

•••苏=安=公，即CQ|=Cg=A&=1,

Cj/jj4

由G到44的距离为2,得A到的距离为3x2>/3=—»

42

设正方形外接圆圆心为G，半径为4，则八一也33一20，

2

设矩形。E&A外接圆圆心为。一半径为々，则r,=1〃E='x"77=姮;

-222

设几何体力44。&的外援球的球心为0,外接球半径R,

球心。的位置可能有2种情况，如图，

。02+/;2=氏2（OO2+r2=R2

则'（a。+乎］+?=及…或.（孚二心’

'002+8=产1ao2+8=R2

由J30Y17•，得无解；由上36Y17，得R'g，

0]0+—\+y=^\--010+宁"3

故外接球表面积为4兀火2=坐.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的

数最，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取40个作为样区，工作人

员将区域内的地块按植被情况分为高覆盖地块、低覆盖地块两类，统计每块样区野生动物数量为，较多”或'较

少”，统计结果如下

高覆盖地块低覆盖地块合计

20

野生动物数量较多146

野生动物数量较少81220

合计221840

（1）依据小概率值a=0.05的独立性检验，判断是否有充分证据认为“该地区此种野生动物数量多少与地

块植物覆盖面积高低存在关联

（2）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为遑高样本的代表性以获得该地区这种野生

动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

n(ad-be)2

(注：/2=,其中〃=a+6+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p（炉之Q0.1000.0500.0100.0050.001

ka2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）依据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据认为该地区此种野生动物数量多少与地

块植物覆盖面积高低存在美联.

（2）更合理的抽样方法是分层抽样.

理由如下：

由干各地块间植物覆盖面积差异很大，采用分层抽样可以将地块按植物覆盖面枳的高低分为两层，分别进

行抽样.这样可以保证样本中各类地块的比例与总体一致，从而减小抽样的误差，提高样本的代表性，获得

更注确的估计.

【解析】

【分析】（1）根据列联表计算/统计量，与临界值进行比较，从而得出结论：

（2）根据分层抽样的特点：即当总体中各层存在明显差异时，分层抽样能更好地保证样本的代表性，从而

选择分层抽样.

【小问1详解】

根据列联表数据，计算/的观测值：

/二一33—=40x（14x12-6x8）-=5760g3636<3841>

（Q+Z>）（c+d）（a+c）3+"）20x20x22x181584

所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据认为该地区此种野生动物数最多少与地块植物覆

盖面积高低存在关联.

【小问2详解】

略

7+2

16.已知函数/"）=+/，Q£R.

3、+1

（1）当。二一2时，求证：函数/（x）是奇函数;

一2时，求/0）+胃可

(2)当的最小值.

（一2）.3%+2

【答案】（1）当。=-2时，/（人）=）3J］一十1'定义域为R，

丁+

因为/(x)+/(r)=h^t2+x3(2)2?=(-2).3-+2+(-2)+2.y=o>即

3-x+13、+11+3'

/(r)=-/(')，

所以函数/（x）是奇函数

⑵2百

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明.

（2）利用基本不等式求和的最小值.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

由函数解析式可得

々♦3+23_3a+6_3(。+2)

/0)=+1——

3+144

@十2/&

_p3_—+2x3

/(-9==

3"+14

1+13十1

3

/、13（〃+2）4

得川）+7Pp1+力，由。＞2得"2＞。,

根据基本不等式，3（』+2）+j22-25

4a+24a+2

当且仅当3（"+2）=/,即叵一2时，/（I）।

〃_］）取到最小值2JL

4。+23

17.在△48C中，角4、8、C的对边分别为。、b、。，已知c=btanC.

（1）若4为锐角，试判断△力的形状;

（2）若A为钝角，求sin/+sinC的最大值.

【答案】（1）直角三角形;

9

（2）

8

【解析】

【分析】(1)由题意可得B二三-C,即有台+。二色，由三角形的内角和，求得力二三，即可得答案;

222

(2)由8为钝角，sin^=cosC,可得5=]+C,从而得力=]-2C,0＜C＜^,从而得

sinJ+sinC=-2；sinC--^)2+1,由三角函数及二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

因为。=btan。，

即sinC=sinBtanC=sin8•包£_,

cosC

又因为sin。。。，所以sin4=cos。＞0,

所以CwO'])'

又因为BE(。,]

所以sin8=cosC=sinU-C,

12）

所以B=2—C,所以B+C=工，

22

7T

所以/=7t-（B+C）=],

所以△/BC为直角三角形；

【小问2详解】

因为8为钝角，由（1）可知sin8=cosC,

即sin8=sin—+C,

（2）

jrjr

所以8=5+。，则/=兀-（4+。）=5-2。，

7T

又因为0＜/＜一，

2

7T7T71

即0＜，—2C＜一,解得0＜。＜一，

224

兀

M

-

2

9

+

-

8

，

nC〈也

0<si

所以

四，

<C<

因为0

2

4

2

9

a

1A

（

1

二，

大值

得最

+2取

-

n