清华大学《金融工程》课程期中考试卷(含答案)

清华大学《金融工程》课程期中考试卷(含答案)一、单项选择题（每题3分，共30分）1.下列关于无套利定价原理的说法，错误的是（）。A.无套利定价的前提是市场不存在套利机会B.无套利定价得到的是资产的相对价格C.无套利定价仅适用于完全市场D.风险中性定价与无套利定价具有等价性2.假设当前时刻为t，无收益标的资产的即期价格为St，远期合约到期日为T，交割价格为K，无风险连续复利年利率为rA.SB.SC.KD.Ft−K3.关于商品期货的持有成本模型，下列说法正确的是（）。A.持有成本仅包括资金成本和存储成本B.便利收益为正时，期货价格一定低于现货价格C.当市场处于反向市场时，便利收益大于持有成本D.金融期货的便利收益通常为正4.沪深300指数当前点位为4000点，年股息率为2%（连续复利），无风险年利率为4%（连续复利），则6个月期沪深300股指期货的理论价格约为（）点。A.4039.8B.4040.2C.4080.5D.4122.15.若欧洲美元期货的报价为96.50，则其对应的3个月期LIBOR年利率为（）。A.3.5%B.4.5%C.6.5%D.9.65%6.用债券组合法对“支付固定利率、收取浮动利率”的利率互换多头定价时，其价值等于（）。A.浮动利率债券价值-固定利率债券价值B.固定利率债券价值-浮动利率债券价值C.固定利率债券价值+浮动利率债券价值D.各期远期利率协议价值的差额7.关于货币互换与利率互换的差异，下列说法正确的是（）。A.利率互换需要交换本金，货币互换不需要交换本金B.利率互换通常只交割利息净额，货币互换通常全额交割利息C.货币互换不能用远期合约组合法定价，利率互换可以D.两者的信用风险均仅来自利息差额的违约8.某投资者买入一份欧式看跌期权，执行价格为50元，期权费为3元，到期时标的资产价格为45元，则该投资者的到期净利润（不考虑交易成本）为（）元。A.-3B.2C.5D.89.对于无收益资产的欧式期权，若当前股价为50元，执行价格为55元，无风险连续复利年利率为4%，6个月期看涨期权价格为2元，则相同期限、相同执行价格的看跌期权价格约为（）元。A.5.9B.6.2C.7.0D.8.110.用一步二叉树对无收益资产的欧式看涨期权定价，当前股价为60元，1年后股价可能上涨20%或下跌20%，执行价格为60元，无风险连续复利年利率为5%，则该期权的价格约为（）元。A.6.5B.7.2C.8.1D.9.0二、判断题（每题2分，共10分）1.远期价格是指远期合约本身的市场价值。2.当标的资产存在正的便利收益时，期货价格一定低于现货价格。3.欧洲美元期货属于短期利率期货，其标的资产是面值100万美元的3个月期欧洲美元定期存款。4.利率互换中，浮动利率端的价值在任何时刻都等于名义本金。5.对于欧式期权来说，其他条件相同的情况下，执行价格越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。三、简答题（每题5分，共20分）1.简述无套利定价原理的核心思想，并说明其与风险中性定价的关系。2.比较远期合约与期货合约的主要差异。3.什么是互换定价的比较优势理论？请以利率互换为例简要说明。4.写出无收益资产欧式期权的看涨-看跌平价公式，并解释其经济含义。C其中C为看涨期权价格，P为看跌期权价格，S0为标的资产当前价格，r（2）经济含义：构造两个组合：组合1为1份看涨期权加1份面值为K的零息债券；组合2为1份看跌期权加1单位标的资产（1分）。到期时，若标的资产价格ST>K，组合1的价值为(ST−K)+四、计算题（每题10分，共40分）1.假设当前沪深300指数现货点位为3800点，一年期沪深300股指期货的市场价格为3900点。已知沪深300指数的年股息率为2.5%（连续复利），市场无风险年利率为4%（连续复利），不考虑交易成本。要求：（1）计算该股指期货的理论价格（保留2位小数）；（2）判断市场是否存在套利机会，若存在，说明具体套利策略并计算套利收益（以指数点为单位）。F其中S0=3800（现货指数点），r=0.04代入计算：$$F=3800\timese^{(0.04-0.025)\times1}=3800\timese^{0.015}\approx3800\times1.015113\approx3857.43\text{点}$$（3分）

（2）由于实际期货价格3900点高于理论价格3857.43点，期货被高估，存在正向套利机会（1分）。

套利策略：①卖出1张一年期沪深300股指期货合约；②按无风险利率借入资金，买入相当于3800点价值的沪深300指数现货组合；③持有至期货到期日，卖出股票组合并交割期货（2分）。

套利收益=实际期货价格-理论期货价格=3900-3857.43=42.57点（指数点）（2分）。

2.假设当前为2024年4月1日，某公司计划在3个月后（2024年7月1日）借入一笔期限为3个月、金额为1000万美元的款项。为规避利率上升风险，该公司打算利用欧洲美元期货进行套期保值。已知当前市场上9月到期的欧洲美元期货报价为95.80。（注：欧洲美元期货标的为面值100万美元的3个月期欧洲美元定期存款，按实际天数/360计息，3个月按90天计算）

要求：

（1）说明该公司应如何进行套期保值（包括头寸方向、合约数量、合约到期月份选择的理由）；

（2）若2024年7月1日时，3个月期美元LIBOR上升至4.5%，此时9月到期的欧洲美元期货报价变为95.50，计算该公司套期保值后的实际借款年利率（保留2位小数）。

**答案**：

（1）应卖出10张9月到期的欧洲美元期货合约；

（2）实际借款年利率为4.20%。

**解析**：

（1）套期保值方案设计：

①头寸方向：公司未来需要借款，担心利率上升导致融资成本增加。由于欧洲美元期货价格与市场利率反向变动，因此应建立空头头寸（卖出期货），用期货市场的盈利弥补现货市场利息支出的增加（1分）。

②合约到期月份：借款于2024年7月1日开始，9月底到期，因此选择9月到期的欧洲美元期货合约，使期货到期时间与借款期限匹配，减少基差风险（1分）。

③合约数量：借款金额为1000万美元，每张欧洲美元期货的标的面值为100万美元，因此需要卖出$1000/100=10$张合约（1分）。

（2）套期保值效果计算：

①期货市场盈亏：初始卖出报价为95.80，平仓报价为95.50，报价下跌0.30个点，对应年化利率上升0.30个百分点（1分）。

每张合约的盈利=面值×利率变动×期限=$1,000,000\times0.30\%\times(90/360)=750$美元（2分）。

10张合约总盈利=$10\times750=7,500$美元（1分）。

②现货市场借款利息：公司按4.5%的LIBOR借入1000万美元，3个月后需支付利息=$10,000,000\times4.5\%\times(90/360)=112,500$美元（1分）。

③实际净利息支出=借款利息-期货盈利=$112,500-7,500=105,000$美元（1分）。

实际借款年利率=$\frac{105,000}{10,000,000}\times\frac{360}{90}=4.20\%$（1分）。

3.假设某利率互换还有2年到期，名义本金为1亿元人民币，约定的固定利率为4.5%（按年付息），浮动利率为1年期SHIBOR（按年付息，每年末支付一次，利率在上一年末确定）。当前时刻为刚支付完上一期利息的时点，已知当前1年期、2年期的无风险即期利率（连续复利）分别为3.6%和4.0%，下一次付息日适用的1年期SHIBOR已确定为3.5%。

要求：用债券组合法计算该互换多头（支付固定利率、收取浮动利率）的价值（结果以元为单位，保留整数）。

**答案**：该互换多头的价值约为-966,262元（或负96.63万元）。

**解析**：

利率互换多头（付固定、收浮动）的现金流等价于买入一份浮动利率债券、卖出一份固定利率债券，因此互换价值=浮动利率债券价值（$B_{fl}$）-固定利率债券价值（$B_{fix}$）（2分）。

（1）计算固定利率债券价值$B_{fix}$：

固定利率为4.5%，每年付息一次，年利息额=$100,000,000\times4.5\%=4,500,000$元（1分）。

固定债券的现金流为：1年末支付450万元，2年末支付本金1亿元+利息450万元=104,500,000元。

用连续复利即期利率折现：

$$B_{fix}=4,500,000\timese^{-0.036\times1}+104,500,000\timese^{-0.040\times2}$$（1分）

代入$e^{-0.036}\approx0.96464$，$e^{-0.08}\approx0.92312$，计算得：

$$B_{fix}\approx4,500,000\times0.96464+104,500,000\times0.92312\approx4,340,880+96,466,040=100,806,920\text{元}$$（2分）

（2）计算浮动利率债券价值$B_{fl}$：

下一期的浮动利率已确定为3.5%，因此下一次付息额=$100,000,000\times3.5\%=3,500,000$元（1分）。

由于当前刚支付完上一期利息，1年后（下一个付息日）支付利息后，浮动利率债券的价值等于面值（浮动利率债券在利率重置日的价值等于面值），因此1年末浮动债券的总现金流为100,000,000+3,500,000=103,500,000元（1分）。

用1年期即期利率折现得到当前浮动债券价值：

$$B_{fl}=103,500,000\timese^{-0.036\times1}\approx103,500,000\times0.96464\approx99,840,240\text{元}$$（1分）

（3）计算互换价值：

$$V_{swap}=B_{fl}-B_{fix}=99,840,240-100,806,920=-966,680\text{元}$$（1分）

（注：因近似值精度差异，结果在-966000至-967000元之间均正确。负号表示互换多头当前价值为负，即固定利率支付方处于亏损状态。）

4.假设某股票当前价格为50元，每期股价要么上涨20%，要么下跌20%，无风险连续复利年利率为5%，每一期的时间长度为6个月。现有一份该股票的美式看跌期权，执行价格为55元，期限为1年。

要求：用两步二叉树模型计算该期权的当前价格（结果保留2位小数）。

**答案**：该美式看跌期权的当前价格约为8.03元。

**解析**：

两步二叉树的参数：当前股价$S_0=50$元，上涨因子$u=1.2$，下跌因子$d=0.8$，执行价格$K=55$元，每期时间$\Deltat=0.5$年，无风险利率$r=0.05$。

（1）计算风险中性概率$p$：

$$p=\frac{e^{r\Deltat}-d}{u-d}$$（1分）

代入$e^{0.05\times0.5}=e^{0.025}\approx1.025315$，得：

$$p=\frac{1.025315-0.8}{1.2-0.8}=\frac{0.225315}{0.4}\approx0.5633,\quad1-p\approx0.4367$$（2分）

（2）计算到期日（第2期末）的期权价值：

-两次上涨：$S_{uu}=50\times1.2\times1.2=72$元，$p_{uu}=\max(K-S_{uu},0)=0$元

-一涨一跌：$S_{ud}=50\times1.2\times0.8=48$元，$p_{ud}=\max(55-48,0)=7$元

-两次下跌：$S_{dd}=50\times0.8\times0.8=32$元，$p_{dd}=\max(55-32,0)=23$元（1分）

（3）计算第1期末的期权价值（考虑提前执行）：

-上涨节点：$S_u=50\times1.2=60$元

不提前执行的价值：

$$p_u'=e^{-r\Deltat}[p\cdotp_{uu}+(1-p)\cdotp_{ud}]\approxe^{-0.025}\times(0.5633\times0+0.4367\times7)\approx2.98\text{元}$$提前执行收益=max(55−-下跌节点：Sd不提前执行的价值：p提前执行收益=max(55−（4）计算当前时刻的期权价值（考虑提前执行）：不提前执行的价值：p提前执行收益=max(参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：无套利定价不仅适用于完全市场，在不完全市场中也可用于推导资产价格的合理区间，因此选项C错误。其余选项均为无套利定价的核心性质。2.答案：A解析：远期合约多头的价值等于标的资产现值减去交割价格的现值，是无套利定价的直接结论。选项D虽形式等价，但题目未给出远期价格，因此最准确的是A。3.答案：C解析：反向市场即现货价格高于期货价格的状态，根据持有成本模型F=Se(c−y)T4.答案：B解析：股指期货属于支付连续收益的资产，理论价格公式为F=S0e(r−q)T。代入5.答案：A解析：欧洲美元期货采用IMM报价法，报价=100-年化利率（百分点），因此年化利率=100-96.50=3.5%。6.答案：A解析：利率互换多头的现金流等价于买入一份浮动利率债券、卖出一份固定利率债券，因此价值为浮动债券价值减去固定债券价值。选项D是远期合约组合法的思路，不符合债券组合法的定义。7.答案：B解析：利率互换的利息为同一种货币，通常只交割净额；货币互换的利息为不同货币，无法轧差，通常全额交割且需交换本金，因此B正确、A错误。两者均可用债券组合法或远期合约组合法定价，C错误；货币互换的信用风险涉及本金，高于利率互换，D错误。8.答案：B解析：看跌期权多头的净利润=max(9.答案：A解析：根据无收益资产的欧式期权平价公式C+Ke10.答案：B解析：首先计算风险中性概率p=er二、判断题1.答案：错误解析：远期价格是使得远期合约初始价值为零的交割价格，远期合约本身的价值称为远期价值，二者是不同概念。2.答案：错误解析：根据持有成本模型，当便利收益为正但小于持有成本率时，期货价格仍高于现货价格（正向市场）；只有当便利收益大于持有成本率时，期货价格才低于现货价格（反向市场）。3.答案：正确4.答案：错误解析：浮动利率债券的价值仅在利率重置日（付息日）刚支付利息后等于面值，在两个付息日之间，由于应计利息和利率变动的影响，价值不等于面值。5.答案：正确三、简答题1.答案：（1）核心思想：如果市场上不存在无风险套利机会（即零投资、零风险、正收益的组合不存在），那么未来现金流完全相同的资产或组合，当前价格必然相等（2分）。无套利定价通过构造复制组合，用已知价格的资产复制未知价格资产的现金流，从而推导未知资产的合理价格（1分）。（2）与风险中性定价的关系：风险中性定价是无套利定价的等价表达形式（1分）。在风险中性世界中，所有资产的预期收益率均等于无风险利率，用无风险利率折现预期现金流得到的价格，与现实世界中通过无套利定价得到的价格完