2026秋北师9年级数学导教导学案2 第2课　菱形的判定

第2课菱形的判定图示菱形的判定(1)菱形的判定(2)菱形的判定(3)有一组邻边_____的_________形是菱形四边_____的_____形是菱形对角线互相____的________形是菱形几何语言：∵___________________________________，∴四边形ABCD是菱形几何语言：∵____________________，∴四边形ABCD是菱形几何语言：∵_____________________________________，∴四边形ABCD是菱形相等平行四边

四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD垂直平行四边相等四边AB＝BC＝CD＝AD

四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD利用“菱形的判定(1)”证明菱形1.

如图，在平行四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：平行四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB. ∴∠3＝∠2. ∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3. ∴AD＝CD. ∴平行四边形ABCD是菱形.2.如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝AF.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AB＝AD. ∴四边形ABCD是菱形.

在△ABE和△ADF中，3.如图，分别以点A，C为圆心，以大于

AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D.

求证：四边形ABCD是菱形.

利用“菱形的判定(2)”证明菱形证明：由作图可知AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．4.如图，两个等边三角形拼在一起．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝DC＝AC.∴AB＝BC＝CD＝AD.∴四边形ABCD为菱形．5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AB∥CD，O为BD的中点．求证：四边形ABCD是菱形．利用“菱形的判定(3)”证明菱形证明：∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.又∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(AAS)，∴AB＝CD,又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．6.(BS九上P8例2改编)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10.求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝24，BD＝10，

∵OA2＋OB2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169，

∴OA2＋OB2＝AB2. ∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD. 又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形. ∴OA＝

AC＝12，OB＝

BD＝5. 7.(2025·龙岗区校级月考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，要使▱ABCD为菱形，可添加的一个条件是

5．(写一个即可)AB＝AD(答案不唯一)8.(2025·南海区校级期中)如图，等宽的丝带的重叠部分一定是

()A.正方形B.矩形C.菱形D.以上都有可能C9.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理可得，AB＝AF.∴AF＝BE.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形．(2)若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．(2)解：∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，AP＝AE.∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°.∴△ABE是等边三角形．∴AE＝AB＝8.∴AP＝4.如图，过点P作PM⊥AD于点M.∴∠APM＝30°.∴AM＝AP＝2.∴PM＝2.∵AD＝12，∴DM＝AD－AM＝10.∴DP＝＝＝4.10.(BS九上P9T6改编)如图，已知平行四边形ABCD，AC是它的对角线．(1)用尺规作AC的垂直平分线EF，垂足为O，EF交AB于点E，交CD于点F；(不写作法，但要保留作图痕迹)(2)连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．

(1)解：如图，EF即为所作.(2)证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴

FC∥AE，∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，