2026-2027学年河北省邯郸市永年区第二中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省邯郸市永年区第二中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间四边形PABC中，BP+CA−A.AP B.PC C.AB D.CP2.直线x−3y+1=0的倾斜角为A.30° B.45° C.60° D.90°3.设x，y∈R，向量a=(1,x,y)，b=(2,−4,2)，a//b，则A.4 B.5 C.6 4.已知直线l1：y−m=12(x−t)与直线l2：A.2 B.12 C.−2 D.5.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量为s=(1,1,−b)，平面α的一个法向量为n=(1,2,3)，若直线l与平面α平行，则b=(

)A.−1 B.1 C.2 D.36.经过点P(−2,0)作直线l，若直线l与连接A(2,4),B(1,−3)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A.[33,1] B.(37.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,A.16 B.15 C.568.已知向量AB=(4,−1,0)，AC=(0,3,0)，AS=(−3,1,−4)，则三棱锥S−ABC的体积为A.2 B.4 C.6 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：2x−6y+3=0，则下列说法正确的是(

)A.直线l在y轴上的截距为−32 B.直线l与直线l1：x−3y+1=0平行

C.直线l的一个方向向量为n=(2,6) D.直线l与直线10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为A.EF//A1B1

B.EF//平面ABCD

C.EF⊥CC11.已知O是边长为22的正方形ABCD的中心．点E，F分别是AD，BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D−AC−B，以下说法正确的是(

)A.∠EOF=60° B.EF的长度为6

C.异面直线OE，BC所成的角是60° D.点D到平面EOF的距离2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若过两点A(2,−m)，B(m,1)的直线的斜率为12，则直线的方程为

．13.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB14.如图，在二面角α−l−β的棱上有两个点，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，当AB=4,AC=6,BD=8,CD=217时，则四面体ABCD外接球的半径为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知点A(−4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(−3,0)，

(1)试判断直线AB和直线CD的位置关系；

(2)试判定四边形ABCD的形状．16.(本小题15分)

已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1如图所示，其中∠DD1C1=∠ADD1=∠ADC=120°，AC，BD交于点O，点E在线段B1C1上，且B1E=12C1E，点F，G分别是线段AA1，DC的中点，设DA=17.(本小题15分)

已知点A(3,4)，求下列直线的方程：

(1)求经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线的方程；

(2)求经过点A，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程．18.(本小题17分)

如图，已知三棱锥O−ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

(1)求异面直线EB与AC所成角的余弦值；

(2)求点E到面ABC的距离；

(3)求二面角E−AB−C的平面角的余弦值．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，二面角P−BC−A的大小是45°，E、G分别是PC、PA的中点，EF⊥PB交PB于点F．

(1)求证：D、E、F、G四点共面；

(2)设Q是线段AD的中点，求直线FQ与平面DFG所成角的正弦值．

(3)线段PA上是否存在点M，使得三棱锥M−PBC体积为1；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】x−2y+6=0

13.【答案】−3

14.【答案】815.【答案】AB/​/CD；

四边形ABCD为直角梯形

16.【答案】解：(1)连接EG，AG，如图所示：

OE=OC+CE=12AC+CC1+C117.【答案】解：(1)①当直线不过原点时，设直线方程为xa+yb=1，且a=2b，即x2b+yb=1，将A(3,4)代入，

可得32b+4b=1，解得b=112，则直线方程为x11+y112=1，化简可得x+2y−11=0；

②当直线过原点时，满足在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，

此时直线方程为y=kx，将A(3,4)代入，可得k=43，化简可得直线方程为4x−3y=0，

所以所求直线方程为4x−3y=0或x+2y−11=0；

(2)①当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为xa+yb=1，则3a+4b=1|a|=|b|，解得a=7b=7或a=−1b=1．

若a=7b=718.【答案】解：(1)建立空间直角坐标系，如下图所示：

E(0,1,0)，B(2,0,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，

EB=(2,−1,0)，AC=(0,2,−1)，

|cos<EB,AC>|=|EB⋅AC||EB|⋅|AC|=25×5=25，

即异面直线EB与AC所成角的余弦值为25；

(2)AB=(2,0,−1)，AC=(0,2,−1)，AE=(0,1,−1)，

设平面ABC的法向量n=(x,y,z)，

可得AB⋅n=2x−z=0AC⋅n=2y−z=0，令x=1，则n=(1,1,2)，

设点E到平面ABC的距离为d，

则19.【答案】解：(1)证明：∵底面ABCD是正方形，则BC⊥CD，

又侧棱PD⊥底面ABCD，则BC⊥PD，CD⊥PD，CD∩PD=D，

∴BC⊥平面PCD，则BC⊥PC，二面角P−BC−A的平面角为∠DCP=45°，

∴PD=CD=2，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，G(1,0,1)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，

∴DG=(1,0,1),DE=(0,1,1)，PB=(2,2,−2)，

设平面DGE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DG=x+z=0n⋅DE=y+z=0，取n=(1,1,−1)，

设PF=λPB，则F(2λ,2λ,2−2λ)，

∴EF=(2λ,2λ−1,1−2λ)，又∵EF⊥PB，

则EF⋅PB=2×2λ+2(2λ−1)−2(1−2λ)=0，∴λ=13，

则F(23,23,43),E