江西省九江市2026届高三下学期第二次高考模拟统一考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九江市2026届高三下学期第二次高考模拟统一考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选项C正确.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则.3.已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表．123451015192328根据上表可得线性回归方程为，则（）A.4 B.4.4 C.4.5 D.5【答案】B【解析】由表格得，，将样本中心代入线性回归方程得，．4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可得：，，，故.5.在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，，所以，故，因为、不共线，且，则，，故.6.已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为是首项的等差数列，所以，因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且，当时：，则，所以，当时：，则，所以，综上，，即公差的取值范围是.7.已知双曲线及（其中），与相交于A，B，C，D四点，与的两条渐近线相交于四点．若四边形ABCD与四边形相似，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由双曲线可知其两条渐近线方程为，联立与，得，因为，所以解得，从而，故圆与双曲线两条渐近线的四个交点为，所以四边形为矩形，其边长分别为，再联立，设，则，解得，所以四边形也为矩形，其边长分别为，于是矩形两邻边长度之比为，因为四边形与四边形相似，故有，两边平方，得，设，则，即，因式分解，得，因为，所以，故双曲线的离心率.8.定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】的零点即为的解，而的函数值为整数，故或，其中，由可得，且，若为正整数，则，若，则；若为负整数，设，则为正整数，则，综上，当为整数时，总有，故，故；由可得，同理可得，故，所以，故，而为整数，故与不相等，故函数的零点个数为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.是偶函数 B.的最小正周期为C.在上单调递增 D.的最小值为0【答案】ACD【解析】对于A，定义域为，，所以是偶函数，故A正确；对于B，，所以的最小正周期不为，故B错误；对于C，，当时，，所以，则在上单调递增，故C正确；对于D，设，，则，所以在上单调递减，，所以的最小值为0，故D正确．10.如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（）A.截面是平行四边形 B.若，则C.存在点，使得截面为长方形 D.截面的面积存在最小值【答案】AD【解析】如图：对A：设平面交棱于点，连接，.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确；对B：因为，，所以，.又和中，，，.所以，所以，.连接，，则，且，，，所以，又，所以，所以，故B错误；对C：假设存在点，使得截面为长方形.设，则，.由，即或.这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误；对D：设，，则，，在中，由余弦定理，，所以.所以.所以截面四边形的面积为，所以当时，截面的面积最小，为.故D正确.11.已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（）A.若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1B.若为“数列”且，则C.若为“数列”且（其中），则所有的和为90D.若为“2k数列”，则【答案】ACD【解析】对于A，，所以此数列为0，1，0，1，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1，故所有的和为：，故C正确；对于D，因为且，所以，当时，所有的和为，当时，所有的和为，当时，所有的和为，当时，所有的和为，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________.【答案】21【解析】由，则其展开式中，含的一次项为：，故展开式中的系数为21.故答案为：21.13.已知数列的前项和为，且满足，则__________．【答案】【解析】由①，取，可得，当时，②，由，可得，即，则数列为首项是1，公比是的等比数列，，经检验，满足此式，故.14.在古镇旅游时，某同学观察到一扇破损木门的外轮廓可近似拟合为抛物线，工匠采用等腰三角形结构对破损部位进行木板加固处理．已知等腰三角形的顶点位于木门的中轴线上，腰为，底为3m，且其底边恰好经过抛物线的焦点．若木门水平方向最大宽度为3.4m，则木门的高为__________m．【答案】【解析】如图，设抛物线方程为，取线段中点，过作准线，垂足为，则轴，设，则，而，则，得，所以，依题意，则，所以四边形为平行四边形，则，又因为，所以，所以，直线，代入，得，所以，，故，令，故木门的高为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，求的周长．解：（1）由正弦定理可得：，因为，所以，即，又因为，所以.（2）由，所以，又因为，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以的周长为：.16.如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以，因为为的中点，所以，易知平面，平面，所以，又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，、平面，故平面.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，易知平面的一个法向量为，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.17.椭圆的离心率为，左，右焦点分别是．点A，B在椭圆上，．当时，．（1）求的方程；（2）若，求四边形的面积．解：（1）当时，由椭圆的定义知，又四边形为平行四边形，的方程为（2）延长与的另一个交点为，，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.由题意可知，直线的斜率不为0，设的方程为，联立消去整理得，，.，即，解得.设点到直线的距离为，四边形的面积.故四边形的面积为.18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的值；（3）若存在极小值点且，求的取值范围．解：（1）当时，曲线在处的切线方程为，即.（2）设，则.①时，在上单调递增.当时，单调递减；当时，单调递增，不符合题意.②时，令，得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，故设，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则.当且仅当时，即时，在上单调递增，综上，（3）由(2)知，当时，存在极小值点且，不符合题意.当时，在上单调递增，不存在极小值点，不符合题意.当且时，，又当时，；当时，.当时，此时，且，结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点使得，且，又因为，则，，当x∈-∞,x0时，，当则此时为极大值点，显然不合题意，舍去，当时，此时，且，结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点使得，且，结合，则，当时，，当时，，当时，，当时，，为极大值点，为极小值点，符合题意，而；又，令，得，当时，原式化简得，显然恒成立，则当时，原式化简得，显然不成立，无解，当时，原式化简得，显然不成立，无解，综上，的取值范围是.19.人工智能（AI）的学习能力是当前研究的热点．某AI智能体进行一项学习任务，每次任务的结果只有成功或失败．该AI智能体采用如下学习策略：若前次任务中成功的次数为，则第次任务成功的预测概率为为常数且．记表示第次任务的结果，若成功，若失败，，规定．（1）试比较的大小